Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015,
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã được đào tạo và tích lũy nhiều kiến thức
cho bản thân cũng như phục vụ công việc. Đặc biệt là khoảng thời gian thực hiện
đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trƣờng và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có
cấu trúc vỏ mỏng bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn”.
Tôi xin bày tỏ lòng tri ân tới các Thầy, Cô Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử –
Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi trong học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Đặc biệt xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Đặng Quốc
Vương đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng, song với kiến thức còn hạn chế và thời
gian có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Học viên

Trần Thanh Tuyền

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015



7

1.2.3 Phương trình Maxwell trong miền tần số ...............................................

9

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm ................................................

10

1.4 Sơ đồ Tonti ..................................................................................................

11

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát ....................................................

13

1.6 Mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động ………………….……….

13

1.6.1 Mô hình bài toán từ tĩnh ………………………………………..………

13

1.6.2 Mô hình bài toán từ động …………………….………………….……..

15



21

2.3 Mô hình phần tử hữu hạn ………......…….….......……....……….……...

25

2.3.1 Các hàm nội suy ……………………….………..............……….……...

26

2.3.2 Các phần tử tham chiếu ………….........…….………....….…….……...

29

2.4 Phƣơng trình yếu nhận với vectơ từ thế A ………………..….…………

31

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

2.4.1 Tổng quan ………………...…….…………..………………..….………



3.2 Bài toán 1: Mô hình 2D của cuộn dây - màn chắn có cấu trúc mỏng ....

38

3.2.1 Mô hình 2D với một màn/tấm chắn ………………..……………..…….

38

3.2.2 Mô hình 2D với hai màn/tấm chắn …………………….…...…….……

42

3.3 Bài toán 2: Mô hình 2D với lõi thép và cuộn dây ……………..………..

47

3.4 Bài toán 3: Mô hình 3D với bài toán TEAM Problem 21B ……..…….

50

3.5 Kết luận ………………………………………………….…………..……

55

KẾT LUẬN ……………………………………………………….…………..

56

HƢỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO ………………………………………

Hình 2.2: Một phần lưới 2D của miền …………………………….…….……

24

Hình 2.3: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau ………………………..……

25

Hình 2.4: Các dạng hình học: nút, cạnh và mặt (i, j, k, l  N) .…………....……

26

Hình 2.5: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu N

…………..…

26

Hình 2.6: Mô tả hình học của hàm cạnh seij ………………………………..……

28

Hình 2.7: Vector a×b trong hàm sf ……………...………..………………...…....

29

Hình 2.8: Mô tả hình học của hàm mặt phẳng sf ……….......................................

29


39

Hình 3.5: Phân bố của từ thế A (µ = 1, σ =10 MS/m, f = 300Hz) ……................

40

Hình 3.6: Phân bố của từ thế A (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) ......................

40

Hình 3.7: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 1, ζ = 10 MS/m, f = 300Hz) .............

40

Hình 3.8: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 100, ζ = 10 MS/m, f = 50Hz) ...........

41

_

F , j,i

Hình 3.9: Phân bố mật độ dòng điện xoáy dọc theo màn chắn (trên) và phân bố
của mật độ dòng điện nguồn trong cuộn dây (dưới) (µ = 100, ζ =10 MS/m, f =
50Hz) .....................................................................................................................

41

Hình 3.10: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn, từ tâm đến cuối ..........



Hình 3.16: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 1, ζ
=10 MS/m, f = 300Hz) ..........................................................................................

45

Hình 3.17: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 100,
ζ =10 MS/m, f = 50Hz) .........................................................................................

45

Hình 3.18: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng
cách D = H2/2), từ tâm đến cuối ............................................................................

45

Hình 3.19: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng
cách D = 2H2), từ tâm đến cuối .............................................................................

46

Hình 3.20: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng
cách D = H2/2), từ tâm đến cuối ............................................................................

47

Hình 3.21: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng
cách D = 2H2), từ tâm đến cuối............................................................................

47


50

Hình 3.29: Mô hình hai cuộn cảm và một tấm chắn từ mỏng ...............................

51

Hình 3.30: Mô hình kiểm nghiệm với hai cuộn cảm và một tấm chắn từ ............

51

Hình 3.31: Mô hình chia lưới 3D của cuộn dây và tấm chắn ...............................

52

Hình 3.32: Phân bố của nguồn dòng chạy trong nửa cuộn cảm thứ nhất .............

52

Hình 3.33: Phân bố của mật độ từ trường trong vùng nghiên cứu và giới hạn
biên ………………………………………………………………………………

53

Hình 3.34: Phân bố của mật độ từ trường sinh ra bởi cuộn dây ...........................

53

Hình 3.35: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên nửa tấm chắn từ .................



55

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μr của một số vật liệu …………………….

6

Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối εr của một số vật liệu ……..….…....……

6

Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu ………....……….….....……. 7

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

f

Tần số (Hz)

H (Curl; Ω)

Không gian hàm curl

H (div; Ω)

Không gian hàm div

h

Cường độ từ trường ( /m)

i

Toán tử ảo

j

Mật độ dòng điện ( /m2)

L2(Ω) ; L2(Ω)

Trường bình phương khả tích và vectơ trường trên miền Ω

m



o

Hằng số điện môi của chân không (F/m)

r

Hằng số điện môi tương đối

λ

Bước sóng ánh sáng



Hằng số từ thẩm (H/m)

o

Hằng số từ thẩm của chân không (H/m)

r

Hằng số từ thẩm tương đối (  r =  /  o )

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015



Tần số góc (rad/s)

Ω

Miền kín trong không gian E3
Bảng các chữ viết tắt

1D

Một chiều

2D

Hai chiều

3D

Ba chiều

BC

Điều kiện biên

IBC

Điều kiện trở kháng biên

IC

Điều kiện bờ

re, im

Phần th c, phần ảo



Toán tử biên

x, y ,z

Đạo hàm riêng theo các phương x, y, z

t

Đạo hàm biến thời gian

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
MỞ ĐẦU

1. Cơ sở th c tiễn của đề tài
Máy điện là một trong những thiết bị điện đóng vai trò rất quan trong s phát
triển của nền kinh tế quốc dân (ví dụ: trong công nghiệp, trong sản xuất...). Vì vậy,
việc nghiên cứu và tính toán máy điện là một phần quan trọng và không thể thiếu

1

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

được chia thành các miền con có hình dạng hợp lý và tạo thành một lưới các phần
tử trong không gian 2D hoặc 3D. Ưu điểm của phương pháp là đảm bảo được độ
chính xác cao, tuy nhiên với mô hình có số bậc t do lớn hơn 100, thì việc áp dụng
phương phường này khó khăn và không đáp ứng được [5]. Để khắc phục được
nhược điểm trên, trong những năm gần đây các nhà nghiên cứu thường áp dụng
phương pháp số để phân tích và tính toán bài toán trường. Phương pháp này ứng
dụng đối với các bài toán đa biến mà phương pháp giải tích và mạch từ không gian
thay thế không thể th c hiện được.
Một trong những phương pháp số hay được áp dụng, đó là phương pháp
phần tử hữu hạn (PTHH); phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp phần tử
biên. Trong đó, phương pháp PTHH là phương pháp phổ biến nhất được áp dụng để
giải bài toán trường trong máy điện, đặc biệt bài toán với mô hình từ động.
Phương pháp PTHH ban đầu có nguồn gốc trong cấu trúc của phương pháp
giải tích. Mặc dù thuật toán của phương pháp được đưa ra bởi Courant năm 1943,
nhưng phương pháp này vẫn không được áp dụng để giải các bài toán điện từ cho
đến năm 1968. Kể từ đó, phương pháp này đã được ứng dụng một cách rộng rãi và
đa dạng trong các lĩnh v c như bài toán ống dẫn sóng, máy điện, các thiết bị bán
dẫn, microstrip hay trường hấp thụ bức xạ điện từ của cơ thể sinh học,... Phương
pháp PTHH có thể được coi là phương pháp số mạnh mẽ và linh hoạt nhất trong
giải quyết các bài toán có hình dạng phức tạp cũng như có nhiều các môi trường
không đồng nhất [7].

để tính toán s phân bố từ trường, dòng điện xoáy và tổn hao vùng dẫn có cấu trúc
vỏ mỏng (lõi thép) và vỏ máy biến áp.
Đề tài tập trung vào nghiên cứu và xây d ng mô hình toán đối với từ thế
vector A, cường độ điện trường H và mô tả các trạng thái, s phân bố của từ trường,
phân bố dòng xoáy tổn hao trong vùng dẫn. Kết quả của phương pháp nghiên cứu
có thể áp dụng tr c tiếp cho các máy biến áp phân phối tại các nhà máy chế tạo (ví
dụ như nhà máy chế tạo máy biến áp Đông nh, nhà máy chế tạo biến thế BB…).
Từ những phân tích ở trên, dưới s hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS.
Đặng Quốc Vƣơng và các Thầy cô trong Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử, tác giả
đã chọn đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trƣờng và dòng điện xoáy trong vùng
dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn” làm đề tài luận
văn Thạc sỹ ngành kỹ thuật điện.
2. Mục tiêu của đề tài
Tính toán s phân bố của từ trường, dòng điện xoáy và tổn thất công suất
trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp PTHH.
3. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết:
 Tổng quan chung về bài toán điện từ;
 Mô hình lý thuyết cho bài toán điện từ;
 Phương pháp PTHH;
 Các bài toán áp dụng.

CHƢƠNG I: MÔ HÌNH LÝ THUYẾT CHO BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ

HV: Trần Thanh Tuyền

3

KTĐ 2013 - 2015




(1.2)

div b = 0,

(1.3)

div d = .

(1.4)

Phương trình (1.1) là phương trình Ampere, phương trình (1.2) là phương
trình Faraday. Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình Gauss. Các vector trường
h, e, b, d lần lượt là vector từ cường độ trường ( /m), vector cường độ điện trường
(V/m), vector cảm ứng từ (T) và vector cảm ứng điện (C/m2). Mật độ điện tích 
(C/m3) và mật độ dòng điện j (A/m2) là các nguồn trong các phương trình trên. Khi
miền nghiên cứu không đổi theo thời gian, các đạo hàm theo thời gian trong hệ

HV: Trần Thanh Tuyền

4

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

phương trình Maxwell trở nên bằng không và các hiện tượng điện và từ không liên

b = 0h,

d = 0e,

(1.7-1.8)

trong đó 0 là độ từ thẩm của môi trường chân không và là hằng số không đổi trong
quan hệ giữa b và h. 0 là hằng số điện môi của môi trường chân không và là hằng
số không đổi giữa vector d và e. Các giá trị của 0 và 0 được chọn theo hệ thống
đơn vị và phụ thuộc vào nhau. Trong hệ thống SI, độ từ thẩm 0 chân không được
xác định 0 = 4.10-7(Hm-1) và hằng số điện môi chân không được xác định ε0 =
1/(μoc2) (Fm-1), ở đây c là vận tốc của ánh sáng. Độ từ thẩm và hằng số điện môi có
thể được biểu diễn theo tham số từ hóa m và s phân c c điện p. Như vậy, b và d
trong phương trình (1.7) và (1.8) được viết lại như trong tài liệu [14].
b = μoh + μom

(1.9)

d = ε0.e + p

(1.10)

HV: Trần Thanh Tuyền

5

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μr của một số vật liệu
Vật liệu từ

μr (H/m)

Vật liệu từ

μr (H/m)

Vật liệu từ

μr (H/m)

Niken

250

Bismuth

0,99983

Nhôm

1,000021

Coban

600

Vàng


Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối εr của một số vật liệu
Vật liệu

εr (F/m) Vật liệu εr (F/m) Vật liệu εr (F/m) Vật liệu

εr (F/m)

Không khí

1,0

Dầu

2,3

Nh a PE

2,3

Đất

3-4

Nh a bakelit

5,0

Giấy


Metanol

32,6

HV: Trần Thanh Tuyền

Cao su 2,3 – 4,0 Nước biển

6

7,2

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Trong các vật liệu phi tuyến, μ, ε và ζ sẽ không còn là các hằng số và chúng
có thể là “tensors” khi kể đến các trạng thái không đẳng hướng. js là mật độ dòng
điện nguồn cho trước (ví dụ: cuộn dây). Nguồn dòng này không phụ thuộc vào các
điện trường và từ trường trong miền nghiên cứu. Một số giá trị của mật độ điện dẫn
σ được cho trong bảng 1.3 [14].
Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu
Vật liệu

σ (S/m) Vật liệu σ (S/m) Vật liệu σ (S/m)
6,17.107 Đồng thau 1,57.107 Nước sạch


Cao su

10-15

Nhôm

3,54.107 Nước biển

4

Thủy tinh

10-12

Teflon

10-25 - 10-23

Sắt

2.10-4 Không khí

3.10-15

Các mối quan hệ (1.11), (1.12) và (1.14) là các luật trạng thái. Trong phạm vi
nghiên cứu này, tác giả chỉ xét đến những vật liệu tuyến tính và đẳng hướng và giả
thiết rằng các thông số của vật liệu không thay đổi theo thời gian.
1.2.2 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt và điều kiện biên
Mặc dù, số lượng phương trình tương thích với số lượng biến số cần tìm,
nhưng hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) vẫn chưa được hoàn thành. Khi tiến

S

7

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Một cách tương t , áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (1.3) và
(1.4) trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:



V



V

b.ds  0

(1.17)

d .ds     .dV
V

(1.18)

(1.21)

n. d2  d1     s ,

(1.22)

trong đó, các chỉ số dưới 1 và 2 thể hiện các trường trên các phía của bề mặt biên
trong miền tương ứng Ω1 và Ω2. Các biểu thức trên được đơn giản bằng cách lấy
tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các mặt thông qua
thể thông qua mặt chuyển tiếp Г.
Các phương trình (1.19), (1.20), (1.21) và (1.22) có quan hệ với thành phần
pháp tuyến hoặc tiếp tuyến của trường. Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến
của b và thành phần tiếp tuyến của e được liên tục thông qua mặt chuyên tiếp Г.
Thành phần pháp tuyến của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua

HV: Trần Thanh Tuyền

8

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

mặt chuyển tiếp Г, nếu mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js khác 0.
Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js bằng 0.
Các điều kiện chuyển tiếp IC (1.19) – (1.22) được sử dụng cho việc giải các
phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt

Các phương trình Maxwell có thể được giải trong miền tần số nếu hệ thống
được cung cấp bởi nguồn hình sin và các luật trạng thái là tuyến tính. Trong trường
hợp này, các nghiệm được viết dưới dạng ký hiệu số phức như sau:
h(x, y, z, t) = re (hm(x, y, z)ejωt),

(1.25)

e(x, y, z, t) = re (em(x, y, z)ejωt),

(1.26)

b(x, y, z, t) = re (bm(x, y, z)ejωt) ,

(1.27)

d(x, y, z, t) = re (dm(x, y, z)ejωt) ,

(1.28)

trong đó: j là phần ảo và re(.) là phần th c. Các vector phức hm(x, y, z), em(x, y, z),
bm(x, y, z) và dm(x, y, z) phụ thuộc vào vị trí đặt nhưng không phụ thuộc vào thời

HV: Trần Thanh Tuyền

9

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

div dm = ρ

(1.34)

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm
Gọi Гh và Гe là hai phần bổ sung của biên Г của miền Ω, vì vậy ta có:

  h  e

 h   e  ,

và

(1.35)

Trong đó: các trường vô hướng ωh và ωe, hoặc các trường vector ωh và ωe
được đặt vào một cách tương ứng. Do vậy, các miền của ba toán tử gradh, curlhvà
divhđược xác định [8]:

H h1 ()  H h1 (grad, )    L2 () : grad  L2 ()}

(1.36)

H h (curl, )  ω  L2 () : curlω  L2 ()}

(1.37)

H h (div, )  ω  L2 () : divω  L2 ()}

(1.38)

Trường ĐHBK Hà Nội
H e (div, )  ω  L2 () : divω  L2 ()}
def

(1.41)

Các không gian trên là các miền của các toán tử được xem xét. Chúng ta có
thể ký hiệu H1h (grad, Ω) bằng H1h (Ω), H1e (grad, Ω) bằng H1e (Ω). Với các điều
kiện đồng nhất BCs, chúng ta sẽ có các không gian tương ứng với các miền của các
toán tử đạo hàm đã được xác định ở trên. Điều này sẽ được xem xét như các không
gian hàm cho các hàm thử được sử dụng trong các phương trình yếu nhận “weak
formulations”. Các không gian này được ký hiệu là: H10h (Ω), H0h (curl; Ω),
H0h(div; Ω), H10e (Ω), H0e (curl; Ω) và H0e (div; Ω), tức là:
def



H h10 (grad, )    H h1 (grad, ), 
def

h



H h0 (curl, )  ω  H h (curl, ), n  ω
def



H h0 (div, )  ω  H h (div, ), n  ω



H h0 (curl, )  ω  H h (curl, ), n  ω
def



H h0 (div, )  ω  H h (div, ), n  ω

h

h

 n  ωh  0}

 n  ωh  0}.

(1.46)
(1.47)

1.4 Sơ đồ Tonti
Sơ đồ Tonti được mô tả như hình dưới đây [8]:

(1.48)
Sơ đồ (1.48) được gọi là sơ đồ cơ bản hoặc sơ đồ kép liên quan đến các
phương trình chúng ta cần tính toán (tức là phần trên của sơ đồ là các biểu thức cơ
bản liên quan đến phương trình từ trường, phần phía dưới của sơ đồ liên quan đến
các phương trình mật độ điện trường).
Các phương trình Maxwell được trình bày ở phần (1.1 – 1.4) với các luật
trạng thái (1.7 – 1.8) và (1.14) cũng được mô tả trong sơ đồ (1.48). Thật vậy, các

h  H h (curl ; ) và j  H h (div; ). Điều đó có nghĩa là b phải thuộc H h (curl ; ) và vì

vậy định luật Faraday được coi là phương trình yếu nhận của bài toán. Từ đây ta có
thể xác định được biểu thức mật độ từ thông (b – formulation).
Thứ hai, nếu bài toán thỏa mãn định luật Faraday với b = μh, khi đó
e  H e (curl ; ) và b  H e (div; ). Điều đó có nghĩa h cũng thuộc H e (curl ; ) và vì

vậy định luật Ampere được coi là phương trình yếu nhận của bài toán. Hướng đi này
giúp ta xác định được biểu thức từ trường (h – formulation).
Một trong hai hướng giải trên được sử dụng với các điều kiện bài toán phù
hợp. Biểu thức b – formulation thỏa mãn chính xác định luật Ampere, trong đó biểu
thức h – formulation thỏa mãn định luật Faraday. Từ đó, giúp chúng ta có thể giải
quyết bài toán thông qua một trong hai hướng trên. Các phương trình yếu nhận dẫn
xuất để giải bài toán được tác giả trình bày ở nội dung tiếp theo của chương 2.

HV: Trần Thanh Tuyền

12

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát
Mục đích của chúng ta là giải hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) cùng
với các luật trạng thái (1.11), (1.12) và (1.14) trong miền không bị chặn Ω trong
không gian Eculidean E3. Biên ∂Ω của miền Ω được ký hiệu là Г với các đặc tính: μ


Trường ĐHBK Hà Nội

Mô hình bài toán từ động là mô hình được xem xét với các hiện tượng điện
từ độc lập về thời gian (đó là ∂td = 0, ∂tb = 0). Khi đó, các phương trình Maxwell
(1.1) – (1.4) và các luật trạng thái (1.11) được viết lại như sau:
curl h = j, divb = 0 , b = μh,

(1.51a-b-c)

trong đó: j = js là mật độ dòng điện áp được đặt vào miền Ωs. Mật độ từ cảm b trong
phương trình (1.51b) có thể xác định từ một vector từ thế a trong toàn bộ miền Ω,
thật vậy:
b = curl a

(1.52)

Tuy nhiên, a không phải là duy nhất (a được xác định là một Gradient của
một hàm bất kỳ). Thật vậy, nếu a là một nghiệm thì một hàm bất kỳ có thể viết a’ =
a + grad f cũng là một nghiệm và không phụ thuộc vào f. Để có được nghiệm duy
nhất của a, một điều kiện Gauss phải được áp dụng [8], [14]. Các điều kiện biên cần
thiết có thể xác định như sau:
n × a = 0 trên miền Гe,

(1.53)

điều đó có nghĩa rằng n·b = 0 trên miền Гe. Điều đáng chú ý rằng b luôn luôn được
xác định là duy nhất ngay cả khi a không xác định duy nhất.
Từ trường h trong công thức (1.51a) được phân tích thành hai thành phần hs
và hr, đó là:


(1.56)

Phương trình (1.56) được xem như là phương trình đơn giản nhưng chúng ta
cần phải kiểm tra thông qua miền nghiên cứu th c tế. Nếu miền nghiên cứu không
phải là một s kết nối đơn giản (ví dụ: một trường hợp dòng điện vòng kín), chúng
ta phải sử dụng một mặt cắt  với s không liên tục của từ thế ∆ϕ , được đưa vào để
xác định dòng điện [14][15]. Nếu một vòng kín mang theo một dòng điện (hình
1.3), thông lượng từ trường dọc theo đường cong khép kín bằng tổng dòng điện I
chạy qua mặt kín đó (định luật Ampere), tức là:



C

hr dl 



C

grad  dl    I

(1.57)

Căn cứ vào sơ đồ Tonti, đối với bài toán từ tĩnh, các đại lượng cần xác định
h ϵ Hh(curl; Ω) và j ϵ Hh(div; Ω), b ϵ He(div; Ω) (nghiệm của phương trình
(1.51) với luật trạng thái (1.11)), điện thế ϕ ϵ He1(Ω) và a ϵ He (curl; Ω) có thể
được xác định trong sơ đồ Tonti và được kiểm tra bởi (1.52) và (1.56) một cách
tương ứng. Các không gian còn lại như He1(Ω), Hh(curl; Ω), He(curl; Ω), He(div;

(1.59 a-b)

Các phương trình (1.58a-b) được giải cùng với các điều kiện biên, với các
thành phần tiếp tuyến của trường n×e và trường n×h lần lượt được đặt lên biên Гh
và Гe.
Một cách tương t như đối với bài toán từ tĩnh, đối với phương trình (1.58c)
từ cảm b được xác định thông qua một từ thế vector a, tức là:
b = curl a

(1.60)

Kết hợp phương trình (1.60) với (1.58a), ta được curl (e + ∂ta) = 0, điều này
dẫn đến s xác định của điện thế vô hướng v như sau:
e = - ∂ta – gradυ

(1.61)

Một cách tương t như trường hợp của bài toán từ tĩnh, một điều kiện Gauss
được đặt vào để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm a. Một điều kiện Gauss được ẩn
trong miền dẫn ΩC cho điện thế vô hướng υ bằng không trong toàn miền dẫn ΩC.
Điều này dẫn đến một s tổng quát hóa của của s thay đổi công thức từ thế vector
[14]. Từ phương trình (1.58b), từ trường h được phân tích thành:
h = hs + hr – grad ϕ , với curl hs = js,

(1.62)

trong đó trường hr được xác định trong vùng dẫn Ωc và từ thế vô hướng ϕ được xác
định trong vùng không dẫn ΩcC. Từ thế ϕ trong vùng ΩcC là đa trị khi miền ΩcC là
một đa kết nối và khi đó giá trị đơn trị được xác định thông qua các lớp cắt ∑i của
mỗi một lỗ trong miền dẫn Ωc [14][15].