TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Đề tài: Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng
Tác giả luận văn: Phạm Thị Hoài
Khóa: 2009-2011
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
Nội dung tóm tắt:
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng
dx
= A(t)x(t) + f (t, x(t)), t ∈ J,
dt

(1)

trong đó J là một khoảng con của R; A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể
không bị chặn) trên không gian Banach X, x(t) ∈ X và f (., .) : J × X → X
là một toán tử phi tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìm
điều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không
ổn định, tâm). Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại này là
dx
nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) của phần tuyến tính
= A(t)x(t) và tính
dt
Lipschitz đều của f (t, x) với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Ta sẽ thiết lập sự tồn
tại đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không
ổn định khi phần tuyến tính của phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tam
phân mũ) trên nửa đường thẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x)
thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn như sau:
f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y ,
với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được. Như
vậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựng được những

ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chương
này, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhị phân
mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chất của nó,
sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâm không ổn
định (những kết quả trong [7]).
Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương này
chúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạp
tâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa cho kết
quả mới này.

2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
PHẠM THỊ HOÀI

PHẠM THỊ HOÀI

TOÁN TIN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN TIN

2009-2011

1.1 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khái niệm họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Họ tiến hóa có tam phân mũ . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian hàm và tính chấp nhận được . . . . . . . .
1.2.1 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . .
1.2.2 Tính chất của không gian hàm chấp nhận được
1.2.3 Hàm ϕ−Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nhị phân mũ và đa tạp ổn định trên R+ . . . . . . . .
1.3.1 Đa tạp ổn định địa phương trên R+ . . . . . . .
1.3.2 Đa tạp bất biến ổn định trên R+ . . . . . . . .
1.4 Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định trên R+ . . . . .
1.5 Đa tạp không ổn định trên R . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Đa tạp không ổn định địa phương trên R . . . .
1.5.2 Đa tạp bất biến không ổn định trên R . . . . .
1.6 Đa tạp tâm không ổn định trên R . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

6
6
6
8
10
11
12
16
17
17
20
22
30
30
36
41

2 Tính hút của đa tạp không ổn định
43
2.1 Tính hút của đa tạp bất biến không ổn định . . . . . . . . . 43
2.2 Tính hút của đa tạp tâm không ổn định . . . . . . . . . . . 49
Kết luận

50

Danh mục tài liệu tham khảo


(1)

trong đó J là một khoảng con của R; A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể
không bị chặn) trên không gian Banach X, x(t) ∈ X và f (., .) : J × X → X
là một toán tử phi tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìm
điều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không
ổn định, tâm). Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại đa tạp
tích phân của phương trình (1) là nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) của
dx
= A(t)x(t) và tính Lipschitz đều của f (t, x) với hằng
phần tuyến tính
dt
số Lipschitz đủ nhỏ. Ta sẽ thiết lập sự tồn tại đa tạp ổn định, không ổn
định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không ổn định khi phần tuyến tính
của phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) trên nửa đường
thẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện tổng
quát hơn như sau:
f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y ,
với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được. Trong
hầu hết các chứng minh chúng ta sẽ làm chi tiết cho trường hợp nhị phân
mũ, trường hợp tam phân mũ sẽ được chuyển từ trường hợp nhị phân mũ
bằng quá trình đổi tỉ xích (rescaling). Trong quá trình chứng minh ta cũng
sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng hóa nhị phân mũ của
phương trình tiến hóa trong không gian hàm chấp nhận được xác định trên
R+ (hoặc R) để xây dựng cấu trúc nghiệm của phương trình (1) ở dạng đủ
tốt.
Như vậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựng
được những đa tạp bất biến cho phương trình (1) trong trường hợp phần

số điều kiện nào đó (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1). Tiếp đó chúng tôi có
đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chương
này, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhị
phân mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chất
của nó, sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâm
không ổn định (những kết quả trong [7]).
Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương này
chúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạp
tâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa.
Mặc dù đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và cũng rất cố gắng, song do
thời gian có hạn, kiến thức tích lũy chưa nhiều nên bản luận văn không
4


tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sẽ nhận được các ý kiến đóng
góp của Quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn
chỉnh hơn.

Hà Nội, ngày 07 tháng 8 năm 2011
Học viên : Phạm Thị Hoài

5


Chương 1
Đa tạp bất biến trong không gian
hàm
1.1

hóa, bạn đọc có thể xem thêm trong A. Pazy[10] hay R. Nagel, G. Nikel [9].
Dưới đây là một số ví dụ minh họa họ tiến hóa:
dx
= A(t)x, với x ∈
dt
là liên tục. Khi đó tồn

Ví dụ 1.1.2. (i) Xét phương trình vi phân thường
Rn , ánh xạ tuyến tính A : [0, +∞) → Rn×n

tại duy nhất họ hai tham số các ma trận Cauchy không suy biến
(X(t, s))t,s≥0 , với X(t, s) := X(t)X −1 (s), X(t) là một ma trận cơ bản
nào đó. Họ các ma trận Cauchy này là một họ tiến hóa.
(ii) Hàm u đi từ R vào tập các toán tử khả nghịch, bị chặn đều trên X.
Toán tử u−1 (τ ) = [u(τ )]−1 bị chặn và liên tục mạnh. Khi đó toán tử
U (θ, τ ) = u(θ)u(τ )−1 xác định một họ tiến hóa trên X.
(iii) Cho (A, D(A)) là toán tử tuyến tính trên X. Lấy ω ∈ R, M ≥ 1, khi
đó các khẳng định sau tương đương
(a) (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn
T (t) ≤ M eωt , t ≥ 0.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật và với mọi λ ∈ C thỏa mãn
Reλ > ω, ta có
λ ∈ ρ(A) và R(λ, A)n ≤

M
, ∀n ∈ N.
(Reλ − ω)n

Nửa nhóm (T (t))t≥0 thường được kí hiệu là (etA )t≥0 . Với nửa nhóm liên
tục mạnh và bị chặn mũ này, ta có họ tiến hóa tương ứng với nó là


(1.1)

Trong đó A là toán tử quạt thỏa mãn tập phổ của A là σ(A) được phân
hoạch thành ba tập rời rạc: {λ ∈ σ(A), Reλ < 0}, {λ ∈ σ(A), Reλ > 0} và
8


{λ ∈ σ(A), Reλ = 0} sao cho σ(A) ∩ iR chỉ gồm hữu hạn điểm. Khi đó
A sẽ là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (T (t))t≥0 . Do đó ta xác định
được họ tiến hóa U (t, s) := T (t − s) với mọi t ≥ s ≥ 0. Đây là một họ tiến
hóa có tam phân mũ, để thấy điều này ta chỉ cần chọn được một họ các
ánh xạ chiếu thích hợp thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa trên.
Thật vậy, áp dụng định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm giải tích ta có, với
mỗi t0 cố định, phổ của toán tử T (t0 ) được phân ra thành các tập rời rạc
σ1 , σ2 , σ3 với σ1 ⊂ {|z| < 1}, σ2 ⊂ {|z| > 1}, σ3 ⊂ {|z| = 1} và σ3 chỉ
có hữu hạn phần tử. Tiếp theo chúng ta sẽ chọn P1 = P1 (t0 ), P2 = P2 (t0 ),
P3 = P3 (t0 ) là các phép chiếu Riesz tương ứng với các tập phổ σ1 , σ2 , σ3 .
Rõ ràng P1 , P2 , P3 giao hoán với T (t) với mọi t ≥ 0.
Hiển nhiên P1 + P2 + P3 = I và Pi Pj = 0 với i = j, và tồn tại các hằng
số dương M, δ sao cho T (t)P1 ≤ M e−δt với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, nếu đặt
Q := P2 + P3 = I − P1 và xét nửa nhóm liên tục mạnh (TQ (t))t≥0 trên không
gian ImQ với TQ (t) := T (t)Q. Vì σ2 ∪ σ3 = σ(TQ (t)) nên (TQ (t))t≥0 có thể
mở rộng thành một nhóm (TQ (t))t∈R trên ImQ. Từ lí thuyết nửa nhóm ta
suy ra tồn tại các hằng số dương K, α, γ (α được chọn đủ nhỏ để α < γ)
sao cho:
TQ (−t)P2 ≤ Ke−γt , ∀t ≥ 0,
TQ (t)P3 ≤ Keα|t| , ∀t ∈ R.
Từ các lập luận trên ta đi đến kết luận rằng: Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có
tam phân mũ với họ ánh xạ chiếu Pj , j = 1, 2, 3 và các hằng số N, α, β được

trong đó {Jn }n∈N = {n, n + 1]}n∈N là tập đếm được các khoảng compact
rời nhau mà hợp của chúng là R+ . Với tập các nửa chuẩn này thì có thể
thấy rằng L1,loc (R+ ) là không gian Frechet.
Cho V là một không gian định chuẩn (với chuẩn . V ) và W là một
không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. Khi đó ta nói: V mạnh
hơn W và kí hiệu là V → W nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) V ⊆ W ,
(ii) Ánh xạ đồng nhất từ V vào W là liên tục.
Điều kiện (ii) tương đương với: nếu π là một nửa chuẩn liên tục của W
thì tồn tại một số βπ sao cho π(x) ≤ βπ x V với mọi x ∈ V . Đặc biệt nếu
W cũng là không gian định chuẩn (với chuẩn . W ) thì quan hệ V → W
tương đương với V ⊆ W và tồn tại số α > 0 sao cho x W ≤ α x V với
mọi x ∈ V .

10


1.2.1

Không gian hàm chấp nhận được

Trong mục này ta nhắc lại khái niệm không gian hàm Banach và tính
chấp nhận được. Ta cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể để minh họa cho các
khái niệm này.
Định nghĩa 1.2.1. Không gian véctơ E của các hàm đo được Borel nhận
giá trị thực và xác định trên R+ (λ − h.k.n) được gọi là không gian hàm
Banach (trên (R+ , B, λ)) nếu:
(1) E là dàn Banach với chuẩn .

E


∈ E},

trang bị chuẩn
f

E

:=

f (.)

E

Ta nhận thấy rằng E là một không gian Banach và ta gọi E là không gian
Banach tương ứng với không gian hàm Banach E.
Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thỏa mãn:
11


(1) Tồn tại một hằng số M sao cho mọi khoảng compact [a, b] ⊂ R+ ta
đều có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ


f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với f

M

= supt≥0

t+1
|f (τ )|dτ
t

|f (τ )|dτ < +∞
t

là các không gian hàm Banach chấp nhận

được. Hơn nữa, nếu E là không gian hàm Banach thì E → M(R+ ). Thật
vậy, đặt β = inf t≥0 χ[t,t+1]
t+1

|f (τ )|dτ ≤
t

Do đó, f ∈ M(R+ ) và f
1.2.2

> 0. Theo định nghĩa của E ta có



Bổ đề 1.2.4. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực
đo được Borel trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn
compact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này. Khi đó ϕ ∈ E khi và chỉ khi
ψ ∈ E.
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu
trên J nên tồn tại M > 0 sao cho
λ(A) := λ ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0.
Đặt B = J \ A, do E là không gian hàm Banach nên |ϕ| ∈ E và χB ∈ E.
Bởi vậy, |ϕ| + M χB ∈ E. Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ| + M χB (λ − h.k.n), suy
ra ψ ∈ E.
Mệnh đề 1.2.5. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =
0

+∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t


(b) Với mọi α > 0, ψ(t) = e−αt ∈ E,
13


(c) Với mọi b > 0, f (t) = e b t ∈
/ E.
Chứng minh. Với a ∈ R đặt a+ = max{0, a}, ta có
t

Λ1 T1+ ϕ(t)

=

ϕ(s)ds,
(t−1)+


0

T1+ Λ1 ϕ(t) =



nếu 0 ≤ t ≤ 1,

t
(t−1)+

ϕ(s)ds nếu t > 1.


e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ ∈ E với mọi j và
+∞

+∞

e

−jσ

Tj+ Λ1 T1+ ϕ E

N1 e−jσ Λ1 T1+ ϕ

≤

j=0

E

=

j=0

N1
Λ1 T1+ ϕ

j=0
+∞

−σ(s−t)

ϕ(s)ds ≤

t+j

t+j+1

e

−jσ

ϕ(s)ds
t+j

j=0

e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) ∈ E với mọi j và
+∞

+∞
−jσ


N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

E.

(1.6)

Với ϕ ∈ M(R+ ) suy ra Λσ và Λσ bị chặn. Áp dụng với E = L∞ , từ (1.5)
và (1.6) suy ra bất đẳng thức (1.4).
(b) Lấy χ[0,1] ∈ E, đặt
t

e−α(t−s) χ[0,1] (s)ds =

v(t) =
0




e−αt (eα −1)
α

nếu t ≥ 1,



1−e−αt

Tτ ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ∈ I.

Tτ+ ϕ(t) =

(2) Trong Mệnh đề 1.2.5 (a) các hàm Λσ ϕ và Λσ ϕ được thay thế bởi:
t0

Λσ ϕ(t) =

e−σ|t−s| ϕ(s)ds,

t

trong đó t0 = +∞ nếu I = R, và t0 = 0 nếu I = R−
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ|s−t| ϕ(s)ds.
−∞

15


Trong Mệnh đề 1.2.5 (b) và (c) hàm ψ(t) = e−αt ( t ≥ 0, và với số
α > 0 cố định) được thay bởi ψ(t) = e−α|t| ( t ∈ I, và với số α > 0 cố
định); và hàm f (t) = ebt với t ≥ 0 và hằng số b > 0 cố định sẽ được
thay bằng hàm f (t) = eb|t| với t ∈ I và b > 0.
Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng những khái niệm này. Ta
kí hiệu không gian hàm chấp nhận được của các hàm xác định trên tập I

Để hiểu rõ hơn về nghiệm đủ tốt và nghiệm cổ điển của phương trình
tiến hóa, bạn đọc có thể tham khảo trong [10].
1.2.3

Hàm ϕ−Lipschitz

Để chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình (1.7),
bên cạnh tính nhị phân mũ (hay tam phân mũ) của họ tiến hóa chúng ta
cần thêm tính ϕ−Lipschitz của phần không tuyến tính f . Trong định nghĩa
sau ta hiểu J là R+ hoặc R, và EJ kí hiệu là không gian hàm Banach trên
J, khi J = R+ ta sẽ viết E thay cho ER+ .
16


Định nghĩa 1.2.6 (Hàm ϕ−Lipschitz địa phương). Cho ϕ là một hàm
dương thuộc EJ , và Bρ là hình cầu bán kính ρ trong X (Bρ := {x ∈ X :
x ≤ ρ}). Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz địa phương lớp
(M, ϕ, ρ) với các hằng số dương M, ρ nếu f thỏa mãn:
(i) f (t, x) ≤ M ϕ(t) với t ∈ J h.k.n, và x ∈ Bρ ,
(ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ J h.k.n, và x1 , x2 ∈ Bρ .
Chú ý: Nếu f (t, 0) = 0 thì từ điều kiện (ii) trong định nghĩa trên ta
thấy f thuộc vào lớp (ρ, ϕ, ρ).
Định nghĩa 1.2.7 (Hàm ϕ−Lipschitz ). Cho ϕ là một hàm dương thuộc
EJ , Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz nếu f thỏa mãn:
(i) f (t, 0) = 0 với t ∈ J h.k.n,
(ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ J h.k.n, và x1 , x2 ∈ X.

1.3

Nhị phân mũ và đa tạp ổn định trên R+

inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 +x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > 0

t∈R+

t∈R+

và tồn tại các hằng số dương ρ, ρ0 , ρ1 và một họ các ánh xạ Lipschitz liên
tục:
gt : Bρ0 ∩ X0 (t) → Bρ1 ∩ X1 (t), t ∈ R+ ,
với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R+ , x ∈ Bρ0 ∩ X0 (t)} và
ta kí hiệu St := {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi với Bρ0 ∩ X0 (t) := {x ∈ X0 (t) : x ≤ ρ0 } với mọi t ≥ 0,
(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm u(t) của
phương trình (1.8) trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện u(t0 ) = x0 và
esssupt≥t0 u(t) ≤ ρ.
Giả sử (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng
P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, β > 0. Đặt
H := sup P (t) < +∞.
t≥0

Ta định nghĩa hàm Green trên R+ như sau:
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )
nếu t ≥ τ ≥ 0,
−U (t, τ )| [I − P (τ )] nếu 0 ≤ t < τ .

(1.9)


(1 + H)N
(N1 Λ1 T1+ ϕ
−β
1−e

∞

+ N2 Λ1 ϕ

∞ ).

(1.12)

Khi đó, với mọi số dương ρ và M ta có: Nếu f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với một
ρ
hàm dương ϕ ∈ E thỏa mãn k < min{1, 2M
} thì có tương ứng: mỗi phần tử

v0 ∈ B 2Nρ ∩ X0 (t0 ) với một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (1.8)
trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện P (t0 )u(t0 ) = v0 và esssupt≥t0 u(t) ≤ ρ.
Hơn nữa, ước lượng sau cũng được thỏa cho hai nghiệm u1 (t), u2 (t) bất kì
tương ứng với v1 , v2 ∈ B 2Nρ ∩ X0 (t0 ):
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) v1 − v2 , với t ≥ t0 ,

(1.13)

trong đó µ là hằng số dương thỏa mãn
0 < µ < β + ln 1 − k(1 − e−β ) , và Cµ =

19

biến ổn định trong [6] với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân
mũ và hàm phi tuyến f là ϕ−Lipschitz như trong Định nghĩa 1.2.7. Nhưng
trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm về đa tạp bất biến ổn định cho
nghiệm của phương trình (1.8).
Định nghĩa 1.3.5. Một tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp bất biến ổn
định cho nghiệm của phương trình (1.8) nếu với mọi t ∈ R+ không gian
pha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho:
inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 +x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > 0

t∈R+

t∈R+

và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục:
gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ ,
với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
20


(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)} và ta kí
hiệu St := {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0,
(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm x(t) của
phương trình (1.8) trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) = x0 và
esssupt≥t0 x(t) < +∞,
(iv) S bất biến đối với phương trình (1.8) theo nghĩa, nếu x(.) là một nghiệm
của phương trình (1.8) thỏa mãn x(t0 ) ∈ St0 và esssupt≥t0 x(t) < +∞
thì x(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 .
Chú ý rằng nếu ta đồng nhất X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t) thì ta có
thể hiểu là St = graph(gt ), ở đó graph(gt ) là kí hiệu đồ thị của hàm gt .