DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT: Bài toán
HTĐK: Hệ thống điều khiển
CL: Chất lượng
MH: Mô hình
ĐK: Điều kiện
MHBĐ: Mô hình bất định
ĐKBV: Điều khiển bền vững
PP: Phương pháp
ĐT: Đối tượng
QH: Qui hoạch
MHTSBĐ: Mô hình có thông số bất định
TSBĐ: Thông số bất định.
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Xây dựng hệ điều khiển (ĐK) cho một đối tượng (ĐT) thường dựa vào mô
hình (MH). Giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên
nhân như: Phương pháp (PP) nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được
không đầy đủ, do xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến... Sai lệch MH làm giảm
hiệu quả của hệ ĐK.
Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch MH gây ra, người ta có thể
dùng nhiều biện pháp khác nhau như ĐKBV với mô hình bất định (MHBĐ).
Khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết bị tính, người ta mới
quan tâm nhiều đến việc phát triển những PP điều khiển bền vững (ĐKBV) với
mô hình bất định (MHBĐ) và ứng dụng loại ĐKBV vào những bài toán (BT)
thực tế.
MHBĐ thực chất là tập gồm vô vàn phần tử. Các PP phân tích và thiết kế
hệ với MHBĐ đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập MH này.
Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng MHBĐ. Các PP hiện có mới khắc
phục được khó khăn bản chất cho một số trường hợp đơn giản có cấu trúc bất
định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với TSBĐ Q dạng hộp. Vì vậy cần có PP

Đề tài có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK các
ĐT thực, được thể hiện qua việc phát triển PP phủ tuyến tính để xác định được
một trị cực tiểu non MuN của cực tiểu toàn thể M cho một hàm g (q ) là đa thức
m

L

i 0

j 1

m

ij
dạng g (q )   gi q j và Q dạng hộp. Trị cực tiểu này có thể dùng để:

-

Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm g (q ) dạng đa thức khi Q dạng hộp.

Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có MH
tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và Q dạng hộp.
Xác định tham số bộ ĐKBV nhờ đưa BT tối ưu về BT qui hoạch nửa vô
hạn và đề nghị một PP tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định và CL
dạng đại số.
Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng MH có
TSBĐ. Do đó làm cho việc ứng dụng loại MH này vào những BT thực tế được
dễ dàng hơn.
4. Điểm mới của luận án
- Phát triển một PP phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN của

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG VỚI ĐỐI
TƢỢNG CÓ MH BẤT ĐỊNH
Hệ ĐKBV dựa trên MHBĐ
Xây dựng HTĐK cho một ĐT thường dựa vào MH, tùy vào đặc điểm của
ĐT người ta sử dụng loại MH thích hợp, giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có
những sai lệch, các sai lệch MH làm giảm hiệu quả của hệ ĐK, dùng MHBĐ
trong việc xây dựng hệ ĐK là một biện pháp hiệu quả để khắc phục các ảnh
hưởng đó.
1.1

1.1.1

Mô tả ĐT ĐK nhờ MHBĐ

MHBĐ là một tập MH (P0, P), với MH chuẩn P0 được xây dựng từ
những thông tin xác định, tồn tại sai lệch P là do thiếu thông tin hoặc dùng PP
nhận dạng gần đúng .... P thường không biết trước, tuy vậy việc phân tích và
thiết kế hệ thống ĐK cần đến một đánh giá định lượng về P ở dạng thích hợp
ví dụ dạng bị chặn của P (ví dụ: chuẩn |P|, ||P||, () ,…) hoặc ở dạng tập
biến thiên của TSBĐ. Để lập MHBĐ có 2 cách: Mô tả MH ĐT dưới dạng bất
định có cấu trúc và không có cấu trúc.
1.1.1.1 MHBĐ có cấu trúc

Ở bước nhận dạng ta xác định được cấu trúc của MH (bậc của tử số và
mẫu số hàm truyền của ĐT), dùng MH tuyến tính có hệ số không biến thiên theo
thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được MH với TSBĐ, thông tin định
lượng về sai lệch MH P được thể hiện ỏ tập biến thiên TSBĐ q trong MH ĐT.

     q  s
s,q    q  s

ĐKBV:
3




Q  q q

 qj  qj

j



(1.3)

MH với TSBĐ cũng có thể mô tả dưới dạng hệ phương trình trạng thái:
z  A( q )z  b( q )u
; q Q
y  c( q )z

1.1.1.2 MHBĐ không có cấu trúc

(1.6)

Khi không thể sử dụng được MH thông số hóa (ĐT có trễ: Quá trình
nhiệt, quá trình xảy ra phản ứng hóa học…) ta có thể sử dụng MH không có cấu
trúc.
MH không có cấu trúc thường được mô tả dưới dạng sau:
Dạng cộng tính:

giá trị suy biến lớn nhất ( P ) , các giá trị K  j  , K  j  , ( P) được xác định ở


bước nhận dạng. MHBĐ không có cấu trúc cũng là một tập MH, ví dụ với sai lệch
nhân tính (1.8) và hàm chặn (1.10) tập MH có dạng:


  P




 K( j ) 
P0( j )

  0,  



P( j )  P0( j )

(1.12)

1.1.1.3 Lợi thế và khó khăn khi sử dụng MHBĐ

a) Những lợi thế: Kể được sai lệch MH, sự thay đổi thông số hoặc cấu trúc của
ĐT, tác dụng của nhiễu, hiệu ứng phi tuyến. Thành lập được các điều kiện ổn
định và CL một cách đơn giản hơn so với dùng các loại MH khác như phi tuyến,
ngẫu nhiên, mờ…
b) Những khó khăn: Khó khăn liên quan đến 2 việc là xác định MH (nhận dạng)


NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn
NV2: Thực hiện một số tiêu chí CL đặt ra: (CL2-1) Giảm ảnh hưởng của sai
lệch MH, (CL2-2) Bám đầu vào tốt, (CL2-3) Giảm tác dụng của nhiễu, (CL2-4)
Giảm tác dụng của sai số đo, (CL2-5) Quá trình quá độ tắt nhanh nhất, (CL2-6)
Độ quá điều chỉnh, thời gian điều chỉnh ngắn nhất, (CL2-7) Độ sai lệch xác lập
nhỏ nhất...
Ngoài ra còn phải kể đến một số tiêu chí CL khác như tính khả thực trong
việc vận hành hệ thống. Chưa có một PP thiết kế nào có thể đảm bảo tất cả chỉ
tiêu CL mong muốn kể trên.
1.1.2.2 Cấu trúc của hệ ĐKBV

Hệ ĐKBV SISO thường được xây dựng theo nguyên tắc phản hồi và
thường dựa trên MH của ĐT theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu
trúc ĐK theo MH nội (IMC: Internal Model Control).
r
e

C

u

d
P

r
y

e


theo MH nội. Trong đó: P là ký hiệu của ĐT thực, P là MH của ĐT, C hay R là
bộ ĐK.
Hệ ĐKBV SISO cũng có thể biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái với
z  A( q )z  b( q )u

y  c( q )z
u  R( k )z



bộ ĐK hồi tiếp trạng thái như (1.13):

5

(1.13)


1.2 Vấn đề ổn định bền vững
Ổn định là điều kiện cần để một hệ thống động vận hành. Hệ thống được
gọi là ổn định nếu đa thức đặc trưng ( s, q) của hệ là Hurwitz. Hệ được gọi là
ổn định bền vững nếu nó ổn định với q  Q . Tổng quan về các PP nghiên cứu
ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ trong các tài liệu của
Nguyễn Thế Thắng, Phạm Văn Minh, M. Bozorg, Petr Husek…Điều kiện ổn
định bền vững thường được xét bằng các PP gián tiếp theo các tiêu chuẩn ổn
định.
Do bản chất của MH có TSBĐ tất cả các PP nghiên cứu ổn định bền vững
đều phải xét điều kiện ổn định có được thỏa mãn với q  Q hay không? Đây là
khó khăn về bản chất mà tất cả các PP xét ổn định bền vững hiện có đều phải
khắc phục.
Chương 2 cho một tổng quan ngắn gọn về ổn định bền vững và giới thiệu



x  c0 ,c1,..,cm ,d0 ,d1 ,..,dn
c

c

 là véc tơ tham số của bộ ĐK và là ẩn số của BT thiết
T

kế bộ ĐKBV. Hệ ĐK SISO cũng có thể dùng phương trình trạng thái (1.13) với
phản hồi đầu ra (hình 1.8) hoặc phản hồi trạng thái tĩnh R( k )  k1,k2 ,..,kn  với:
T

 

 

 

1

 

P s,q  c T q sI  A q  b T q



(1.15) véc tơ tham số x của bộ ĐK cần


cho việc thiết kế bộ ĐK là không hợp lý (Grimbele M., Th.E. Djaferis).
Do bản chất của MHBĐ nên mọi PP thiết kế bộ ĐKBV đều gặp khó khăn bản
chất. Trường hợp TSBĐ thì phải xét với q  Q . Đây là khó khăn thuộc về bản
chất khi dùng MHBĐ mà mọi PP thiết kế bộ ĐK đều phải tìm cách khắc phục.
Chương 3 cho một tổng quan về xác định tham số bộ ĐKBV và giới thiệu một
PP tối ưu xác định tham số bộ ĐKBV đảm bảo thỏa mãn chặt ĐK ổn định và
chất lượng.
1.4. Kết luận chƣơng 1
ĐK dựa vào MHBĐ làm giảm tác dụng của sai lệch MH ĐT có nhiều ý
nghĩa trong thực tiễn. Việc thiết kế bộ ĐKBV hay xác định tham số cho bộ ĐK
khi hệ có MHĐT tuyến tính chứa TSBĐ phải thỏa mãn cả 2 yêu cầu là: ổn định
bền vững và đạt được một số tiêu chí CL đặt ra với q  Q .
CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON VÀ ỨNG DỤNG
VÀO KIỂM TRA TÍNH ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH CÓ
THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH
2.1 Tổng quan về ổn định bền vững cho hệ tuyến tính có TSBĐ
2.1.1 Bài toán kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có TSBĐ

Một hệ thống tuyến tính liên tục SISO với ĐT tuyến tính mô tả bởi hàm
truyền P (s ,q ) có chứa TSBĐ (hình 2.1), hoặc dạng phương trình trạng thái.
Giả thiết:

P (s ,q ) 

N p (s ,q )
Dp (s ,q )

C (s ) 

(2.1);


e

Bộ điều khiển

C (s )

u

Đối tƣợng
điều khiển

 an (q )s n

y

P (s ,q )

Hình 2.1: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ điều khiển phản hồi đầu ra

7

(2.4)


Xét tính ổn định BV của hệ kín là kiểm tra tính Hurwitz của (2.4) q Q ,
nếu đúng thì hệ kín ổn định bền vững và đa thức đặc tính (s ,q ) được gọi là
Hurwitz chặt.
Khi hệ mô tả dưới dạng phương trình trạng thái (1.13) thì hệ ĐK có thể ở
dạng phản hồi trạng thái R. Hàm truyền của ĐT ĐK được xác định như sau:


đặc trưng sẽ là (s ,q )  det sI  A(q )  b (q )C (s )c  . Xét tính ổn định bền vững


T

của hệ với phương trình trạng thái cũng có thể đưa về việc kiểm tra tính Hurwitz
chặt của đa thức (s ,q ) với q Q .
2.1.2
Một số PP điển hình đã có để kiểm tra tính ổn định bền vững
của hệ tuyến tính chứa TSBĐ

Hiện đã có nhiều PP kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức (s ,q ) ở (2.4),
(2.7). Dựa vào cấu trúc của ai (q ) trong (2.7) mà phân loại đa thức thành:
1. Đa thức khoảng (Interval polynominal) có các giá trị ai (q ) biến thiên độc lập
trong khoảng compact:

a i  ai (q )  ai , i  0,1,

,n

(2.8)

2. Đa thức có cấu trúc bất định tuyến tính (linear uncertainty): có hệ số
ai (q ) phụ thuộc tuyến tính vào các TSBĐ q j , j  0,1,  , L .
3. Đa thức có cấu trúc bất định đa tuyến tính (multilinear uncertainty): có hệ số
Mi

L


thức không chứa TSBĐ q, nên xét được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định BV.
Để kiểm tra ổn định bền vững của (s, q) với cấu trúc dạng multilinear,
dạng đa thức polynomic, dạng phi tuyến người ta có thế dùng ĐK ổn định dạng
đại số hay ĐK tần số (hình học).
2.2.2.2 PP tần số

Dựa vào việc vẽ họ đặc tính tần trong mặt phẳng phức (value set: VS) của
(j, q) với qQ và [0, ) theo nguyên tắc loại trừ điểm zero ta nhận ra
hệ có ổn định bền vững hay không như Barmish, Bozorg, Husek, Djaferis. Tập
VS của (j, q) thường rất phức tạp, nên phải vễ gần đúng và thường tìm một
tập phủ bao lấy nó (over bound region), nhờ những kỹ thuật khác nhau.
Trường hợp bất định dạng đa tuyến tính với Q dạng hộp nhờ mapping
theorem ta có thể xây dựng một miền phủ lồi (convex hull) của (j, q) dựa vào
các đỉnh của Q, nhưng về nguyên tắc vẫn phải xét với [0, ). Dùng tập phủ
ta sẽ có một ĐK đủ của ổn định. Cũng có thể vẽ VS của hàm truyền hệ hở
G0(j, q)=C(j, q).P(j, q) rồi dùng tiêu chuẩn Nyquyst ta có ĐK đủ của sự ổn
định.
PP tần số là PP hữu hiệu để đơn giản hoá cách xét ảnh hưởng của các
thông số bất định, vì nó cho phép đơn giản hoá cách xét tác dụng của thông số
bất định từ không gian thông số Q có L chiều về không gian 2 chiều (trong mặt
phẳng phức). Cho phép ta dùng khái niệm ổn định trong miền D để có thể kể
đến một số CL vào ĐK ổn định.
Tuy vậy PP dùng VS có một số khó khăn sau: Bằng trực giác quan sát xem VS
có chứa điểm zero không rồi rút ra thông tin về ổn định bền vững của hệ. Khó
định nghĩa được một độ đo (số hoá) thông tin ổn định. Độ đo này sẽ cần đến khi
xác định tham số x của bộ điều khiển C(s, x) nhờ PP tối ưu hoá.
Một khó khăn khác của PP dùng VS là trên thực tế khi vẽ VS ta phải rời
rạc hoá (băm) tập Q và giá trị  và chỉ xét được một số hữu hạn qhQ và h[0,
). Như vậy có khả năng bỏ xót những điểm ở đó hệ không ổn định (xem phụ
lục) và kết luận về ổn định của PP VS gây ra sai lầm. Nếu dùng một PP phủ ta

4) Một số công trình dùng hàm Lyapunov (như của Figuroa J.L and J.A
Romagloni, RCL.F Oliveira, Svetoslav Savov, Ivan Popchev) để có điều kiện đủ
dạng đại số của ổn định tuỳ thuộc vào hàm Lyapunov của hệ.
5) Kiểm tra ổn định BV của (2.7), dẫn đến xét tính dương chặt của (2.12). Galoff.
J, Zettler, đưa g (q ) về tổ hợp convex của đa thức Berntein và rút ra một điều
kiện đủ cho tính dương của hàm g (q ) điều này làm thu hẹp lớp (s ,q ) thoả mãn
ĐK ổn định BV.
2.2 PP tiệm cận kiểm tra tính dƣơng chặt của hàm số chứa TSBĐ
Dùng một tiêu chuẩn đại số kiểm tra ổn định bền vững sẽ dẫn tới nhiệm vụ
kiểm tra tính dương chặt của một số hữu hạn hàm g k (q ) với q Q . Để đơn
giản trong trình bày ta xét 1 hàm g (q ) dạng đa thức (2.13) chứa TSBĐ (2.14):
m

L

i 0

j 1

mij

g (q )   gi  q j

(2.13);





Q  q  (q1,  ,qL )T q j  q j  q j , j  1, 2,  , L

M
MuN

Mu
1

N

Hình 2.4: Biểu diễn tính tiệm cận của cực tiểu trội M0N và cực tiểu non MuN
Nhóm PP chuyển không gian “Relaxation methods” cho lớp BT tối ưu
hóa đa thức POP (polynomial optimization problem) cho ta một trị cực tiểu non
(2.22), tổng quan về nhóm PP này trong các công trình của Deren Han, G.
Chesi. Hiện nay, được chú ý nhiều là PP chuyển không gian ở qui hoạch nửa vô
hạn SDP (semidefinite programming relaxation) của Lassere và Parrilo. Về lý
thuyết sẽ cho ta nghiệm của POP dưới dạng một dãy MuN tiệm cận với cực tiểu
toàn thể M.
Dựa vào các công cụ toán học như: Probability measure and its moment;
tuyến tính hóa đa thức, SDP, SOS (sum of square), LMI (linear matrix
inequelity). PP SDP relaxation chuyển BT POP (2.13), (2.14), (2.16) là tối ưu
hóa không lồi (non-convex optimization) về một dãy BT lồi (convex) dạng SDP
và có thể dùng LMI để tìm nghiệm của SDP. PP cũng đã có một số phần mềm
để thực hiện như của Herion, JB. Lassere, Johan Loefberg, J. Heller 2016. Tuy
vậy, PP chỉ ở giai đoạn phát triển ban đầu nên còn nhiều khó khăn cần phải khắc
phục, nên hiện nay chưa tiện dùng cho các kỹ sư.
Nhiệm vụ của luận án là xác định tham số bộ ĐKBV cho MH ĐT tuyến tính
với cấu trúc bất định dạng polynomic và tập Q dạng hộp. Nhiệm vụ trên dẫn đến
việc kiểm tra tính dương chặt của g (q ) dạng polynomic (2.13) với Q (2.14), ta
phải có PP xác định trị gần đúng non dạng (2.21) hoặc (2.22) một cách đơn giản
hơn để các kỹ sư dễ dàng sử dụng. Dưới đây luận án sẽ trình bày một PP phủ
tuyến tính để xác định cực tiểu non tiệm cận MuN.


Để xác định được cực tiểu non M u ta cần các giả thiết sau:
1) Giả thiết 1 (GT2-1): Hàm g (q ) có dạng đa thức (2.13) .
2) Giả thiết 2 (GT2-2): Tập Q có dạng hộp (2.14), qj , q j là số thực không âm.
3) Giả thiết 3 (GT2-3): m, L,mij là những số tự nhiên, nguyên dương hữu hạn.
L

Dùng phép đổi biến số: y  1; y (q )   q mij
0
i
j

(2.28)

j 1

Khi đó hàm g (q ) trở thành hàm tuyến tính F( y ) trong không gian Y:
m

L

i 0

j 1

mij

g (q )   gi  q j

m




(2.31)

Phép đổi biến số (2.28) chuyển một điểm q h  Q thành một điểm y h Y , khi q h
quét và điền đầy tập Q thì ảnh y h của nó sẽ tạo thành tập Y Y (tức là nằm trù
mật trong tập Y ).
L m


Y  y yi  yi (q )  q j ij ; q Q 
j
1



Tập Y có dạng:



(2.32)

các biến yi q phụ thuộc vào biến q (2.28). Trị số hàm F( y ) và ràng buộc
Y cũng được xác định qua biến q . Hàm g (q ) và F( y ) (2.29) là các hàm liên

tục, tập Q (2.14) và Y (2.32) là tập compact, theo định lý Weierstrass BT (2.23)
và BT (2.31) phải có nghiệm và tồn tại cực tiểu toàn thể M. Trị M xác định theo
BT (2.23) trong không gian Q và cũng có thể xác định theo BT (2.31) trong
không gian Y: M  MQ  min g (q )  min F (y )  MY (2.33). Trường hợp biết Y Y là

Y  y

y

y
(
q
)
i
i





(2.35). Trong không gian Y, lập một tập H phủ





lên tập Y (hình 2.6): H  y 0  yi  yi  yi (2.36). Ta có: Y  H (2.37).
y2

q2

H

y2



Trong tập H ta xác định cực tiểu toàn thể M của F  y  :
m

M u  min F(y )  min  giyi (q ) (2.38). Từ (2.31), (2.38) và (2.37) theo nguyên lý
yH

yH i 1

của cực trị có ràng buộc ta có: Mu  M (2.39), với Mu là một trị cực tiểu non của
M. Nếu chỉ dùng một tập phủ H lên tập Y thì M u có thể khá xa với giá trị thật
M. Dưới đây sẽ giới thiệu cách phủ tiệm cận để được một trị gần đúng non tiệm
cận.
2.2.1.2 Khái niệm và cách xác định một trị cực tiểu non tiệm cận M uN

Chia cạnh q j của hộp Q thành N phần bằng nhau, ta thu được NL hộp
con Q v :

Q

NL

Qv

(2.40)

v 1

Mỗi hộp Q v được xác định như sau:
q q v j  q  q v j 

q v j  q v j 1;
v j  1, 2.., N ;
j  1, 2,.., L;
j
 j

13

(2.41)

(2.42)


Nhờ (2.28), với mỗi tập Q v ta lập tập Y v trong Y:
v
v


 yi  yi (q ) 
 
 yi  yi  yi 

v

  y

Y  y
v
q Q
yi  yi (q ) 


L

(2.43)

 
v

Trong đó các giá trị: yiv  minv yiv( q )   qj j



Ta có: Y 



NL
vj 1,..,N
j 1,..,L

Yv

q Q

(2.45);

j 1

mij



H

NL
vj 1,..,N
j 1,..,L

Hv

(2.48)

Tiếp đến ta xác định cực tiểu của F( y ) trên mỗi hộp H v và trên hộp H:



m
Muv  minv F y  minv   giyi  ; v j  1,.,N; j  1,..,L; i  1,.,m
y H
y H  i 1


Và:



MuN  min F y  min Muv ; vj  1, 2,..,N; j  1, 2,..,L;
y H

v


gi  iv
M u  i
1

M
 min M uv
 uN
v  1, 2,..,N ; j  1, 2,..,L

 j

(2.54);

N 

 v  y v khi g  0
i
i
i

 v
v
 i  yi khi gi  0
 v
 1

 0

Với các giá trị yiv ; yiv xác định theo (2.44) 


Tính yiv j , yiv j theo (2.44);

-

Tính M uN theo (2.54), (2.55)

Bước 3 (B3): Kiểm tra điều kiện N=N1 nếu đúng chuyển sang bước 6, nếu
không thoả mãn chuyển sang bước 4.
Bước 4 (B4): Kiểm tra điều kiện:
bước tính thứ

và M uN

1

M uN  M uN
M uN

1

 cp , trong đó M uN là giá trị MuN ở

là giá trị MuN ở bước tính thứ

 1 . Nếu đúng thì

chuyển sang bước 7 nếu sai chuyển sang bước 5.
Bước 5 (B5): Kiểm tra điều kiện N
34.975

104
34.9999

105
34.99998

106
35

Từ kết quả tính ta thấy MuN  M từ dưới lên đã minh họa cho kết quả KQ2 (2.51)

15


g (q )

y2
g (q )  20  40q  20q 2

F (y )  20  40y1  20y2
H

40
1

35

B

1

Hình 2.9: Minh họa phép chuyển từ miền Q sang Y và tập phủ H của ví dụ 2.1
Trị cực tiểu non M uN được dùng để kiểm tra điều kiện ổn định bền vững và
cũng còn có thể dùng để giải bài toán tối ưu cho việc kiểm tra ổn định BV gắn
với một số chỉ tiêu chất lượng khác, có thể tìm thấy một số ví dụ về ứng dụng
này trong Tạp chí KHKT số 173(2015) và số 175(2016) của học viện KTQS.
2.3. Kết luận chƣơng 2



-

Phát triển PP phủ tuyến tính để tìm M uN của g q dạng đa thức, tập Q dạng hộp.

-

Dùng M uN để kiểm tra tính dương chặt của hàm g q với q  Q . Do đó M uN

-

cũng kiểm tra ổn định bền vững của hệ có TSBĐ nhờ xét tính Hurwitz chặt.
Đưa việc kiểm tra ổn định bền vững về BT tối ưu, nhờ đó ngoài tính ổn định bền
vững còn kể thêm được một số chỉ tiêu CL khác như độ tắt của quá trình quá độ,
độ dự trữ ổn định bền vững…

 

CHƢƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG CHO CHO ĐỐI
TƢỢNG VỚI MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CÓ THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH

i
 i  q s

i 0

mc



với q  (q1 ,q 2 ,..,q j ,..,qL ) là véc tơ TSBĐ. Bộ ĐK: C s, x
T





 c js

j

j 0
nc

 dis

(3.2)
i

i 0


;
u


Rz


Đối với hệ (3.3) thì đa thức đặc trưng của hệ kín là:
(s , x ,q )  det sI  A(q )  b (q )R   a0 (x ,q )  a1 (x ,q )s 

 an (x ,q )s n

(3.4)

Hệ (3.3) cũng có thể dùng cấu trúc phản hồi đầu ra như hình 3.3.
MHĐT:



P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )



1

b (q ) 

Y
U


định và G2 (x ) xuất phát từ CL có thể kể được:
(3.10)
xG1G2

Hàm mục tiêu f (x ) thường chọn từ một độ đo giới hạn ổn định bền vững
hay độ tắt của quá trình quá độ...Ví dụ chọn f (x ) như của Sekaj,Vesely,
Sramek, Bozorg, Olivera, Yeng, Soh.... PP gặp khó khăn trong việc thiết lập và
17


giải bài toán tối ưu sao cho thỏa mãn với q Q . M.Bozorg đã đưa ra PP xác
định bộ điều khiển C (s , x ) dẫn tới BT tối ưu dùng kỹ thuật áp đặt điểm cực để
tìm C (s , x 0 ) ổn định cho ĐT chuẩn P (s ,q 0 ) . Giả thiết ai (q ) dạng đa tuyến tính:
n

(s ,q , x )   ai (q , x )s i (3.13). Để đảm bảo ổn định trong miền D ta phải quét mọi
i 0

điểm s C D ( C D là biên của miền D). PP này chỉ dùng được cho dạng bất định
đa tuyến tính và vẫn phải xét mọi điểm s trên biên C D của miền D.
- Một số tác giả dùng thuật toán gen (genetic algorithm) để xác định tham số bộ
ĐKBV cho hệ SISO có TSBĐ với cấu trúc bất định dạng khoảng hoặc dạng
affine nhờ tìm cực tiểu của một chỉ số CL (performance index) dạng tích phân
của một số tín hiệu e(t), u(t), y(t)…, Nhưng khối lượng tính toán sẽ rất lớn
(Sekaj, Vasely, Sramek, Kajan). PP rất khó áp dụng cho hệ có cấu trúc phức tạp
như: multilinear, polynomic hoặc phi tuyến vì về nguyên tắc phiếm hàm J được
đánh giá qua các tín hiệu với q Q (vô vàn điểm) nên việc sử dụng PP này ta
vẫn gặp phải khó khăn về bản chất.
- Việc xác định C (s , x ) có thể đưa về bài toán tối ưu dạng bài toán qui hoạch nửa
vô hạn dạng sau:








(3.16)

gk3 (x )  0, k3  1,  , M 3



(3.17)

Khó khăn bản chất của việc tìm một nghiệm của (3.15) với ràng buộc
(3.16), là tại một x nghiên cứu kiểm tra ràng buộc (3.16) có thoả mãn với
q Q không? ta gọi đó là sự thoả mãn chặt của ràng buộc (3.16). Ở BT
h

h

(3.15) mỗi ràng buộc g (x ,q ) tương ứng với vô vàn ràng buộc g (x ,q ) với q là
1 phần tử của tập Q . Vì vậy BT tối ưu với ràng buộc (3.16) có chứa TSBĐ
được gọi là qui hoạch nửa vô hạn (semi-infinite programming).
Để dễ khi trình bày ta chỉ xét BT (3.15) với 1 ràng buộc có chứa q Q
dạng (3.16), ta gọi là BT (3.18):
min f( x )
 x G


q Q

với M (x ) là cực tiểu toàn thể của g (x ,q ) trong Q .
Nhờ (3.19), BT (3.18) có thể viết thành: min f (x ) với ràng buộc
xG





G  x M (x )  0 (3.20). Chưa có PP tìm được M (x ) . Để thoả mãn chặt ràng

buộc (3.16) ta có thể dùng MuN (x ) : MuN (x )  M (x ) (3.22). Nếu MuN (x )  0 thì
chắc chắn (3.16) thoả mãn chặt tại x nghiên cứu.
Tóm lại: Các PP đều hướng tới đảm bảo tính ổn định bền vững và kể được
một số ít CL nhưng đều gặp phải khó khăn bản chất là phải xét với q Q . Một
số PP đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định nhờ dùng điều kiện đủ của ổn
định. Dưới đây NCS trình bày việc xác định tham số C (s , x ) nhờ bài toán tối ưu,
nghiệm thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững và một số chất lượng khác
một cách tiệm cận.
3.2 Xác định tham số tối ƣu bộ điều khiển bền vững cho đối tƣợng
có thông số bất định

  dạng (1.14), P (s,q ) dạng (3.1) có TSBĐ

Xét hệ hình 3.1. Bộ ĐK C s,x

q Q dạng hộp, Nếu các hệ số i (q ); k (q ) cấu trúc dạng có polynomic (3.23):

 


(3.24)

 an (q , x )s n

cũng là đa thức dạng polynomic vì a0 (q , x );a1 (q , x ); ;an (q , x ) có dạng
polynomic. Bằng PP thích hợp đưa chỉ tiêu CL và ổn định bền vững vào BT tối
ưu xác định tham số dưới dạng BT qui hoạch nửa vô hạn dạng (A). Nghiệm x
cần xác định bằng một PP thích hợp để đảm bảo sự thỏa mãn chặt ràng buộc
(thỏa mãn với q Q ) và CL tối ưu.
(A)

m inf  x 

gk x,q  0; k  1, 2,..,mk ; q  Q  q q j  q j  q j
Th  x   0; ; h  1, 2,..,nh




 

19




Thiết lập bài toán tối ƣu dạng qui hoạch nửa vô hạn (A)

3.2.1

 an/ (q , x , )s n

(3.28)

Dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz để xét điều kiện ổn định bền vững của
(3.28) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức của (3.31). Xét trường hợp riêng:
m
n
N p (s ,q )  0 (q )  1 (q )s 
 mp (q )s p ; Dp (s ,q )  0 (q )  1(q )s 
 np (q )s p
mi

L

k 0

j 1

Các hệ số có dạng polynomic, ví dụ: i (q )   ik q j

mik j

(3.29) thì các hệ số

a1/ (q , x , ) của (3.28) cũng có cùng cấu trúc polynomic dạng (3.29). Nên các

hàm gk (x ,q , ) (3.30) cũng có dạng polynomic:
mk


Yêu cầu CL(3.1)

Yêu cầu CL(3.1) đã được đưa vào BT dạng (A), khi dùng tiêu chuẩn ổn định
hàm mũ cho đa thức (3.28) để dẫn tới ràng buộc dạng (3.31), (3.25).

20


Yêu cầu CL(3.2)

3.2.1.3

Tín hiệu r (t ) cho ở công thức (3.26) có ảnh Laplace là:
mr
i!
R(s )  r (t )   ri (i 1) nên ta có ảnh Laplace của sai lệch e (t ) :
i 0
s

E (s ) 

Dc (s )Dp (s ,q )
1
R(s ) 
R(s )
1  CP
DcDp  N cN p

Giả thiết tồn tại giới hạn lim e (t ) , điều kiện bám đầu vào tiệm cận dẫn tới:
t 

s 0

j

(3.32)

j 0

s mc1  dis i . s

mp 1

mp 2

i 0

 d js

j 0

DcDp  N cN c

j
mr

 ri

i 0

i!


(B) min f (x ) với G   x g (x ,q )  0, q Q  q q j  q j  q j , j  1,  , L ;
xG


tại 1 điểm x nghiên cứu g (x ,q ) chỉ còn phụ thuộc q ta ký hiệu là g (q ) . Kiểm





tra tính dương của g (q ) với q Q ta sử dụng độ đo M ( x ) ở (3.19) BT (B)



chuyển thành (C): min f (x ) S .t G (x )   x M (x )  0  . Vì không xác định được
xG x 
chính xác trị infimum của bài toán (C) nên ta dùng trị gần đúng non tiệm cận
21


MuN ( x ) . Thay cho M ( x ) để lập tập ràng buộc GuN ( x ) gần đúng thay cho tập
ràng buộc G ( x ) của (C). Như vậy BT (B) hoặc (C) đã được thay thế xấp xỉ bởi
bài toán (UN):
(UN) min f (x ) S .t GuN ( x )   x MuN (x )  0 



xGuN ( x )


Thuật toán 2:
Bước 1 (B1): Nhập điểm xuất phát x  x 0 , bước tính giới hạn NL và gán bước
tính xuất phát N=N1



là nghiệm gần đúng của (B)



x *  x uN  x uN và f  f N  f uN dừng chương trình tính.
*



xN  ˆ
xuN và
Bước 9 (B9): Chấp nhận x uN là nghiệm gần đúng của (A), ˆ
fN  ˆfuN dừng chương trình tính.

Bước 10 (B10): Đưa ra thông báo với cp và NL đã cho thuật toán không tìm


được nghiệm gần đúng x uN , dừng chương trình.
Bài toán (UN) thực chất là BT qui hoạch phi tuyến, đã có một số PP tìm
nghiệm của BT này, tuy nhiên ràng buộc MuN ( x ) ở trong (UN) chỉ có được bằng
số (tại mỗi điểm x nghiên cứu) nên cần phải chọn PP phù hợp để tìm nghiệm
của (UN). Để phục vụ cho việc tính toán các ví dụ NCS đã dùng PP hàm phạt,
để đưa bài toán có ràng buộc (UN) về một dãy bài toán không chứa ràng buộc
(SUMT) và dùng PP tìm kiếm trực tiếp để tìm cực tiểu của các hàm không ràng
buộc này (PP hàm phạt đã được trình bày trong các tài liệu về qui hoạch toán
học, ví dụ tài liệu “Mathematical programming” của Fiacco A.V nên không
được nhắc tới trong luận án này).


1

(3.44)
(3.45)

uN

KQ2-5:

lim ˆN  0

N 

23

(3.46)


KẾT LUẬN
Luận án đã có những đóng góp sau:
1. Phát triển một PP phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN của
cực tiểu toàn thể M cho hàm g (q ) là đa thức và Q dạng hộp. Xây dựng thuật
toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN. Tính tiệm cận và đánh giá
sai số gặp phải được xét qua định lý 1.
2. Dùng MuN để kiểm tra tính dương chặt của một hàm g (q ) dạng đa thức và Q
dạng hộp. Do đó sử dụng MuN để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định
bền vững dạng đại số và tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn.
3. Đưa việc xác định tham số bộ điều khiển bền vững về bài toán tối ưu dùng qui
hoạch phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện kể đến ổn định bền