ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM NHƯ THÀNH

VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM NHƯ THÀNH

VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Định nghĩa 1.2. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
1
Ax = ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x)
+
h→0 h

3

(1.2)


xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }.

1.3

(1.3)

Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.2. Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida)
Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1.

(1.4)


1
.
Reλ − w

(1.8)

Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips

Định nghĩa 1.3. Toán tử tuyến tính (A, D(A)) trên không gian Banach X gọi
là tán xạ nếu
||(λI − A)x|| λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A).
(1.9)
Định lý 1.3. (Lunner-Phillips) Đối với tán xạ xác định trù mật (A, D(A)) trên
không gian Banach X các mệnh đề sau tương đương:
(a) Bao đóng A của A sinh ra nửa nhóm co.
(b) R(λI − A) trù mật trong X với một λ > 0 nào đó (và do đó với mọi λ > 0).
4


Hệ quả 1.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử xác định trù mật trên không gian
Banach X. Nếu cả A và toán tử liên hợp A∗ tán xạ thì bao đóng A của A sinh
ra một nửa nhóm co trên X.
Định lý 1.4. Giả sử (A, D(A)) là tán xạ trên không gian Banach X sao cho
(λI − A) là toàn ánh với λ > 0 nào đó. Khi đó phần A| của A trong không gian
con X0 = D(A) là xác định trù mật và sinh ra nửa nhóm co trong X0 .
Ví dụ 1.1. Sau đây ta nêu ra ví dụ về một tán xạ có miền xác định không trù
mật.
Giả sử X = C[0,1] , xét toán tử Af = −f với miền xác định D(A) được xác
định như sau:
1


Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là
nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi
S(t) = V −1 T (t)V,

5


trong đó (T (t))t≤0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X .
Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định
D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)},

trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≤0 .
Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A).
1.5.3

Nửa nhóm điều chỉnh

Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > 0 có toán tử sinh là B =
αA + µI với miền xác định D(B) = D(A).
1.5.4

Nửa nhóm nhân

Ta bắt đầu với việc xét không gian Banach (với chuẩn sup)
Kí hiệu:
C0 (Ω) := {f ∈ C(ω) : ∀ ε > 0 tồn tại tập compact Kε ⊂ Ω

sao cho |f (s) < ε| ∀ s ∈ Ω\Kε }.
đây là không gian các hàm phức, liên tục trên không gian compact địa phương


1.6

Bài toán Cauchy đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu:
u(t)
˙
= Au(t)

(ACP)

∀t ≥ 0,

u(0) = x.

trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong
không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá
trị ban đầu.
Định nghĩa 1.7. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán
Cauchy trừu tượng (ACP) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
thỏa mãn (ACP ).
Mệnh đề 1.1. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 . Khi đó, với mọi x ∈ D(A), hàm u : t → u(t) = T (t)x là nghiệm (cổ
điển) duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
Định nghĩa 1.8. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán
t
Cauchy trừu tượng nếu 0 u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
t



7


Chương 2

Tính chất nghiệm của phương trình
tiến hóa trừu tượng và ứng dụng
2.1

Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh

Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co hoặc
nửa nhóm liên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử
quan trọng không thể thực hiện một cách trực tiếp. Nhiễu là phương pháp cơ
bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn đề này. Trước khi xét bài toán nhiễu
của nửa nhóm ta xét bài toán sau.
Bài toán: Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 và xét toán tử thứ hai B : D(B) ⊆ X → X . Tìm điều kiện để
A + B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 nào đó.
Chúng tôi xin nhắc lại, tổng A + B được định nghĩa như sau:
(A + B)x = Ax + Bx,

với
x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B).

Khi đó ta nói A là toán tử sinh của B và B là nhiễu của A. Nói chung, tập xác
định D(A + B) có vai trò quan trọng cho tính chất của tổng A + B . Trong một
số trường hợp D(A + B) có thể là {0}.
Định lý 2.1. (Định lý về nhiễu bị chặn) Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của

∞

(BR(λ, A))n .

R(λ, C) = R(λ, A)

(2.3)

n=0

Ta ước lượng
||R(λ, C)|| ≤

1
1
1
.
=
Reλ 1 − ||B||/Reλ
Reλ − ||B||

với mọi Reλ > ||B|| và từ hệ quả II.3.6 (xem [8], trang 76) ta có C là toán tử
sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thỏa mãn
||S(t)|| ≤ e||B||t với t ≥ 0.

Với w ∈ R, M ≥ 1, việc đầu tiên chúng ta làm thay đổi để được w = 0. Giống
như Bổ đề II.3.10 (xem [8], trang 78), ta xây dựng chuẩn mới
|||x||| := sup||T (t)x||
t≥0


0

trong đó −A là một toán tử sinh của C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, trong không
gian Banach X và f : [t0 , T ] × X → X là ánh xạ liên tục theo t và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo u ([?]).
Nếu bài toán (2.4) có nghiệm cổ điển thì tương ứng với phương trình (2.4) ta
sẽ xét phương trình tích phân
t

T (t − s)f (s, u(s))ds.

u(t) = T (t − t0 )u0 +

(2.5)

t0

Nói chung nghiệm của (2.5) có khi không là nghiệm của (2.4) và chúng ta có
định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1. Một nghiệm liên tục u của phương trình tích phân (2.5) được
gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy (2.4).
Chúng ta sẽ bắt đầu với việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của
nghiệm đủ tốt của phương trình (2.4) thông qua định lý sau đây.
Định lý 2.2. Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t trên [t0 , T ] và liên tục
Lipschitz đều (với hằng số L) trên X. Khi đó, nếu −A là toán tử sinh của C0 −
nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian Banach X, thì với mỗi u0 ∈ X, bài toán với
giá trị ban đầu (2.4) có duy nhất một nghiệm đủ tốt u ∈ C([t0 , T ] : X).
Chứng minh. Trước hết chúng ta nhắc lại rằng (T (t))t≥0 là liên tục mạnh nên
tồn tại M0 > 0 sao cho
||T (t)|| ≤ M0 ewt ,

t0

Ta có
t

||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M0 e

w(t−t0 )

M0 ew(t−s) L||u(s) − v(s)||ds

||u0 − v0 || +
t0

t

M L||u(s) − v(s)||ds

≤
t0

trong đó M = M0 ewT . Do đó
||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M L(t − t0 )||u − v||∞ ,

(2.7)

Tiếp tục bằng phương pháp truy hồi ta có
(M L(t − t0 ))n
||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤
||u − v||∞ ,



Định nghĩa 2.2. Ánh xạ f : X → C([t0 , T ], X) được xác định bởi
f : x → f (t, x)

được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M1 dương sao cho với
mọi x, y ∈ X ta có
||f (t, x) − f (t, y)||∞ ≤ M1 ||x − y||.

Từ định lý 2.2 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1. Ánh xạ u0 → u được xác định theo định lý 2.2 là liên tục Lipschitz
từ X vào C([t0 , T ] : X).
Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong định lý 2.2 chúng ta
nhận được các hệ quả sau.
Hệ quả 2.2. Nếu A và f thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2 khi đó với mỗi
g ∈ C([t0 , T ] : X) phương trình tích phân
t

T (t − s)f (s, w(s))ds

w(t) = g(t) +

(2.9)

t0

có nghiệm duy nhất w ∈ C([t0 , T ] : X).
Chúng ta biết rằng giả thiết về sự thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều của hàm
f trong định lý 2.2 bảo đảm cho sự tồn tại nghiệm trên toàn cục (tức là nghiệm
xác định trên toàn đoạn [t0 , T ]). Nếu chúng ta giả thiết rằng f chỉ thỏa mãn điều

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ tốt của (2.4) cũng là nghiệm cổ điển.
Định lý 2.4. Giả sử −A là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm (T (t)) trên X. Khi
đó nếu f : [t0 , T ] × X → X là khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X thì nghiệm đủ
tốt của (2.5) với u0 ∈ D(A) là nghiệm cổ điển của bài toán với giá trị ban đầu.
Để làm rõ khả năng ứng dụng của bài toán bị nhiễu chúng tôi sẽ phát biểu
định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa dạng
t

u(t) = T (t − t0 ) +

T (t − t0 )f (τ, u(τ ))dτ

với t ≥ t0 , u(.) ∈ X.

(2.12)

t0

Ở đây (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh, f : R+ × X → X là hàm liên tục
thỏa mãn điều kiện:
||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ α(t)||u − v|| với t ∈ R+ , u, v ∈ X.

Hàm α : R+ → R là liên tục bị chặn.
Định lý 2.5. Giả sử α : R+ → R là liên tục thỏa mãn điều kiện
∞

α(t) ≤ +∞.
0

Khi đó ta có các khẳng định sau đây:

x(s)
= x.
Bài toán với giá trị ban đầu (2.13) được gọi là bài toán tiến hóa. Nếu không
có giả thiết gì thêm thì sau đây chúng ta giả thiết rằng hàm f (t) (f : J → X) và
A(t) (A : J → L(X)) là đo được mạnh và khả tích Bochner trên mỗi đoạn hữu
hạn của tập J.
Trước tiên ta cố định s = t0 ∈ J . Khi đó mỗi nghiệm x = x(t) của (2.13) thỏa
mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với t0 ∈ J, x0 ∈ X cũng là nghiệm khả vi liên
tục của phương trình tích phân sau đây
t

x(t) = x0 +

t

A(τ )x(τ )dτ +
t0

f (τ )dτ

(2.14)

t0

ở đây x0 = x(t0 ).
Trong trường hợp đặc biệt nếu f (t) là liên tục và A(t) là liên tục mạnh (xem
[?]) thì nghiệm của phương trình (2.14) là khả vi liên tục tại mỗi t ∈ J, do đó
đẳng thức của phương trình (2.13) thỏa mãn trên toàn bộ tập J.
Trong trường hợp tổng quát hơn chúng ta có thể xét phương trình tích phân
Volterra có dạng sau đây:

tn

+

t2

...
n=2

t0

t0

A(tn )A(tn−1 )...A(t1 )g(t1 )dt1 ...dtn−1 dtn
t0

(2.16)
hay:

∞

gk (t)

x(t) = g(t) +
k=1

trong đó:
t

gk (t) =

n

||A(τ )||dτ

.

t0

(2.17)
Sử dụng đẳng thức (2.17) ta có thể suy ra hệ quả sau:
Hệ quả 2.3. Nếu các giả thiết của bổ đề 2.1 được thỏa mãn thì ta có đánh giá
sau:
b

|||x||| ≤ |||g||| exp

||A(τ )||dτ .

(2.18)

a

Sử dụng kết quả của bổ đề 2.1 ta có định lý sau:
Định lý 2.6. Giả sử A : [t0 , T ] → L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner
trên [t0 , T ] và f ∈ C([t0 , T ], X). Khi đó phương trình (2.14) có nghiệm liên tục
duy nhất.
Trong trường hợp đặc biệt khi f (t) = 0 và A(t) thỏa mãn các điều kiện của
định lý 2.6 ta xét bài toán với giá trị ban đầu (Bài toán Cauchy):

 dx


t2

tn

A(tn )A(tn−1 )...A(t1 )x0 dt1 ...dtn−1 dtn .

...

+
n=2

t0

t0

t0

Với mỗi t ∈ [t0 , T ], xét toán tử tuyến tính U (t, t0 ) : x → x(t) được xác định bởi
phương trình tích phân:
t

A(τ )x(τ )d(τ ).

x(t) = x0 +
t0

Với giả thiết A : [t0 , T ] → L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner, ta có thể
sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để chỉ ra rằng với mỗi t ∈ [t0 , T ] ta có:
||U (t, t0 )x|| = ||x(t)|| < M < +∞


t0

Bằng lý luận tương tự như trong bổ đề (2.1) chúng ta có thể chỉ ra chuỗi toán
tử đang xét là hội tụ. Chú ý rằng, chuỗi ở vế phải của biểu thức (2.20) được làm
ra bởi chuỗi:
∞
1+
n=1

1
n!

T

n

||A(τ )||dτ

.

t0 )

Giả sử s, t là các giá trị tùy ý thỏa mãn điều kiện 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Chúng ta xét
bài toán giá trị ban đầu thuần nhất dạng:

 du(t)
dt
u(s)


với h(t) là một hàm liên tục không âm. Khi đó:
t
t0

ϕ(t) ≤ ce

h(τ )dτ

.

(2.23)

Để thuận tiện cho việc biểu diễn nghiệm và nghiên cứu tính chất nghiệm của
phương trình (2.13) chúng ta sẽ xác định một toán tử tuyến tính U (t, s) từ X
vào X mà ta gọi là "toán tử nghiệm" của bài toán với giá trị ban đầu (2.21),
toán tử này được xác định như sau.
U (t, s) : x → u(t)
U (t, s)x = u(t)

với 0 ≤ s ≤ t ≤ T,
với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

(2.24)

ở đây u(t) là nghiệm của (2.21). U (t, s) là họ toán tử tiến hóa phụ thuộc vào hai
tham số.
Với T > 0 bất kỳ ta ký hiệu ∆T = {(t, s)|0 ≤ s ≤ t ≤ T }, định lý sau đây cho
ta một số tính chất cơ bản của họ toán tử tuyến tính bị chặn U : ∆T → L(X)
được xác định bởi phương trình (2.21).
Định lý 2.7. Giả sử A(t) thỏa mãn các điều kiện của định lý (2.4) tức là

(ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s) là liên tục mạnh với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Một số tính chất liên quan tới họ đó chúng ta sẽ xét trong các phần tiếp theo.

2.4

Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán
tử tiến hóa liên tục mạnh

Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi (A, D(A)) và B(.) ∈
C(J, Ls (X)) với J = [0, T ], ta xét họ các toán tử tiến hoá U (t, s) : X → X xác
định bởi :
t

u(t) = T (t − s)x +

T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ

(2.25)

s

trong đó x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J bất kỳ, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)).
Bổ đề 2.3. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)).
Khi đó phương trình tiến hóa (2.25) có nghiệm duy nhất.
Tương ứng với phương trình (2.25) với mỗi (t, s) ∈ ∆J ta xác định toán tử
U (t, s) : X → X xác định bởi
U (t, s) : x → u(t).

Từ (2.25) ta có:
||U (t, s)x|| = ||u(t)||

(A, D(A)) trong không gian Banach X. Cùng với nửa nhóm (T (t))t≥0 ta xét họ
toán tử tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 được xác định bởi:
t

U (t, s)x = T (t − s)x +

T (t − ζ)B(ζ)U (ζ, s)xdζ,

x ∈ X.

(2.26)

s

trong đó x ∈ X, 0 ≤ s ≤ t ≤ t1 và B(.) ∈ Cb (R+ , Ls (X)) thỏa mãn điều kiện
∞

||B(ζ)||dζ < +∞.

(2.27)

0

Định nghĩa 2.4. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và họ các toán tử tiến
hóa liên tục mạnh (U (t, s))t≥s≥0 được gọi là tương đương tiệm cận nếu với mỗi
x ∈ X,tồn tại y ∈ X sao cho:
lim ||T (t − t0 )x − U (t, t0 )y|| = 0

t→∞


Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi

Xét mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi được xác định bởi bài toán Cauchy:
(APE)

∂f
∂f


(a, t) +
(a, t) + µ(a)f (a, t) = 0, a, t ≥ 0

 ∂t
∂a
∞
(2.28)
f (0, t)
= 0 β(a)f (a, t)da, t ≥ 0




f (a, 0)

= f0 (a),

a ≥ 0.

Trong đó t và a là các biến thực không âm tương ứng với các đại lượng thời gian
và tuổi của các cá thể; f (., t) mô tả cấu trúc tuổi của quần thể ở thời điểm t và

tính (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Đồng thời
tương tự như trong [8] (trang 16-17) đã chỉ ra rằng bài toán (APE) tương đương
với bài toán Cauchy trừu tượng (CE).

u(t)
˙
= Au(t), t ≥ 0
(2.29)
u(0) = f0
với u(t) := f (., t).
Áp dụng định lý toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ta có thể chỉ ra
rằng (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trong X
(ta sẽ gọi là nửa nhóm dân số). Trong trường hợp này, nghiệm duy nhất của
(APE) được cho bởi f (a, t) := (T (t)f0 (a).
Hoàn toàn tương tự, chúng ta xét bài toán dân số có nhiễu tuyến tính sau
đây: (APE(p))

∂f
∂f


(a, t) +
(a, t) + µ(a)f (a, t) = α(t)f (a, t), a, t ≥ 0

 ∂t
∂a
∞
(2.30)
f (0, t)
= 0 β(a)f (a, t)da, t ≥ 0

(R+ ), f (0) =

β(a)f (a)da}
0

là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0 và Bα : X → X là toán tử tuyến tính liên
tục thỏa mãn điều kiện
∞

α(t)dt < +∞,
0

21


Khi đó từ bài toán (APE(p)) chúng ta có thể đưa về xét phương trình: (CE(p))

u(t)
˙
= [A + α(t)]u(t), t ≥ 0
(2.31)
u(0) = f0
với u(t) = f (., t).
Tương ứng với bài toán (CE(p)) chúng ta xét phương trình tiến hóa
t

u(t) = T (t − s)f +

T (t − τ )Bα (τ )u(τ )dτ



22


0 < r < rm , ở đây rm là tuổi thọ cao nhất của loài, chúng ta xét phương trình vi

phân sau:

∂p(r, t, x) ∂p(r, t, x)


+
= −µ(r)p(r, t, x) + K∆p(r, t, x),


∂t
∂r


 p(r, 0, x) = p (r, x),
0
rm


p(r, t, x) = 0 β(r)p(r, t, x)dr,







(2.34)

0

Trong tài liệu ([5], trang 164-165) đã chỉ ra rằng (A, D(A)) là toán tử sinh của
nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trong không gian X := L2 ((0, rm )).
Để kết thúc bài toán này chúng tôi xin nhắc lại rằng các điều kiện đủ để nửa
nhóm (T (t))t≥0 là ổn định theo nghĩa Lyapunov đã được xét đến trong tài liệu
[5].

23