TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
˜ ⓣ ⓗⓑⓣⓝ™
Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1.

Khái niệm nguyên hàm
f (x)

— Cho hàm số

xác định trên

f (x)

của hàm số

trên

K

K.

F (x)

Hàm số

F ¢(x) = f (x), " x Î K .


2. Tính chất: Nếu
luôn có:

là 2 hàm số liên tục trên

·

ò f ¢(x)dx = f (x) +C .

·

ò éëêf (x) ± g(x)ùûúdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx

·

K

và

k¹ 0

thì ta

òkf (x)dx = kò f (x)dx.

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy
ý)
a
ò x ×dx =

ò sin

2



1
+C
x

x

×dx = - cot x + C

n
ò(ax + b) ×dx =

1

1 (ax + b)n+1
×
+C
a
n +1

1

ò ax + b ×dx = a ×ln ax + b + C
ò (ax + b)




TI LIU HC TP

TON 12

Chuyờn : NGUYấN HM TCH PHN

1

1

ũ cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) +C

ũe

ũe

2

2



x



1


1
x- a
=
ìln
+C
2
2a
x +a
- a

(ax + b)

bng

thi lõy nguyờn ham nhõn kờt qua thờm

1
ì
a

Mt s lu y

1. Cn nm vng bang nguyờn ham.
2. Nguyờn ham cua mụt tich (thng) cua nhiờu ham ham sụ khụng bao
gi bng tich (thng) cua cac nguyờn ham cua nhng ham thanh
phn.

3. Muụn tim nguyờn ham cua mụt ham sụ, ta phai biờn ụi ham sụ nay
thanh mụt tụng hoc hiờu cua nhng ham sụ tim c nguyờn ham
(da vao bang nguyờn ham).

4. Tich lng giac bc mụt cua sin va cosin

PP
ắắ
ắ
đ

khai trin theo cụng

thc tich thanh tng.
ã

ã

2 | THBTN

sinax.cosbx =

1ộ
ự
ờsin(a + b)x + sin(a - b)xỳ
ỷ
2ở

sinax.sinbx =

1ộ
ự
ờcos(a - b)x - cos(a + b)xỷ
ỳ

BT 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):
Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận
dụng các tính chất nguyên hàm.

a)

a
f (a) = 3a2 + ×
2

F (a) = a3 +
ĐS:

a2
+C .
4

……………………………………………………………………………………
………………………………….

b)

f (b) = 2b3 - 5b + 7.
ĐS:

b4 5b2
F (b) = + 7b + C .
2
2


2

……………………………………………………………………………………
………………………………….
F (x) = -

3

e)

f (x) = (3 - x) .
ĐS:

(3 - x)4
+C .
4

……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) =

f)

1
1
- x2 - ×
2
3
x


+C .
2ln10

……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) = x3 - 4x +

h)

3
×
x

F (x) =
ĐS:

x4
+ 2x2 + 3.ln x + C .
4

……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (t) =

i)

2t 4 + 2
×
t2



k)

x
×
2

F (x) = x + sin x + C .

ĐS:

……………………………………………………………………………………
………………………………….
2

l)

f (x) = cos x.
ĐS:

1
1
F (x) = x + sin2x + C .
2
4

……………………………………………………………………………………
………………………………….
m)



o)

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

F (x) = -

f (x) = 2sin3x cos2x.

ĐS:

1
cos5x - cosx + C .
5

……………………………………………………………………………………
………………………………….
x

p)

x

f (x) = e .(e - 1).
ĐS:

1
F (x) = e2x - ex +C .
2



ĐS:

3 23
I = ×x + C .
2

……………………………………………………………………………………
………………………………….

s)

æ
ö
1 ÷
2
÷
ç
I = òç
2
x
+
÷×dx ×
ç
3 2÷
ç
è
x ø

ĐS:

x

×dx ×

F (x) = x +

ĐS:

9 3 2 25 5 4
x +
x +C .
2
4

……………………………………………………………………………………
………………………………….
u)

I = ò 4sin2 x ×dx.

ĐS:

I = 2x - sin2x + C .

……………………………………………………………………………………
………………………………….
I =ò

v)


x- 1

w)

ĐS:

3x- 1
+C .
ln3

……………………………………………………………………………………
………………………………….
x)

I = ò (tan x - 2cot x)2.dx.

I = tan x - 4cot x - 9x + C .

ĐS:

……………………………………………………………………………………
………………………………….

y)

I =

I = ò 3 u.(u - 4).du.

ĐS:

F (x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120

a)

f (x) = 15x2 + 8x - 7.
và

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

f (x) =

2

F (x) = ln(x + x + 3)

b)

1
2

x +3

.

và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

e)

æ
x2 + 4ö
- 2x
÷
÷
F (x) = ln ç
ç
f (x) = 2
.
÷
2
ç
÷
ç
èx + 3ø
(x + 4) ×(x2 + 3)
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

F (x) = ln

f)


Rồi sau đó thế
để tìm hằng số

f (x) = x3 - 4x + 5, F (1) = 3.
ĐS:

x4
5
F (x) =
- x2 + 5x - ×
4
4

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

b)

f (x) = 3 - 5cosx, F (p) = 2.

F (x) = 3x - 5sin x + 2 - 3p.

ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

f (x) =


f (x) =

d)

x2 + 1
3
, F (1) = ×
x
2

F (x) =
ĐS:

x2
+ ln x + 1.
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

f (x) = x x +

e)

1
x

, F (1) = - 2.



F (x) = -

ĐS:

1
1
7
cosx - cosx + ×
6
2
12

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

I =ò

g)

3x4 - 2x3 + 5
×dx,
x2

F (x) = x3 - x2 -

F (1) = 2.

biết

×
2
x +1

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

x
I = ò sin ×dx,
2

æ
ö p
p÷
÷
Fç
ç
÷= 4 ×
ç
è2÷
ø

2

i)

biết

F (x) =

ìdx,
ỗ
ỗ
ữ
xữ
ố
ứ

j)

F (1) =

biờt

7
ì
2

F (x) S:

1
x2
+ 3x + + 3ln x + 1.
x
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................



F (x)

la mụt nguyờn ham cua

f (x) :

ham sụ
F (x)

Phng phỏp:

ờ

l mụt nguyờn hm ca hm s

f (x) F Â(x) = f (x).
T ú, ta s dng ng nht thc ờ tỡm ra tham
s cn tỡm.
iù F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 - 4x + 3
ù
ì
i
ùù f (x) = 3x2 + 10x - 4
ùợ

a)

S:



TÀI LIỆU HỌC TẬP

c)

TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ìï F (x) = (ax2 + bx + c) ×ex
ï
×
í
ïï f (x) = (x - 3) ×ex
ïî

a = 0, b = 1, c = - 4.

ĐS:

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

d)

ìï F (x) = (ax2 + bx + c) ×e- 2x
ï
×


f)

ìï
ïï F (x) = (a + 1)sin x + b sin2x + c sin3x
×
í
2
3
ïï f (x) = cosx
ïïî

ĐS:

a = b = c = 0.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

g)

ìï F (x) = (ax2 + bx + c) × 2x - 3
ïï
ïí
2
×
ïï f (x) = 20x - 30x + 7
ïï


ĐS:

2
2
12
a = ; b=- ; c =×
5
5
5

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
f ( x) = x3 + 3x + 2
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số
sau?
F ( x) =
A.
F ( x) =
C.

là hàm số nào trong các hàm số

x4 3x2
+


F ( x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120 + C
Câu 2. Hàm số
sau đây?

là họ nguyên hàm của hàm số nào

f ( x) = 15x2 + 8x - 7
A.

f ( x) = 5x2 + 4x + 7
.

f ( x) =
C.

2

3

B.

5x
4x
7x
+
4
3
2



B.

3

x
3
+ x2 + ln x + C
3 2

.

x3 3 2
- x + ln x + C
3 2

F ( x) = 2x - 3 .

D.

1
+C
x2

.

.

f ( x) = ( x + 1) ( x + 2)
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số


F ( x) = 2x + 3 + C
C.

.

D.
f ( x) =

F ( x)
Câu 5. Nguyên hàm

của hàm số

F ( x) = - ln 5 - 2x + 2ln x -

A.
F ( x) = ln 5 - 2x + 2ln x -

C.

3
+C
x

3
+C
x

x3 2 2

.

.

f (x) = x3 - 3x2 + 5
Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số

A.

3x2 - 6x

B.

là

3x2 - 6x + C

C.

x4
- x3 + 5x + C
4

D.

x4 - x3 + 5x + C

g(x) = - 5x4 + 4x2 - 6
Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số


3

f (x) = ( x - 3)

( x - 3)

- 20x3 + 8x +C

4( x - 3)

( x - 3)

3

B.

5

( x - 3)

5

C.

D.

3

3



12 | THBTN

Một nguyên hàm của hàm số

là:

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

4
- x5 + x3 - 6x + C
3

B.

D.

- 20x3 + 8x +C

4

Một nguyên hàm của hàm số


5

( x - 3)

5

D.

3

3

æ 2 1
ö
÷
ç
÷
3
x
+
2
dx
ç
÷
òçè
÷
x
ø
Câu 12.


1
+ x3 - x2 +
4
4

x4
+ x3 - x2 - 1
4

B.
D.

của

x4
1
+ x3 - x2 4
4

thỏa

C.

x4
+ x3 - x2 + 1
4
f (x) = 3x2 - 2x + 1

F (x)
Câu 14.


2

Câu 15.

Kết quả của

1 3 1 2
x - x + x +C
3
2

+ 1) dx
bằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

13 |


TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN 12

(x
F (x) =

2

A.

2ç
è3
ø

Một nguyên hàm
1
x2

f (x) =

của hàm số
F (x) =

B.

1
x2

Câu 17.
Tìm họ nguyên hàm
là:

D.

của hàm số

2
x

1

f ( x) = 3x2 – 3x
của hàm số

3x
+C
ln3

B.

x
3
+C
3 ln3
9

, ta được kết quả

F (x) = x3 +

x

ò( 1- x)

F (x) =

F (x) =
D.

3x
+C

10

F (x) = -

10
1
1+ x) + C
(
10

B.

D.

f ( x) = x ( x + 2)

F ( x)

14 | THBTN

F (x) = -

f (x) = 3sin x +

A.

Câu 20.

là:


x2 2
F (x) =
x + 1 +C
6

D.

F (x) = -

+1

B.

C.

Câu 16.

)

2

của hàm số

2

, ta được kết quả là:

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM



A.

Họ nguyên hàm của

là:

1
F (x) = x3 - 2 + x + C
3
F (x) =

C.

F (x) = 2x - 2 + C
B.

1 3
x - x2 + x + C
3

F (x) =

D.

1 3
x - 2x2 + x + C
3

f (x) = (2x + 1)3
Câu 22.

là:

(1- 2x)6 + C
B.

5(1- 2x)6 + C
C.
2x +

Câu 24.

Nguyên hàm của hàm số f(x) =
x2 -

A.

3
+C
x

x2 +
B.

3
+C
x2

f ( x)
Câu 25.



2

f (0) = 3
và

2

x
x
y = f (x) =
+3
4
2

D. Kết quả khác

và

2

4

x2 + 3ln x2 + C

biết rằng

y = f (x)
Câu 26.


15 |


TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

f (x) = 3x2 + 2x - 3
Câu 27.
Cho
có một nguyên hàm triệt tiêu khi
hàm đó là kết quả nào sau đây?
F (x) = x3 + x2 - 3x
B.
F (x) = x3 + x2 - 3x + 2

F (x) = x3 + x2 - 3x - 1

C.

D.
f '(x) = ax +

f ( x)

A.

Tìm hàm số


Câu 28.

x =1

Một nguyên hàm của hàm số

D. Kết quả khác

3
- 2 x
x

là
F ( x) =
A.

3

x
4 3
+ 3ln x x
3
3
F ( x) =
C.

B.

x3 3 4 3

F (x) =

3

C.
F ( x)

Nguyên

là:

4

4

A.
Câu 31.

x3
3 3
+ 3ln x x
3
4

hàm

5

5



C.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

B.

x4
1
+ x3 - x2 4
4

x4
F ( x) = + x3 - x2 - 1
4

F ( x) = -

D.

x4
+ x3 - x2 + 1
4
NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)
1

f (x) =
Câu 32.
A.


ò f ( x) dx = 2

B.

.

.

ò f ( x) dx = - 2

3- x

B.

3 - x +C

.

2x - 1 + C

2x - 1 + C

.

1

3 - x +C

.



.
2

2x + 1 + C

1
2x + 1 + C
3

.

B.

ò f ( x) dx = 3( 2x + 1)
1

.

D.

ò f ( x) dx = 2

2x + 1 + C

.

2x + 1 + C

.


TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN 12

2

C.

ò f ( x) dx = 9( 5 -

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

3x) 5 - 3x

ò f ( x) dx = .

D.

2
5 - 3x + C
3

.

f (x) = 3 x - 2

Câu 36.

A.


2
3

3

x - 2 +C

.
+C
.

f (x) = 3 1- 3x

Câu 37.

A.

Tìm nguyên hàm của hàm số
1
ò f ( x) dx = - 4( 1-

ò f ( x) dx =
C.

3x) 3 1- 3x +C

.

1

F ( - 1) =

A.
F ( x) = x -

C.

18 | THBTN

2
3

+C
.

2
3

5
( x + 1) x + 1 + C
2

f ( x) = ( x + 1) x + 1 + C
D.

Biết một nguyên hàm của hàm số

F ( x) = x -

-


+1

F ( x)
là hàm số

F ( x)
. Khi đó

2
1- 3x + 3
3
2
1- 3x + 1
3

là hàm số nào sau đây?
F ( x) = x -

2
1- 3x - 3
3

F ( x) = 4 -

2
1- 3x
3

B.

B.
f ( x) = 1 +

Câu 42.

Cho hàm số

ò f ( x) dx = A.

C.

C.

6
.

1
6

D.

1
+C
x2

1
x

x
+C

2 x

-

ò f ( x) dx = x + ln x +C
2

1æ 1ö
÷
÷
ò f ( x) dx = 2çççè1+ x ø÷
÷
D.
f (x) =

F (x)
Câu 43.

.

æ1
1ö
÷
ç
dx
ç
÷
òççè x 2ø÷
÷


1- 2x

thì

F (x)
là:
F (x) =

A.

- 1
ln 1- 2x + C
2

B.

1
F (x) = ln 1- 2x + C
2

F (x) =

F (x) = ln 1- 2x + C
C.

D.

x
+C
x - x2


+

2
9
10
3

F (x) =

2
9

( 3x + 4)

3

F (x) =

2
3

( 3x + 4)

3

B.

D.


+
dx
ç
òçè
÷
x÷
ø
Câu 45.

Tìm nguyên hàm
53 5
x + 4ln x + C
3

A.

-

B.

33 5
x - 4ln x + C
5

C.

D.

33 5
x + 4ln x + C


với

1 2
x
x + k + ln x + x2 + k
2
2

1

f (x) =

x2 + k

D.

Trong các hàm số sau:
f (x) = x2 + 1

f (x) = x2 + 1 + 5

(I)

(II)
f (x) =

1

f (x) =

ç
÷
ç
ç
è
ø
x÷
Câu 48.

Một nguyên hàm của hàm số

là hàm số nào sau đây:
3

A.

3
12
F (x) = x 3 x2 + 6 x5 + ln x
5
5

(

F (x) = x 3 x + x

)

B.


5

)

x + e2017x dx
=
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A.

C.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

5 2
e2017x
x x+
+C
2
2017

B.

3 2
e2017x
x x+
+C

Tìm nguyên hàm của hàm số
.
æ
1 æ
pö
pö
÷
÷
+C
f (x).dx = sin ç
+C
ç3x + ÷
÷
÷
ò f (x)dx = 3 sinçççè3x + 6ø÷
ò
÷
÷
ç
6ø
è
A.
.
B.
.
ö
1 æ
pö
1 æ
p÷

÷
ò
ò
÷
÷
3 ç
6ø
6 ç
6÷
è
è
ø
C.
.
D.
.
f (x) = 1+ tan2

Câu 51.

Tìm nguyên hàm của hàm số
x

A.

ò f (x)dx = 2tan 2 +C
1

C.



1

æ

pö

÷
+C
÷
ò f (x)dx = 3 cot çççèx + 3ø÷
÷
.

D.

.

cosx)dx

Tính
- cosx - sin x + C
cosx - sin x + C

.

B.

pö



Tìm nguyên hàm của hàm số
æ pö
÷
+C
÷
ò f (x)dx = - cot çççèx + 3ø÷
÷
æ

ò f (x)dx = tan 2 +C
x

f (x) =
Câu 52.

.
x

x

ò f (x)dx = 2 tan 2 +C

x
2

B.
D.

- cosx + sin x + C

3x + tan x + C
A.
B.

C.

là:
2sinx + C
1
sin2x

là:
3x + cot x + C

f (x) = sin x - cosx
Câu 56.

A.

C.

Cho

D.

F (x)
. Một nguyên hàm

D.


÷
Fç
=0
ç
÷
ç
÷
è4ø

của

- cosx - sin x +

- cosx - sin x + 2

2cosx + C

F (x)
. Một nguyên hàm

f (x)
của

thỏa

F (0) = 1
là:
2

A.


tan x
1
. 2
3
cos x

C.

tanx - x

D.

2sin x
cos3 x

f (x) = cos4 x - sin4 x
Câu 59.

A.

Một nguyên hàm của hàm số

cos2x

B.

1
sin2x
2

3
1
x + sin4x
4
16

?

D.

3
1
x - cos4x
4
4

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

f ( x) = sin2x + 3x2
Câu 61.

Một nguyên hàm của hàm số

là:
F ( x) =


?

F ( x) = 2cos2x

2

A.

B.
F ( x) =

C.

1
cos2x
2

F ( x) = - cos2x
D.

f (x) = sin x
Câu 63.

Hàm số
F (x) = cosx +C

A.

F (x) = - cosx + 1

B.

F (x) =- tan x +C

F (x) = cot x +C

C.

D.

F (x)
f (x) = sin2x
F (x)
Câu 65.
Gọi
là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố
thì
là:
F (x) = cos2x + C
F (x) = sin2x + C
A.
B.
F (x) = - cos2x + C
F (x) = - sin2x + C
C.
D.
f1(x) = sin2 x

F1(x)
Câu 66.


TÀI LIỆU HỌC TẬP

x=

A.

TOÁN 12

p
+ kp, k Î Z
2

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

x=

B.

p
k, k Î Z
2

x = kp, k Î Z
C.

x = k2p, k Î Z
D.

y = cos2 x.sin x

là:

F ( x) = cos6x

F ( x) = sin6x

A.

B.
ö
1æ
1
1
ç
÷
ç sin6x + sin 4x÷
÷
÷
2ç
4
è6
ø

-

C.

ö
1æ
sin6x sin4x ÷

cos6x cos2x ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
2è 8
2 ø

A.
C.

B.
cos8x + cos2x

D. Đáp án khác.
F ( x)

Câu 70.

Tìm họ nguyên hàm

f ( x) = cosx
của hàm số

F ( x) = sin x + C


biết

F ( x) = - sin x           
B.

F ( x) = sin x + 1  
C.

F ( x) = sin x - 1
D.

1

ò cos ( 3x - 1) dx
2

Câu 72.
24 | THBTN

Tính

, ta được kết quả là:
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

F ( x) = tan( 3x – 1) + C

è4÷
ø
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
biết
. Kết quả
2

Câu 73.
là:

F (x) = tan x - x +

A.
F (x) = x - tan x +

C.

Câu 74.

Tính
-

A.

Câu 75.

A.

C.
Câu 76.

ò sin(3x -

p
4

B.

1
cos(3x - 1) + C
3

- cos(3x - 1) +C
C.

D. Kết quả khác

cos4x)dx
là:

1
1
sin6x + sin4x + C
6
4

B.

1
1
sin6x - sin4x + C

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (II)

f ( x) = 2sin3x cos2x
Câu 77.

Nguyên hàm của hàm số
-

A.
C.
Câu 78.

1
cos5x - cosx + C
5

5cos5x + cosx + C

B.

1
cos5x + cosx + C
5

D. Kết quả khác

Lựa chọn phương án đúng: