' -^

'-

DAI HOC QU6C GIA HA N C I
TRirclNG DAI HOC KHOA HOC Tl/NHlfeN

DINH CONG HI/6NG

.^

A/

M O T SO VAN Dfi DINH TINH
CUA PHlTONG TRINH SAI PHAN VA UNG DUNG

Chuyen nganh: Toan Giai tich
Ma so: l.Ol.OI

LUAN AN TIEN SI TOAN HOC

TAP THE H U O N G D.AN KHOA HOC:
1. HDC: GS. TSKH Nguyen Van Mau
2. HDP:
TS. O^ng V u Giang

HA NOI - 2006


MUG LUC



Gidfi n6i ngat

13

1.1.3

Hoi tu tai trang thai can bang duang vai ta't ca cac cham . . . .

16

LL4

H6i tu tdi trang thai can bang ducmg vai chain nho

21

1.1.5

Dao d6ng cham va luan hoan kh6ng tam thuong

24

M6 hinh quan the' dan rcri rac phi tuye'n vcri mOt cham

28

1.2.1

Sir diet vong, trucmg t6n, phat trien ben NVng va tuan hoan . . .


Chirong 2

Ve mot lap phirong trinh sai phan phi tuyen voi nhieu cham

43
48

2.1

Mot s6 khiii nicm

'^^

2.2

Tinh h6i tu, giai noi, tuan hoan

-^9

2.2.1

Tinh h6i tu

^^

2.2.2

Tinh giai noi


71

3.2

M6t s6 phuong trinh sai phan huu ty bac hai

75

Ket ludn

88

Danh muc cong trinh da cong bo cua tac gia lien quan den luSn an

90

Tai lieu tham khao

91


MOT SO Ki HIEU DUNG TRONG LUAN AN

N - tap cac s6 tu nhien.
Z - tap cdc s6 nguyen.
Ne = {n e Z : n ^ £}, a d&y e e Z.
No = NU{0}.
R, R+, R'^ - true s6 thuc, niia true s6 thuc duang, kh6ng gian vec to thuc A:- chieu
R!r -: R+ X R^ X • • • X R+.
^

qua xap xi t6t nhat khi thdi gian tie'n ra v6 ciing. Chang han nhu, di tim nghiem
(x^p xi) ciia phuong trinh f{x,x) - x trong tap hcrp s6' thuc duong ta cho tru6c
cac gia tri XQ.XI > 0 va tinh cac gia tri khac theo cOng thuc x„+i = /(i„,Xn-i)
vdi n G N. Dieu ma chung ta can o day la day {xn}n hOi tu nhanh toi nghiem
ciia phuong trinh f{x,x) = x. Tuy nhien trong thuc te lai c6 th^ xay ra trucmg
hgp day {x„}„ tuan hoan hoac hOi tu nhung tO'c dO h6i tu khOng cao.
Tren thuc te' nhieu quan th^ sinh hoc duoc mo hinh hoa boi phucmg trinh sai
phan phi tuye'n c6 cham dang
x„+i = Ai„+ F(x„_m),
trong 66 m la m6t s6 nguyen duong c6' dinh, n e No; x,,

(0.1)
(z = -m, 0) la cac s6'

duong cho tru6c; A e (0,1) va F G C([0,oo)) (xem [1], [7], [12], [41], [44], [45]).
Trong m6 hinh nay, m la khoang thoi gian tir liic sinh ra den luc trucmg thanh
cLia ca th^; x„ la s6' lugng thanh vien trucmg thanh cua quan the 6 thoi diem n;
Axn la s6' lugng thanh vien truong thanh sO'ng sot (a thai diem n) va F(x„_,„) la
.sO' lugng thanh vien trudng thanh (phat sinh bai x„_„.) bd sung vao quln the a
th6i diem n + 1. Hai m6 hinh tieu bieu c6 dang (0.1) la mo hinh quan the chim
cut o bang Wisconsin hgp chung quO'c Hoa Ky (xem [7], [41], [44])

A.M-A.r„ + -^f^^,

(/a->0)

va m6 hinh quan the ru6i xanh Nicholson (xem il], |45j)
J-„ + i = Ax„ + p x „ _ ^ c - ' " " — ,

{p.q>

noi nggt hay hOi tu toi trang thai can bang duong duy nha't. Dac biet la ket qua
ve hieu suA't cua do tre doi voi sir hoi tu cua nghiem den trang thai can bang
duang va su tOn tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thucmg (xem [17], ilS;). Nliom
tac gia nay cung ap dung cac ket qua cua ho dd xac dinh dieu kien diet vong.
truong t6n, phat tridn ben vung hay tuan hoan cua mot s6' qudn the sinh hoc dugc
rno hinh hoa boi phirong trlnh dang (0.2). 6 day ham phi tuyen / khong doi h6i
don dieu hay kha vi. Vi vAy, kCt qua nay la c6 y nghia sinh hoc. bai \i h:\u het
ciic m6 hinh phat triCn qudn the sinh hoc, ham / thuCmg khong dan dicii va kha
vi. Hon nua, nghiem tuctn hoan khOng tam thuong dong vai tro quan inMiLi irong
cac qua trinh sinh hgc. Nhom tac gia nay da su dung phucmg phap lap gun ium


uj Ai nghien cuu sir h6i tu cua nghiem den trang thai can bang duang duy nh^t
cua phirong trinh (0.2). Ngoai ra, ho con dung nguyen ly re nhanh Hopf va dinh
1^ di^m b^Tt d6ng Browder d^ chung minh t6n tai nghiem tu^n hoan kh6ng t^m
thucmg cua phuong trlnh nay.
Tinh ch^t cua nghiem phuong trinh sai phan phi tuye'n c6 cham (0.1) cung
da dugc nhieu nha khoa hoc quan tam nghien cuu (xem [1], [12], [27], [28], [45]).
M6t s6 tac gia da tim dugc mot so dieu kien dd moi nghiem cua (0.1) hOi tu toi
trang thai can bang duong duy nha't cua no (hieu suat do tre khong xua't hien).
Cu th^ la, nguoi ta da chung minh rang voi mot so dieu kien rang buoc ve tinh
don dieu, kha vi cho ham phi tuyen F, ihl moi nghiem hoi tu tai trang thai can
bang duong voi ta't ca cac chain.
Nam 1984, trong [12], Fischer va Gogh da su dung phuong phap phiem ham
Liapunov dd chiing minh sir 6n dinh tiem cAn toan cue cua trang thai cAn bang
duong duy nha't ciia phuong trinh dang (0.1). Trong [Ij, lac gia da ap dung ket
qua nay dd xac dinh dieu kien phat Irien ben vung trong hai mo hinh quan the
sau

va

N6i dung cua luan an, ngoai phiin mo d^u, phln ket luAn gom co 3 chuong.
Chuong 1 nham trlnh bay m6t s6' dieu kien dd moi nghiem cua phuong trlnh
(0.1) hci til ve 0, gi&i noi nggt, h&'\ tu toi trang thai can bang duong duy nha't vcd
ta't ca cac cham hay voi cham nho; dac biet la dieu kien de t6n tai nghiem tuln
hoan khOng tfim thucmg. Xac dinh dieu kien diet vong. irucmg ion, phat men
b6n vung va tudn hoan cua cac quiin the sinh hoc dugc mo hlnh hoa boi phuong
irlnh nay. Ngoai ra, Chuong 1 con chi ro sir tuong thich ve iinh cha't cua nghiem
phuong trinh sai phan phi tuyen co cham (0 1) va phucmg trlnh v: oha- phi tuyen
CO cham (0.2), Cac ke't qua dat dugc trong Chuong 1 la moi va mang ii'nh thoi
su. Day cung la chuong co nhieu ket qua moi nha't irong luAn an nay.
Trong Chuong 2, chiing tdi xac dinh dieu kien de nghiem cua phucmg irinh
sai phan phi tuye'n voi nhieu cham bi chan dang (0.3) la h6\ tu, gioi n6i. tuAn


h o ^ hay dao d6ng. Cac k^t qua \6 tinh hOi tu, gidi n6i, t u ^ hokn xac dinh
di6u kien diet vong, trucmg t6n hay tufe h o ^ cho cac q u ^ thi sinh hoc dugc
m6 hinh hod bcri phuong trinh (0.3). Ngoai ra, cdc k^t qua v6 tinh dao d6ng cua
nghiem phuong trinh (0.3) (trong trudng hgp An = 1,

Vn € No) la mo rOng v6

mat toan hoc cho m6t s6' k^t qua ciia L. H. Erbe va B. G. Zhang ve tinh dao
d6ng cua nghiem phuong trinh

Chuong 3 danh di nghien ciiu tfnh ch^t ciia nghiem mOt s6' Idrp phucmg trinh
sai phan huu ty dang (0.4). Cii th^ la, chiing tOi chung minh mOt phin du doan
cua Ladas va xac dinh mOt s6' dieu kien dii de' moi nghiem ciia mot s6' lap phuong
trlnh sai phan huu ty dang (0.4) hOi tu toi trang thai can bang ducmg duy nha't
cCia chiing.
N6i dung chinh ciia luan an dugc cOng b6' trong cac cOng trlnh [1-4] cua tac
0 la m6t s6' nho tuy y. Dat TV = yV(e) sao cho F(x„__^) < ^2 + -^ vdi
moi 71 > A^. Vdi n > A'' ta co


nen khdng h6i tu den 0. Ta xet trucmg hgp thu hai. Dat x, = 2,

i = - m , 0 . Ta

chung minh rang Xn > 1 vdi moi n. Bang quy nap, gia su rang x^ > 1 vdi k ^^n.
The' thi
Xn+l

^

'^^n

I -^

\Xn-m)

>

A + ( 1 - A ) = l.

VI vay x„ > 1 vcfi mgi n, do do Xn khong hoi tu toi 0. Dinh ly duoc chung
minh.

LJ

Nhan xet 1.1. De iha'y rang neu F(x) = c (hang so") thi lim^^^^ x„ = yf^. That
vay, phuong trlnh X,H i = Ax„ + c co nghiem tOng quat la x„ = aA" + j ^ .

Do


Khi do mgi nghiem {xn}„ ciia (LI) Id gi&i noi nggt.
Chiing minh. Trudc het ta chihig minh rang {xn}n la bi chan tren. Bang phuong
phap chung minh phan chumg, gia su limsup^_,^x„ = oo. Vdi mdi sd nguyen
n ^ - m , ta dinh nghla
kn '= inax{p : —m ^ p K n,Xp — max x^}.
Nhan xet rang A;_^ ^ fc.^+i ^ • • • ^ A:„ ^ oo va do do
lim x^-, = oo.
n—>oo

Chgn no > 0 sao cho kn^ > 0. Vdi n > no ta cd

^

Ax^-„ + //(xjt„_i_^,0)

va VI vay
lim //(xfc„_i_„,,0) - oo
n—KXJ

Dieu nay keo theo
lim

XA.-

_i_,n = oc

Mat khac

^


^

AX,„ + / / ( x , „ _ i _ m , C )

va do dd
lim //(x,^_i_m,C) = 0

Dieu nay dan den
h m Xs^-\~r7, = 0,

n—>oo

Mat khac,
X^,^

(l-A)x,,^

^

A X , „ _ 1 -f / / ( x , ^ _ i _ , . i , X , , - l - m )

>

//(x,^,x,,^_i_.,)

(VI x.,„ ^ x,„^i „, va //(x,j/) la hmn ddng bien ihco bicn s) nen ta nhAn duoc
.
//(x,y)
. ^//(x,,,x,^ ^ - ' < 1 \
hm mf —
>^

x,^

dieu nay trai vdi (1.6). Dinh ly dugc chung mnih.

•


16
Dinh nghla 1.3. Vdi m6t nghiem gidi ndi ngat {xn}n cua (1.1) ta goi tap tSft ca
cdc di^m tu cua day cac vec to {v^ = (x„_^, Xn-m+i, * • • , Xn)}n la tap gidi han 6
me ga ciia {xn}n va ki hieu la u{x),
Nhan x^t 1.2. Tap gidi han a;(x) compact va b^t bie'n ddi vdi anh xa

xac dinh boi Tv^ = v^_^^, Neu mdt nghiem {xn}n la tuin hoan thi tap hgp gidi
han uj{x) g6m hiJu han didm. Ngugc lai. neu tap hgp gidi han a;(x) g6m him han
didm, thi ban than nd la mdt nghiem tu^n hoan (xem [53]). Hon niia, anh xa
T : uj{x) —> u{x) la toan anh. Vi vay, t6n tai hai nghiem cd ngu6n gdc {PnlnGZ
va {Qn}n€Z (gia tri ban dau dugc chon trong tap gidi han a;(x)) cua phuong trinh
(1.1) vdi mgi n sao cho
lim sup Xn = PQ,
n-^oc

oo

n—*oo

va

Qo ^ Pn ^ -^0

Qo ^ Qn ^ Po.

Vn e Z.

0 va a^o^ ^ 0. Mat khac. tu (1.7j suy
ra limsup^_^C(x) < 0, va tCr (1.8) ta nhan dugc hminf^_o^(j) > 0. Do do, hai
irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong (0, Qo] va \PQ. oc) co hai die'm A'', A'"
khac nhau sao cho i{K') = i{K") - 0, hoac l\ = Qo = ^- Theo gia thiet thi
tru5ng hgp thu hai xay ra. Dinh ly dirge chung minh.

•

Dinh ly 1.4. Gia si( F la ham chm dieu gidm. Dat

. F{yo)

Po ^ —. _ .

^ T^

.,

,

/I Tj\

^ ^^^^^''

^

'

Dinh !y 1.5, Gia sH rang /(yo) ^ yo va (J.8) cung dugc gia thiet la diuig. did sir
{xn}n i^ ^g^ nghiem gi&i noi nggt cua (LI). The thi {xn)n hoi tu den x.
Ciiirng minh. Tir (1.12) va (1.13) ta cd Pn ^ Po ^ yo>

Vn G Z. Nhung F la ham

tang trong [0,yo] nen ta thu dugc
F(P_„.-0 , F(Po)
Po^
1-A
^ 1-A


cua phuong trinh /(x) = x. Di6u nay cd nghla x G int/ la diem cd dinh duy nhat
cua / . Ta cd bo de sau:
Bo de 1.1. Gia silt rang limn-.oo/"(x) = ^ ^'cri tat cd x G / . The thi mgi nghiem
gi&i ndi nggt ciia (LI) hoi tu t&i x.
Chimg minh. Nhu da de cap 0 tren vdi mdt nghiem gidi noi ngat {x^Jn ta phai
cd Xn G / vdi ta't ca n trir mot sd huu han chi sd n. VI vay khong mat tinh tong
quat ta gia su rang x^ G / vdi mgi n. Theo dinh ly 1.6 ta cd dieu phai chung
minh.

'-'

Bo d^ 1.2. Gia su hdm f co dgo hdm de'n cap 3 tren L \f'[s)\ ^ 1 vd dao ham
Schwarzian

,

cua f dm trong I \ {x}. The thi liin„^oo /"(x) = x v(n idi cd x G /.


21
Ph6p chumg minh ciia bd d6 1.2 cd thi tim th^y d [27], [51]. B 6 di 1.1 va 1.2
cho ta dinh ly sau:
Dinh ly 1.7. Gia sUt hdm f co dgo hdm den cap 3 tren /, |/'(x)| ^ 1 vd dgo hdm
Schwarzian

^'^^> - m

2 (/'(x))

ciia f dm trong I \ {x}. The thi mgi nghiem gi&i noi nggt cua (LI) hoi tu t&i x.

TTl

j=0


22
Mat khac,
Po = AP.i + F{P_,_m) ^ APo + F ( P - i - ^ ) ,
nen Po ^ /(P-i-m) < /(yo). Nhimg Po ^ P-i-m. do dd P.^^m ^ /(P-i-m). Mat
khac, ta cd y > /(y) vdi mgi y G (x,oo). Vi vay, P-i-m ^ x. Tir day suy ra
Qo ^ X. Menh d^ dugc chumg minh.

D

Dinh ly 1.8. Gid silt ton tgi cac hang so duang Li,L2 sao cho hdm / thoa man
dieu kien
0 ^ /(x) — X ^ Li(x — x)
0 ^ X - /(x) ^ L2(x - x)

v&i mgi x G [A"^'^^x,x],
V(77' W(?/ X G [x,/(yo)].

(1-lG)

/LA/* Jd mgi nghiem gi&i noi ngiit {x„}n ciia (LI) hoi tu den x neu
A"*^^ > 1
Chimg minh. Ggi {Pn}nGZ va {Qn}nez la cac nghiem cd ngudn gdc cua phuong
trinh (1.1) vdi Po = nmsupn_,oo^n va Qo - liminfn^oc :Cn. Tu menh de 1.1 ta cd
A"^+'X < Q o ^ P - m - l ^ X ^