N¨m häc: 2017 –
2018
1


Chủ đề 1: Nhân đa thức.
* Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.

= 19 x 2 y 2 − 11xy 3 − 8 x 3
1
2

Thay x = ; y = 2 ta có:

a. ( − 2 x 2 ).( x 3 − 3x 2 − x + 1)



2

2
1  1 
y − z . − xy 
5
3  2 

3
b.  − 10 x +

Giải: a. ( − 2 x ).( x − 3x − x + 1) = − 2 x + 6 x + 2 x − 2 x


Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán.
a. 3 x(10 x − 2 x + 1) − 6 x( 5 x − x − 2 ) với x = 15
2

2

1
5

b. 5 x( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x ) với x = − ; y = −

(

)

(

)

(

1
2

2

2

2


c. 6 xy ( xy − y 2 ) − 8 x 2 ( x − y 2 ) + 5 y 2 ( x 2 − xy ) =

= 6 x 2 y 2 − 6 xy 3 − 8 x 3 + 8 x 2 y 2 + 5 x 2 y 2 − 5 xy 3 =

a. 36 x 3 y 4 − * = *( 4 x 2 y − 2 y 3 )
Giải:

a. Vì * .4 x 2 y = 36 x 3 y 4 = 9 xy 3 .4 x 2 y nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3
Vì * ở vế trái là tích của 9xy 3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu
thức
9 xy 3 .2 y 3 = 18 xy 6 vậy ta có đẳng thức đúng.

1
c. 6 xy xy − y − 8 x x − y + 5 y x − xy với x = ; y = 2
2
2

3

1
1
1
19.  .2 2 − 11 . .2 3 − 8.  = 19 − 44 − 1 = −26
2
2
2

(


= 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
= 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Bài 2: Cho x = y + 5. Tính
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải:
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
Từ giả thiết x = y + 5 ⇒ x - y = 5
Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b. x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75

= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thì
A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
= x 3 - x3 + x2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thì
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13

A

Giải:
B
D
a. BA = BC (gt)
DA = DC (gt)
⇒ BD là đường trung trực của AC
C
b. ∆ABD = ∆CBD (c.c.c)
⇒ Góc

M

B

O

N

A
E

C

Giải:
a. Tam giác ABCD cân tại A
180 0 − < A
2
Lại có BM = CN (gt) ⇒ AM = AN

D

180 0 − < A


Giải:
Xét ∆ADC có: AE = ED
AI = IC nên EI // DC, EI =

B
1
DC
2

A

Tương tự ∆ABC có: AI = IC, BF = FC
Nên IF // AB, IF =

5

1
AB
2

I
E

F


b. Trong ∆EFI ta có: EF ≤ EI + IF
⇒ EF ≤


2

2

D

Tương tự: ∆ABD có AM = MD, MI // AB
nên BI = ID
Do đó: MI =

1
6
AB = = 3cm
2
2

Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xét ∆ABC có BN = NC, NK // AB
⇒ AK = KC

Vậy KN =

1
6
AB = = 3cm
2
2

Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1

⇔ x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d. (x + y)3 - (x - y)3
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
= [ ( a − b ) + ( c + d ) ].[ ( a − b ) − ( c + d ) ]
= (a - b)2 - (c + d)2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
= a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
=

[ ( x + 3z ) + 2 y ].[ ( x + 3z ) − 2 y ]

= (x + 2z)2 - (2y)2
= x2 + 6xz + 9z2 - 4y2

c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
 (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d. (x + y)3 - (x - y)3
 (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
 [( x 2 + 3 x + 1).( 3 x − 1) ] 2
 (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2

a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)

7


d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Giải:
a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
= (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y)
= 4(x - 2y)2
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
= 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
= (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp dùng HĐT
b. (x + a)2 - 25
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
Giải:
b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
= (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
= (x + y) (x - y + 2)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp nhóm hạng tư.
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c. a2x + a2y - 7x - 7y
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2

2

+ 3x + 1)

Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều
phương pháp.
a. x4 + x2y2 + y4
b. x3 + 3x - 4
c. x3 - 3x2 + 2
d. 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3
= (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)

[

]

= (x - 1) ( x − 1) 2 + 3( x + 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)
c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3

8

[

]


2
2

Vậy nghiệm của PT: x1 = -

3
1
, x2 =
2
2

Chủ đề 6: Hình chữ nhật
Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F,
G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác
EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải:
Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC
⇒ EF = AC (1)
Chứng minh tương tự: HG // AC (2)
Từ (1), (2) ⇒ EF // HG (*)
Chứng minh tương tự: EH // FG (**)
Từ (*) và (**) EFGH là hình bình hành.
EF // AC, BD ⊥ AC ⇒ EF ⊥ BD
EF ⊥ BD, EH // BD ⇒ EF ⊥ EH
Hình bình hành EFGH có góc E = 900
⇒ là hình chữ nhật
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc
cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến
AB, AC.

cân.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung
tuyến AM
a. CMR: Góc
AB = BD (chứng minh trên)
⇒ tam giác ∆AHB = ∆AKD (cạnh góc vuông- góc nhọn kề)
Góc
c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Giải:
a. Tứ giác AHIK có IH // AK, AH // KI
⇒ tứ giác AHIK là hình bình hành.
b. Hình bình hành AHIK là hình thoi
⇔ AI là đường phân giác của góc A

Giải:
Tam giác AGC có góc
B

Bài 2: Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm.
a. a(x + 1) = 3 + 2x
b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0

1,5
⇔ x=-6
0,25

4
5 1
4
1 5
4
8
8 3
⇔ x= . ⇔x=1
x− = ⇔ x = + ⇔ x=
3
6 2
3
2 6
3
6
6 4
d. 3x + 1 = 7x + 11 ⇔ 3x - 7x = - 11 - 1 ⇔ - 4x = - 12 ⇔ x = 3

Giải:
a. a(x + 1) = 3 + 2x

d. x =

e. 11 - 2x = x - 1 ⇔ - 2x - x = - 1- 11 ⇔ - 3x = - 12 ⇔ x = 4

Bài 4: Giải các phương trình tích sau:
a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)

13


b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)
d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)
e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0
f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4
Giải: a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
 11 
Vậy S = 1,− 
2


b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
 3 7
Vậy S = − ; 
 5 3

c.
d.

2 x + 1 5( x − 1)


⇒

e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0

b.

( x + 2) 2
2x − 3

−1 =

ĐKXĐ: x =

3
2

3
(loại)
2

ĐKXĐ: x ≠ 1

11
(thoả mãn ĐKXĐ)
12
11 
12 

Vậy S =  

5

ĐKXĐ: x ≠ - 1

PT vô nghiệm hay S = Ø

⇔x=

Vậy S = { − 3}
1
2

1− x
2x + 3
+3=
x +1
x +1
⇔ 0x = - 1

⇒

d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)

Vậy S =  ;−1

5 − 2 x ( x − 1)( x + 1) ( x + 2 )(1 − 3 x )
+
=
3
3x − 1


14

10 5
=
22 11

§KX§: x ≠

1
3


5
11 

Vậy S =  
e.

2 x + 1 5( x − 1)
=
§KX§: x ≠ ± 1
x −1
x +1

⇔

(2 x + 1)( x + 1) 5( x − 1)( x − 1)
=
( x − 1)( x + 1)


⇔ x2 + x + 1 + 2x2 - 5 = 4x - 4
⇔ 3x2 - 3x = 0
⇔ 3x(x - 1) = 0
⇔ x = 0 (thoả mãn) hoặc x = 1 (loại)

Vậy S = { 0}

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 7: Thùng dầu thứ nhất chứa gấp đôi thùng dầu thứ hai. Nếu chuyển
từ thùng dầu thứ nhất sang thùng dầu thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai
thùng bằng nhau. Tính lượng dầu trong mỗi thùng lúc đầu.
Giải:
Gọi số lượng dầu ban đầu trong thùng thứ hai là x (đk: x > 0)
⇒ lượng dầu trong thùng thứ nhất là 2x
Khi đó số lượng dầu trong thùng thứ hai là: x + 25
Theo gt: 2x - 25 = x + 25
⇔ 2x - x = 25 + 25
⇔ x = 50
Vậy lúc đầu lượng dầu trong thùng thứ nhất là 100 lít và thùng thứ
hai là 50lít.
Bài 8: Học sinh khối 8 nhắt được 65kg kim loại vôn. Trong đó đồng
nhiều hơn nhôm 15kg, kẽm ít hơn tổng số khối lượng nhôm và đồng 1kg.
Hỏi khối 8 đã nhặt được bao nhiêu kg mỗi loại
Giải:
Gọi số lượng nhôm nhặt được là x (kg) (x > 0)
Số lượng đồng nhặt được là x + 15 (kg)
Số lượng kẽm nhặt được là x + x + 15 - 1 = 2x + 14 (kg)
Tổng số kim loại vôn nhặt được là
x + x + 15 + 2x + 14 = 4x + 29

18

x + 600
400

x
x + 600
=
+1
300
400

Giải ra ta được: x = 3000 cây
Vậy số cây dù định trồng là 3000 cây.

Chủ đề 10: Tam giác đồng dạng
Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB. Qua A
Số thảm xí nghiệp được giao trong 20 ngày là: x - 20 chiếc.
kẻ đường thẳng song song với BC c¨t đường chéo BD ở E, qua B kẻ
x − 24
Một ngày phải làm
chiếc.
đường thẳng song song với AD c¨t đường chéo AC ở F.
20
Do tăng năng suất 20% nên trong một ngày số thảm xí nghiệp đã a. Chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân.
làm so với số thảm xí nghiệp phải làm bằng 100% + 20% = 120% = 1,2 b. Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
Giải:
Theo bài ra ta có phương trình:
a. Do AE // BC (gt)
x

OD OC
Gọi số cây dù định trồng là x cây (x nguyên dương)
Theo định lý đảo của định lý TalÐt ta lại có: EF // DC

16


⇒ Tứ giác DEFC là hình thnag (dấu hiệu nhận biết)

Giải:
Gọi giao điểm của AC với EF là I
Do IE // CD

Xét tam giác ABC và tam giác BAD có: AB là cạnh chung
BC = AD (gt); AC = BD (gt)
⇒ ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)
EI
AE
=
Theo định lý TalÐt ta có:
CD AD
⇒ góc
=
mà
(3)
EF OE
OE OA
EF OA

Vậy EF = EI + IF = 25 + 4 = 29cm
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm cạnh CD.
DC OC
=
Do CD // AB, theo định lý Ta lét ta có:
(4)
Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
AB OA
a. Chứng minh: IK // AB
AB DC
⇒ AB2 = EF . DC
=
Từ (3), (4) ⇒
b. Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F
AF
AB
Chứng minh: EI = IK = KF
AB 2 52 25
=
=
= 2,5 cm
Do đó: EF =
Giải:

17


IK // AB
b. Do EF // CD ta có:
IE
AI
EI
AI
=
=
hay
(3)
DM AM
n
AM
IK
IM
IK
AI
=
=
hay
(4)
MC AM
n
AM
Từ (3), (4) ⇒ EI = IK
KF
AI

5
BC CD
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là một điểm trên cạnh CD, K
DG 1
BK 3
= và
= .
là một điểm trên cạnh CB sao cho
GC 2
KC 2

BC =

5.3,5
= 7cm
2,5

Bài 6:: Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt
Gọi giao điểm của DB với AG và AK lần lượt là E và F. Tính độ dài các
BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh:
đoạn thẳng DE, EF, FB nếu biết BD = 24cm
a. AE2 = EK . EG
Giải:
1
1
1
=
+
b.
DE DG

a. Do BK // AD nên

3
Tương tự: BF = BD = 9cm
8

EK BE
=
(1)
AE ED

Do AB // DG nên
EK

AE BE
=
(2)
EG ED

AE

=
Từ đó ta có: EF = 9cm
Từ (1) và (2) ⇒
AE EG
Bài 5: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD
Do đó : AE2 = EK . EG
= 5cm và góc
Như vậy:

BK
a
KC CG
=
=
(*); và
(**)
KC CG
b
DG

Nhân vỊ với vỊ của (*) và (**) ta có:
BK
a
⇒ BK - DG = ab không đổi.
=
b
DG

Chủ đề 11: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức.
a. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
b. a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c)
Giải:
a. Ta có: (a + b)2 ≥ 0 và (a - 1)2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (1); ⇔ a2 + 1 ≥ 2a (2)
Lại có: (b - 1)2 ≥ 0
⇔ b2 + 1 ≥ 2b (3)

4
3

x+4
x−2 x+3
+
2(x - 1) + x
⇔ 0x > 3
Vậy bất PT vô nghiệm.
b. (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2
⇔ 0x > - 2
Vậy bất PT vô số nghiệm.

⇔ a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

19


d. 1 + x ⇔


Vậy với x ≠ 3; x ≠ - 1 thì B có nghĩa.

30.5 + 6( x + 4) 30 x − 15( x − 2) + 10( x + 3)
⇔

6

b. Ta có: A =

⇔

c. Ta có: A . B =

17
15

Vậy nghiệm của bất PT là x ≤

x 2 + 2x + 1
và
x 2 − 4x + 5

B=

17
15


Bài 3: Cho các biểu thức sau:
A=

≥ 0∀x và (x - 2)2 + 1 > 0 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = - 1

2

⇔x ≤

( x − 2) 2 + 1

( x + 1) 2
≥ 0∀x hay A ≥ 0
Do đó:
( x − 2) 2 + 1

15( x − 1)
≥ 2x(x + 1)
2

2(2 x + 2 x + 1) − 15( x − 1) 4 x( x + 1)
≥
2
2

( x + 1) 2

Ta có: (x + 1)2


a. x − 1 = 2

b. 5 x − 2 = x

e. 3 x − 14 − x + 2 = 5

c. x − 3 − 5 x = 7

d. x = 3 = 5 − x

- Xét x ≤ −2 ta có Pt: (14 - 3x) - (- x - 2) = 5
⇔ 14 - 3x + x + 2 = 5

e. 3 x − 14 − x + 2 = 5
x −1 = 2
x = 3
⇔
Giải: a. x − 1 = 2 ⇔ 
 x − 1 = −2
 x = −1

⇔ - 2x = - 11 ⇔ x =

- Xét - 2 < x ≤

b. Xét 2 trường hợp
TH1: Nếu x ≥ 0 thì PT 5 x − 2 = x trở thành
5x - 2 = x ⇔ x =


14
ta có PT
3

(3x - 14) - (x + 2) = 5
⇔ 3x - 14 - x - 2 = 5

1
1
Vậy phương trình có nghiệm: x = và x = 2
3

21
(thoả mãn ®k)
2

c. x − 3 − 5 x = 7

⇔ 2x = 21 ⇔ x =

- Nếu x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 3 ta có PT
x - 3 - 5x = 7 ⇔ x = - 2,5 (không thoả mãn đk x ≥ 3)
- Nếu x - 3 < 0 hay x < 3 ta có PT

Vậy nghiệm của phương trình là: x =

2
- x + 3 - 5x = 7 ⇔ x = - (thoả mãn dk x < 3)
3
2

x −3
>2
x+2

2− x  
x 
2− x 3− x
−
+ 2
 : 1 −
 ®kx®: x ≠ −2 ,
Giải:
x −1
 x + 3 2 + 2 x + 5x + 6  

A = 

a.

x ≠ −3; x ≠ 1

 2− x 3− x
 x −1− x
2−x
 :
−
+
x −1
 x + 3 x + 2 ( x + 3)( x + 2) 


a. 3x3 + 4x2 + 5x + 6 > 0
⇔ 3x3 - 2x2 + 6x2 - 4x + 9x - 6 > 0
⇔ x2(3x - 2) + 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) >0
⇔ (3x - 2)(x2 + 2x + 3) > 0

−1

⇔ Ta thấy x2 + 2x + 3 > 0 nên 3x - 2 > 0 ⇔ x >

b.

x −3
>2
x+2

⇔

x −3
x − 3 − 2x − 4
− x−7
−2>0⇔
>0⇔
>0
x+2
x+2
x+2

 x + 7 < 0

x+7

x −1
x −1
x −1− x − 2
>1 ⇔
−1 > 0 ⇔
>0
x+2
x+2
x+2

−3
>0 ⇔x+2 0

22