SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
----------ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC: 2017-2018
Môn thi: Toán
Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên : Trương Quang An
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 01208127776 .Nguồn sưu tầm trên mạng và ảnh chụp đề của
học sinh thi chuyên Quảng Ngãi 2017-2018
Bài 1(2 điểm )
1.Giải phương trình ( x  1)( x  2)  2 x2  x  1  0
2.Cho x,y là các số thực dương .Chứng minh rằng

x y
x y
 xy 
 xy  x  y
2
2

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm .Tại sao ?
Bài 2(2 điểm )
1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n2  n  3 là số nguyên tố .Chứng
minh rằng n chia 3 dư 1 và 7n2  6n  2017 không phải số chính phương .
2.Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình 2 x2  4 y 2  4 xy  2 x  1  2017
Bài 3(2 điểm )
1.Cho đa thức P( x)  x3  6 x 2  15x 11 và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1

 xy 
 xy  x  y
2
2

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm .Tại sao ?
Bài làm
Bài 1(2 điểm )
1.Phương trình ( x  1)( x  2)  2 x2  x  1
Cách 1:Đến đây ta có điều kiện: −2 ≤ x ≤1.
Bình phương hai vế và thu gọn ta được
x0

 x  1


x( x  1)( x 2  x  8)  0   x  1  33
2


1  33
x 

2

Giải ra so sánh với điều kiện ta được nghiệm: x = 0 ; x = −1.
 t 1
.
t  3


a  b
a  b
a  2 ab  b a  2 ab  b
.
 xy 
 xy 
 ab 
 ab 

2
2
2
2
2
2

Nên ta có
a  2 ab  b a  2 ab  b ( a  b ) 2 ( a  b ) 2 ( a  b ) 2 ( a  b ) 2





2
2
2
2
2
2


Với x=8 thì ta có (8  2 y)2  (8  1)2  2017  92  442  (8  2 y)2  442  
Với x=-10 thì ta có
 y  27
(10  2 y)2  (10  1) 2  2017  92  442  (10  2 y) 2  442  
 y  17
 x  43
 x  45

TH2 : ( x  1)2  442  

 y  17
 y  26

Với x=43 thì ta có (43  2 y)2  (43  1) 2  2017  92  442  (43  2 y) 2  92  

 y  27
 y  18

Với x=-45 thì ta có (45  2 y)2  (45  1)2  2017  92  442  (45  2 y)2  92  
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (8;-18);(8;26);(-10;-27);
(-10;17);(43;17);(43;26);(-45;-27);(-45;-18).
Bài 3(2 điểm )
1.Cho đa thức P( x)  x3  6 x 2  15x 11 và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1
,P(b)=5.Tính giá trị của biểu thức a+b.
2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
x( xy  1)  2 y 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H 

y4
1  y 2  y 4 ( x4  x2 )



Mà giả thiết ta suy ra x( xy  1)  2 y 2 
Thay vào ta suy ra H 

2 x2 2 x
 2  2.
y
y

y4
1
1
1

 2
 .
2
4
4
2
1  y  y ( x  x ) 1  1  x4  x2 2 x 2 x 4
 2
y4 y2
y
y

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là
Cách 2: H 

1

1
1

 4
2
4
4
2
4
1  y  y ( x  x ) 1  1  x2  x4 z  x  z 2  x2
y4 y2

Ta có z 4  x 4  z 2  x 2 

( x  z )2
( x  z)2
 2z 2 x2  2 2x2 z 2 .
4.
2
2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là

1
khi x  y  1 .
4

Cách 3 : Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có :
1  y 2  y 4 ( x4  x2 )  (1  x 2 y 4 )  ( y 2  x4 y 4 )  2 xy 2  2 x2 y3 .



Q

B

N

A
x

O
M

P

Ta có ΔOAM ഗ ΔOBQ (g.g) nên suy ra
Ta có ΔOAN ഗ ΔOBP (g.g) nên suy ra

OM OA
(1)

OQ OB
ON OA

(2)
OP OB


Từ (1) và (2) ta suy ra


Ta có xét ΔABD và ΔACE có :
BAD  EAC (góc chung ) và ABD  ACE (tứ giác BEDC nội tiếp )

Nên suy ra ΔABD ഗ ΔACE (g.g) .


Ta có M,N lần lượt là trung điểm của BD ,CE nên ta suy ra ΔMAB ഗ ΔNAC
(g.g) .Từ ΔMAB ഗ ΔNAC (g.g) suy ra MAB  NAC .
2.b/
A

P

Q

D

E
H

K
M

I

N

B
C