Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
CHUONG II: HÀM S? LUY TH?A - HÀM S? MU VÀ HÀM LÔGARIT

I. LUỸ THỪA

Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực
Bài 1: Tính các biểu thức :
3

2

1
1
b) B        109
5
4

2
a) A  3  3 
81
4

3

10

4
1  1 
1
.273   0, 2  .252  128  .  



36.212
35.211

ĐS:

2

4

a 3 .b  ab 3
Bài 3 : Cho biểu thức : A  3
a3b

Tính A khi a = 5 ; b =

ĐS: 5 2

2

Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa
Phương pháp:
- Hàm số y  x có tập xác định dựa vào  . Cụ thể:
 Khi   N * thì hàm số xác định với mọi x
 Khi   N  thì hàm số xác định với mọi x  0
 Khi   Z thì hàm số xác định với mọi x  0
'
- Hàm số y  x có đạo hàm với mọi x > 0 và  x    .x 1
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số



1
2 4  2x  6

3

Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Trang 1


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
b) y   x 2  3x  2 

a) y   x  1

8

c) y   2 x  5

0

3



d) y  x  2 x  1


Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit
5) log a (b.c)  log a b  log a c

1) log a b  N  a  b
N

2) log a 1  0

7) log a b N  N log a b

3) log a a  1
4)a loga b  b

9) log a b 

log c b
log c a

b
6) log a    log a b  log a c
c
1
8) log a N b  log a b
N
10) log a b.log b c  log a c

Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức
1
a) A   
8

c) C  log 1 343  log9 49  log
3

3

1
 log31 73  log32 72  log 1 71  3log3 7  log 3 7  2log 3 7  0
7
32

Ví dụ mẫu:
a) Cho log 2 5  a. Tính log 4 1250 theo a
b) Cho log 2 20  b. Tính log 20 5 theo b
Giải
4
log 2 1250 log 2  2.5  1  4log 2 5 1  4a



log 2 4
log 2 22
2
2
20
log 2
log 2 5
4  log 2 20  2  b  2

b) log 20 5 
log 2 20 log 2 20

1
81

d) 16log

2

log5 3

e) 

g) log a

4
2

h) log 1 a 2

a

i) ln

a3

5

1
e

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
log3 2 log

a) A  81

 1 
c) C   2 
a 

3

1
3log27 4
16

log a 2  log 1
a

b) B  5

1
3log a 4  2
16

log5 4 2log

5

1
3log 2008 1

2) Chứng minh rằng

1
1
1
n2  n
với a, x > 0, a, x  1

 ... 

log a x log a2 x
log an x 2log a x

3) Cho x, y > 0 vaø x2 + 4y2 = 12xy. Chöùng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2

Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit
Phương pháp:
- Hàm số y  log a x với a  0, a  1 xác định khi x  0
-

Hàm số y  log a x với a  0, a  1 có đạo hàm với mọi x > 0 và  log a x  
'

1
x.ln a

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Trang 3



 x '

 x  ln 3

2



2x 1
 x  x  ln 3
2

2x  4
 0  2  x  1
1 x
Vậy tập xác định D   2;1

b) Hàm số xác định khi

 2x  4 


6
1 x
6
1 x 


.

Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ
Phương pháp:
- Hàm số y  a x với a  0, a  1 xác định với mọi x
-

Hàm số y  a x với a  0, a  1 có đạo hàm với mọi x và  a x   a x ln a
'

Đặc biệt  e x   e x
'

Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số
a) y  2x 3 x 1

b) y  esinx

2

a) Đạo hàm y '  2
b) Đạo hàm y '  e

.ln 2.  x  3x  1 '   2 x  3 .2

x2 3 x 1

sin x

2

 sin x  '  e

1

Trang 4


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
IV. PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Phƣơng trình mũ
Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số
Phương pháp:

a f ( x )  b  f ( x)  log a b,

a  0, a  1, b  0

a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x),

a  0, a  1

Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau
a) 2x1.3x1  5

b) 2x  x8  413 x
2

Giải
x

3
15


Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 254x = 53x – 1
c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1
ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2;
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) 3x.2x+1 = 72
c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
ĐS a) x = 2;
b) x = 4

b) 3x 3 x4  9x1
d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2
c) x = 0; d) x = 2
2

b) 62x+4 = 3x.2x+8
d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60
c) x = 1; x = 3
d) x = 1

Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Phương trình  .a2 x   .a x    0 Đặt t  a x , t  0 ta được  .t 2   .t    0 .

Phương trình  .a x   .a x    0 . Đặt t  a x , t  0 ta được  .t     0 .
t



x 2

Giải
 12.3x  27  0

Đặt t  3x , t > 0.
t  3
t  9

Ta được phương trình: t 2  12t  27  0  

Với t = 3 thì 3x  3  x  1
Với t = 9 thì 3x  9  x  2
Vậy phương trình có hai nghiệm: x  1; x  2 .
b) Ta có: 10 x1  101 x  99  10.10 x 

10
 99
10 x

Đặt t  10x , t > 0.
Ta được phương trình: 10t 

t  10
10
 99  10t 2  99t  10  0  
t
t  0,1 (loai)



t  1
Ta được phương trình: 5t  12t  7  0   7
t 
 5
2

x

7
Với t = 1 thì    1  x  0
5
x

Với t =

7
7 7
thì     x  1
5
5
5

Vậy phương trình có hai nghiệm: x  0; x  1 .
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Giải phương trình :
a) 49x + 4.7x – 5 = 0
(ĐS: x = 0)
2x + 1
x


Bài 2 : Giải các phương trình :
a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 (ĐS: x =  1)
c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 (ĐS: x = -2)
Bài 3 : Giải các phương trình :

b) 27 x  12x  2.8x
(ĐS: x = 0)
x
x
x
x
d) 3.8  4.12 18  2.27  0 (ĐS: x = 1)



 
x



x

a) 2  3  2  3  4 (ĐS: x =

 1)

b)



Vì hai vế của phương trình đề dương nên lấy logarit cơ số 5 ở 2 vế ta được PT:

 x 1 log5 2  x2  3x  2   x 1 log5 2   x 1 x  2  x  1  x  2  log5 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 + log52.
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình
a) 3x.2x  1
2

c) 5x.8

x 1
x

x

b) 5x.8 x1  100 (ĐS: x = 2; x= -log52-1)

(ĐS: x = 0; x= -log23)

x

d) 3x.8 x1  36

 500 (ĐS: x = 5; x= -log52)

(ĐS: x = 2; x= -log32 +1)

Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu
Phương pháp:

log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0

b) log5 x  log 25 x  log

5

3

Giải
a) Điều kiện: x > 0
Khi đó:

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Trang 7


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
log 2 x  log 4 x  log8 x  11
 log 2 x  log 22 x  log 23 x  11
1
1
 log 2 x  log 2 x  log 2 x  11
2
3
11
 log 2 x  11
6
 log 2 x  6
 x  26  64.


Vậy phương trình có nghiệm x  3 9
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình :
33
6
c) log2 ( x  3)  log2 ( x  1)  log2 5

b) log 4  log2 x   log2  log4 x   2

a) log 2 x  log 4 x  log8 x 

d) log 2 ( x 2  3)  log 1 5  2log 1 ( x  1)  log 2 ( x  1)
2

e) log3 ( x  2)2  log3 x2  4 x  4  9
ĐS:
a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x =
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
1) Giải các phương trình :
a) log32 x  4log3 x  3  0

f) log 2 ( x  1)2  log 2 x2  2 x  1  6
2 e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5

c) log5 x  log x 5  2
e) log 22 (4 x)  log 2

4

x2

3
log 3
3
x  1  log3 x
f) Điều kiện: x > 0, x  1/3. Chú ý rằng log3 x 
x log3 3x 1  log3 x

2) Giải các phương trình :
1
2

1
4  ln x 2  ln x
d) log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  6

1
2

1
5  lg x 1  lg x
c) log5 (5x  1) log25 (5x1  5)  1

b)

a)

Hướng dẫn
1
2


2

x2  x  6

1

6

c) 9 x  3 x 2

9
4 x 2 15 x  4

 23 x  4

f) 52x + 2 > 3. 5x

Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
1

1

1

2

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17
b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3
c) 4 x  2 x  3
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x

1
1

1
1  log x log x

f) log 4 (3x  1).log 1 (
4

BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau
2) 2x1  2x2  2x3  3x1  3x2
1) 5x  10.5x1  18  3.5x1
1
4)  
8

x 1

 16.

 4
3

x

5) 9

7) 32 x8  4.3x5  27  0
10) 8x  2.4x  2x  2  0

x 1

23) 3 .8

1
3

x 1
x



x

3) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9

5 x 7

6)



 16 3  5



x




3x  1 3
)
16
4

2

2

2

2

2

 2 x 3

2

2

21) 7  4 3 x  32  3 x  2  0
24) 2x.39 x  8

1

2

3
3

2
x
x
x
x
1 x
x
x
2
34) 2  2  2 cos  2 x  x 
35) 2  3  5  6  4
36) 2  3  4  2  2x  x
Bài 2: Giải các phƣơng trình sau
3) 6lg x  x lg 6  12
1) log7  x  2  log7  x  2  1  log7  2x  7  2) log 4 2log3 1  log 2 (1  3log 2 x)   1
2

2

2

2

2

2

2

2

Bài 3: Giải các bất phƣơng trình sau

11) log25 ( x  1)  ( x  5) log5 ( x  1)  16  0

1) 3x  9.3 x  10  0

2) 5.4x  2.25x  7.10x  0









4) log 1 x2  6x  8  2 log5  x  4   0 5) log 1  log 4 x2  5   0


5

3)

1
x 1

3

1
 1 1  3x