BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
THPT CHU VĂN AN
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN THÔNG QUA BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11

Người thực hiện: Nguyễn Đăng Thịnh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2016 - 2017

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 sáng kiến kinh
nghiệm

2


MỤC LỤC

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI........................................................................ trang 4
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................trang 5
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.......................................
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
......................................................................................................trang 6
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song...........................................................................trang 13
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....................... trang 15
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI................................................................ trang 23
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG.....................trang 23
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................trang 23

3


BM03-TMSKKN
ĐỀ TÀI :
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian luôn là một phần học khó đối với nhiều học sinh ở bậc

trong quá trình học của học sinh.
Việc thay đổi cách thi từ tự luận sang trắc nghiệm cũng đòi hỏi người học và
người dạy phải thay đổi để phù hợp với cách thi mới. Nếu như trước đây một bài
toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh cứ theo phương pháp
tìm đường vuông góc chung để tính khoảng cách vẫn có thể khả thi vì thời gian
làm tự luận sẽ nhiều hơn, còn đối với trắc nghiệm thì việc lựa chọn đúng phương
pháp sẽ phù hợp với thời gian của trắc nghiệm.
Sách giáo khoa Hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao đều viết bài “KHOẢNG
CÁCH” rất đơn giản về lí thuyết tuy nhiên phần bài tập đối với học sinh thì lại
không đơn giản đối với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra các định nghĩa như
sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập thì chắc chắn nhiều học sinh không thể
làm được. Học sinh thường lúng túng khi tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên
mặt phẳng thì điểm đó nằm ở đâu? Tại sao lại nằm ở đó? Tìm ra điểm đó như thế
nào ?. Trong sách giáo khoa nâng cao lớp 11, phần lý thuyết có bài toán tìm đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, nhưng rõ ràng trong thực tế khi
giải bài toàn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào ta
cũng phải bắt buộc tìm đường vuông góc chung.
Toán là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian
là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ những lí do trên, nên tôi đã chọn đề tài: Rèn luyện tư duy suy
luận qua bài toán khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học
lớp 11.

5


III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Phần khoảng cách trong không gian ở hình học lớp 11 thường là một bài
toán khó cho học sinh. Chính vì vậy nếu người giáo viên chỉ đưa ra các khái niệm
về khoảng cách ở các mục trong sách giáo khoa rồi đưa ví dụ áp dụng sẽ rất khó để

đường thẳng qua A và song song với ∆ .

6


2. Nếu AB / /mp ( α ) thì d ( A, ( α ) ) = d ( B, ( α ) ) .
3. Nếu AB cắt mp ( α ) tại I thì

d ( A, ( α ) )
d ( B, ( α ) )

=

IA
.
IB

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA
vuông góc với đáy, biết SA = 2a, AB = a . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).

Bài giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AH

BC
⊥
AB



+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
+ Trong (Q), Kẻ MH vuông góc với d (H thuộc giao tuyến d). Khi đó
d ( M , ( P ) ) = MH

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh SA
vuông góc với mặt đáy, SA = 2a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài giải: Cho học sinh tìm kiếm lời giải thông qua
các bước của phương pháp đã nêu ở trên
+ Mp(SAM) đi qua A và vuông góc với mp(SBC)
(M là trung điểm của BC);
+ SM = ( SAM ) Ç ( SBC ) ;
+ Trong mp(SAM), kẻ AH vuông góc với SM cắt
SM tại H.
do tam giác ABC đều suy ra AM ⊥ BC
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AH

BC
⊥
AM

 AH ⊥ BC
⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH

 AH ⊥ SM
AM =

a 3 1
1

vuông góc với mặt phẳng ( SMD ) . Đối với yêu cầu thứ 2 gần như các em không
thể tìm ra ngay hoặc tìm sai mặt phẳng.
Như vậy, học sinh sẽ thấy rằng việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( SMD ) sẽ dễ hơn việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SMD ) , công việc
còn lại là tìm mối quan hệ giữa hai khoảng cách này.
Trong mặt phẳng ( ABCD ) :{ E} = AB ∩ DM , theo chú ý 3, ta có:
d ( B, ( SMD ) )
d ( A, ( SMD ) )

=

EB 1
1
= ⇒ d ( B, ( SMD ) ) = d ( A, ( SMD ) )
EA 2
2

GV yêu cầu học sinh sử dụng các bước đã hướng dẫn để tìm khoảng cách
+ Mặt phẳng qua A và vuông góc với mp ( SMD ) là mp ( SAM ) ;

(

2
2
2
( AM + DM = AD AM = DM = 2a 2

)

+ Giao tuyến SM = ( SAM ) Ç ( SDM ) ;

nhấn mạnh lí do chuyển về điểm A vì điểm A là chân đường cao hình chóp nên đã
có sẵn yếu tố vuông góc SA ⊥ ( ABCD ) nên việc tìm mặt phẳng thỏa phương pháp
là dễ dàng tìm.
Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, OA = a,
OB = b, OC = c . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) theo a,b,c.

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)
+ Tìm mặt phẳng qua O vuông góc với ( ABC ) : đó là mặt phẳng ( AOH ) trong đó
H là hình chiếu vuông góc của O lên BC;
+ Giao tuyến của mp ( AOH ) và mp ( ABC ) là AH;
+ Trong mp ( AOH ) , kẻ OK vuông góc với AH
BC ⊥ OH 
 ⇒ BC ⊥ OK
BC ⊥ OA 
OK ⊥ AH 
 ⇒ OK ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( O, ( ABC ) ) = OK
OK ⊥ BC 
Tam giác OBC vuông tại O:

1
1
1
=
+
OH 2 OB 2 OC 2

Tam giác AOH vuông tại O:
1
1
1

+
=
+
+
⇒
d
O
,
ABC
=
))
( (
OK 2 OA2 OB 2 OC 2 a 2 b 2 c 2
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại
B, AB = a, ·ACB = 300 , AA ' = 2a 2 .
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
( A ' BC ) ;
b) Gọi M là trung điểm BB’. Tính khoảng cách từ M đến ( A ' BC ') .

a) AC =

AB
= 2a, BC = AC 2 − AB 2 = a 3
0
sin 30

+ Từ những ví dụ đã cho ở trên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy là việc
tìm mặt phẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng ( A ' BC ) là dễ dàng vì
AA ' ⊥ ( ABC ) . Nên thay vì tìm mặt phẳng qua G vuông góc với mặt phẳng

1
1
1
sẽ đưa ra hướng tính AH:
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AA '
AB 2
1
2 2
Vậy, d ( G, ( A ' BC ) ) = d ( A, ( A ' BC ) ) =
a
3
9

AA '2 . AB 2
2 2
=
a.
2
2
AA ' + AB
3

b) AC = 2a, BC = a 3
Từ chú ý của ví dụ 3, ta thấy tứ diện B’A’BC’ có B’A’, B’B, B’C’ đội một

hình vuông ABCD, khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy (ABCD) khi đó là SO.
∆SCD là tam giác đều có cạnh huyền nên
AC 230
230
2
2
OC =
=
≈ 163m .
, SO = SC − OC =
2
2
2

SC = SD = 230m ,

12


2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
2.1 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Định nghĩa: Đường thẳng a song song với mp(P) là khoảng cách từ một điểm M
bất kì trên đường thẳng a đến mặt phẳng (P). Kí hiệu d ( a, ( P ) ) = MH
Ví dụ 6: Cho hình chóp đều S.ABCD, có AB = 2a, SA = a 5 . N là trung
điểm của CD.
a) Chứng minh ( SON ) ⊥ ( SCD )
b) Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD).


1
1
SO 2 .ON 2
a 3
=
+
⇒ OK =
=
⇒ d ( AB, ( SCD ) ) = a 3
2
2
2
2
2
OK
SO ON
SO + ON
2
2.2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d ( ( P ) , ( Q ) ) = AH .
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vuông tại
B và BC = a, AA ' = 2a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( A ' B ' P ) và ( MNC ) .
14


Các bước tiến hành được làm tương tự như tính khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.

nhau a và b
+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn IJ
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Kí hiệu d ( a, b )
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . Tính khoảng cách giữa các cặp
đường thẳng :
a) SA và BD;
b) AB và SD;
c) AD và SC.
15


Lời giải:
a) Dựa vào định nghĩa khoảng cách học sinh dễ dàng chỉ ra đường đoạn
vuông góc chung của SA và BD.
ìï AO ^ BD
Þ d ( SA, BD) = AO
Gọi O = AC Ç BD . Khi đó, ïí
ïïî AO ^ SA

a 2
.
2
Qua lời giải của câu a) GV đưa ra câu hỏi cho học sinh “mối quan hệ của
hai đường thẳng SA và BD”, đường vuông góc chung AO nằm trong mp(SAO) và
mp(SAO) có quan hệ như thế nào với hai đường thẳng SA và BD? Từ đó giúp học
sinh đưa ra phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( trong

=
a.
2
2
2
2
AH
SA
AD
SA + AD
3
c)
Câu hỏi đặt ra ở đây là liệu có thể làm câu c) tương tự như hai câu a và b
hay không? HS sẽ nhận thấy do AD và SC không vuông góc với nhau nên không
tồn tại mặt phẳng chứa một đường và vuông góc với đường còn lại.
Phương pháp dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a và b nhưng không vuông góc với nhau.

- Ta dựng mặt phẳng ( a ) thỏa: b Ì ( a ) và a / / ( a ) .
- a ' là hình chiếu vuông góc của a lên mp ( a ) và a ' cắt b tại N.
- Qua N dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cắt a tại M. Khi
đó, MN là đoạn vuông góc chung của a và b.

- Mặt phẳng (SBC) chứa SC và song song với AD;
17


- Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, qua K kẻ KE / / AD (E
thuộc SC). Suy ra, KE là hình chiếu vuông góc của AD lên mp(SBC).
- Qua E dựng EF vuông góc AD cắt AD tại F.


18


Ở đây học sinh dễ dàng nhận thấy SC ⊥ BD , điều này có nghĩa ta sẽ dùng
phương pháp ở trường hợp 1 để giải quyết bài toán khoảng cách này
+ Mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD là: mặt phẳng ( SAC ) ;
+ Giao điểm của BD và mp ( SAC ) là: điểm O

( { O} = AC ∩ BD ) ;

+ Trong mặt phẳng ( SAC ) kẻ OH vuông góc với SC (H thuộc SC). Khi đó,
OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.
AC = a ( ∆ABC đều), gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Do ∆SAC
vuông cân ⇒ AK =

SC a 2
AK a 2
, mà ⇒ OH =
.
=
=
2
2
2
4

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AD và SC.

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song. Đến đây ta tiếp tục sử dụng các bước tính khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song để tính khoảng cách.
+ Tìm mặt phẳng vuông góc với mp ( Bx, SB ) , ta có thể nhận thấy H là chân
đường cao hình chóp có nghĩa là SH ⊥ Bx như vậy ta chỉ cần một yếu tố vuông
góc với Bx là đã xác định được mặt phẳng vuông góc với mp ( Bx, SB ) . Gọi E là
hình chiếu vuông góc vủa H lên Bx, ta được mặt phẳng vuông góc với mp ( Bx, SB )
là mp ( SHE ) .
+ mp ( SHE ) cắt AH tại H
+ Trong mp ( SHE ) kẻ HK vuông góc SE (K thuộc SE) suy ra HK là
khoảng cách giữa AH và SB.

20


Góc giữa SA và mp(ABC) là

SH = AH .tan 60. = a , EH = MB =
vuông tại H:

·
SAH
= 600 ,

AH =

2
a 3
,
AM =

vuông góc với mặt đáy hình lăng trụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,
BB’.

Gọi H là trung điểm của CM, vì ( A ' CM ) ^ ( ABC ) nên A ' H ^ ( ABC )
+ Mặt phẳng chứa AC và song song với BB’ là: mp(AA’C’C);
d ( BB ', AC ) = d ( BB ', ( AA 'C ' C ) ) . Như các ví dụ ở trên ta thấy về cơ bản chúng ta
chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thành khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song sau đó tiếp tục chuyển về khoảng cách giữa
điểm và mặt phẳng.
+ M là trung điểm AB nên d ( B, ( AA ' C ' C ) ) = 2d ( M , ( AA ' C ' C ) ) ;
+ H là trung điểm MC nên d ( M , ( AA ' C ' C ) ) = 2d ( H , ( AA ' C ' C ) ) ;
Suy ra d ( B, ( AA 'C 'C ) ) = 4d ( H , ( AA 'C 'C ) ) . Gọi E, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H trên AC và A’E . Khi đó HK ⊥ A ' E , HK ⊥ AC ( AC ⊥ ( A ' HE ) )
suy ra
HK ⊥ ( AA ' C ' C ) ⇒ d ( H , ( AA ' C ' C ) ) = HK .
21


CM =

1
a 3
1
a 3 ·
, CH = CM =
, ACM = ·ABC = 300
2
2
2
4

Qua nghiên cứu, sử dụng đề tài này vào thực tế giảng dạy, tôi thấy có hiệu
quả rất đáng kể. Trước đây, khi chưa áp dụng đề tài này tôi nhận thấy số lượng học
học sinh có thể tìm ra hướng giải là tương đối thấp, một số em thậm chí khi nghe
đến bài toán khoảng cách là các em bỏ qua vì cho rằng nó khó quá so với khả năng
của mình, một số thì hiểu bài giải nhưng khi tự giải thì không có khả năng. Từ năm
học 2014-2015 khi đưa đề tài này vào để giảng dạy bài toán khoảng cách cho học
sinh lớp 11 ở trường, số lượng học sinh có thể làm được các bài tập khoảng cách
thông dụng tăng lên khá cao, ở các lớp thường có hơn 50% các em đã tự định
hướng và giải được các bài thông dụng, ở lớp nguồn thì ngoài các bài thông dụng
thì trong các bài khó hơn số lượng học sinh làm được bài tăng lên rõ rệt. Điều mà
tôi tâm đắc khi đưa đề tài này vào giảng dạy là việc học sinh đã không còn cảm
giác sợ các bài toán khoảng cách, việc cung cấp hướng đi giúp các em bắt đầu tư
duy để giải bài tập thay vì như trước đây học thụ động không có hướng đi, không
muốn tư duy.
Việc xây dựng các bước xác định khoảng cách đối với học sinh, giúp học
sinh có hướng giải quyết loại toán khoảng cách này, đặc biệt không dạy theo kiểu
“đáp án từ trên trời rơi xuống” hay “ta kẻ đường này, ta dựng đường kia” mà học
sinh không biết tại sao phải làm vậy. Việc người dạy cần làm là hướng dẫn chỉ
đường để học sinh tư duy phát hiện ra kết quả.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Qua hiệu quả mà đề tài nay mang lại khi tôi áp dụng vào thực tế giảng dạy
tại lớp. Tôi mong rằng tài liệu nhỏ này là nguồn tham khảo cho các đồng nghiệp,
học sinh giúp các em giải quyết tốt hơn loại bài toán khoảng cách này.
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Minh Quang (2000). 27 chủ đề toán hình học không gian. Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Hà Nội
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016). Bài tập hình học 11. Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
3. SGK lớp 11 cơ bản và nâng cao (2016). Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam.

1. Tính mới
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
Phiếu này được giám khảo 1 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và
Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 1 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng
kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm của giám khảo 2.

24


GIÁM KHẢO 1
(Ký tên, ghi rõ họ và tên)
BM01b-CĐCN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
Phiếu này được giám khảo 2 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo;
ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 2 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm liền
trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm của đơn vị.

25