CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn số ax+b=0 (*) :
a. Nếu a
¹
0 thì (*) có nghiệm duy nhất : x=
- b
a
b. Nếu
0
0
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
a
b
thì phương trình (*) vô số nghiệm.
c. Nếu
0
0
ì
=
ï
ï

=
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
ab ba
bc cb
thì (**) vô số nghiệm.
c. Nếu
' '
' '
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
ỵ
ab ba
bc cb
thì (**) vô nghiệm.
+/ Hai hệ phương trình tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia
và ngược lại (tức là tập hợp nghiệm của hai hệ bằng nhau). Để biến đổi hệ tương đương
ta nhân hoặc cộng hai vế của phương trình với cùng một số
≠



− − ∆
=


Nếu
∆
= 0 thì phương trình (***) có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
−
= =
Nếu
∆
< 0 thì phương trình (***) vô nghiệm.
c/ Hệ thức Viet và ứng dụng.
Hệ thức Viet: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm
là x
1
, x
2
thì tổng và tích hai nghiệm đó là S= x

Nếu biết tổng hai số là S và tích hai số là P thì hai số là nghiệm của pt:
X
2
- SX + P = 0 (điều kiện S
2
-4P
≥
0).
4/ giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gồm các bước sau:
Bước 1: lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thò mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích
hợp với bài toán và kết luận.
B/ CÁC BÀI TOÁN:
1/ Phương Trình Bậc Nhất.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a/ (x-2)
2
-(x+3)
2
=2(x-5)
b/
2 2 1 3 2 6x - = +
c/ 1+3x=
2 2 2x-
d/

3 5 7x x- - =
b/
3 5x x+ = -
Bài 3: Tìm m để phươnh trình
1
0
1 2
x x
x m x m
+
- =
+ + + +
a/ vô nghiệm.
b/ có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau:
a/ mx+1=m
2
+x
b/
2
3
1 1 1
a x a x a
a a a
+ -
- =
- + -
(a
1¹ ±
)

< 6.
Bài 4: Cho phương trình: (m+1)x
2
-2(m+2)x +m -3 =0 (có ẩn số là x)
a/ đònh m để phương trình có nghiệm.
b/ đònh m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả:
( ) ( )
1 2
4 1 4 1 18x x+ + =
Bài 5: Cho phương trình: x
2
- (2m+1)x+m
2
+m - 6=0
a/ đònh m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
b/ đònh m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả
3 3
1 2
50x x- =
Bài 6: Các nghiệm x
1
, x
2
của một phương trình bậc hai thoả.

í
ï
+ =
ï
ỵ
Tìm m, biết rằng phương trình 2y –x =m có cùng nghiệm với hệ phương trình trên.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2
7
7 17
4 7
15
5 19
x y x y
x y y
ì
- +
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
í
ï
+ -
ï
+ =
ï
ï

ï
+ -
ï
í
ï
ï
- =
ï
ï
+ -
ï
ỵ
Bài 4: Tìm m
Ỵ
Z để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất:
2x y
mx y m
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ỵ
Bài 5: Giả sử hệ phương trình sau đây có nghiệm :
ax by c
bx cy a
cx ay b

í
ï
= - +
ï
ỵ
y x x x
x y y y
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
3 3
3
9
ì
- =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ỵ
x y
x y
4. Hệ phương trình chứa căn thức.
Bài 1: Giải phương trình: - 2 4 8 9 18 15+ + + + + = +x x x x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 3x
2
+2x=
2
2 1+ + -x x x

+ -
= +
-
x x
x
x
Bài 5: Cho số x=
3 3
9 4 5 9 4 5+ + -
a. Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phương trình x
3
-3x-18=0
b. Tính x.
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 1. Cho một số gồm hai chữ số. Tìm một đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ
hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược
lại với số đã cho.
Bài 2. Một người đi bộ khởi hành từ vò trí A đi đến vò trí B. Sau đó 5giờ 20phút một
người đi xe đạp bắt đầu từ A đuổi theo người đi bộ với vận tốc nhanh hơn người đi bộ
12km mỗi giờ và cả hai cùng đến B một lúc. Tính vận tốc của người đi bộ biết rằng
đoạn đường AB dài 20km.
Bài 3. Chu vi hình chữ nhật là 28m, và đường chéo là 10m. Tính chiều dài và chiều
rộng của hình chữ nhật.
Bài 4. Người ta hoà vào 4kg chất lỏng A với 3kg chất lỏng B để được một hỗn hợp có
khối lượng riêng là 700 km/m
3
. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng A lớn hơn khối
lượng riêng của chất lỏng B là 200 kg/m
3
. Tính khối lượng riêng của chất lỏng B.

2
- 8x + m = 0. tìm giá trò của m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a/ x
1
= 3x
2
b/ x
1
2
+ x
2
2
= 50
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm:
(x+2)(x+5) + mx(x + 3) = 0 với mọi m
Bài 6: Với giá trò nào của k thì phương trình x
2
-3kx+k
2
=0 có tổng bình phương các
nghiệm bằng
7
4
.
Bài 7: Cho

1 2
x x+
theo m.
Bài 10: Cho phương trình bậc hai: x
2
+4x+m+1=0 (1)
a/ Tìm m để (1) có nghiệm kép.