SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI
LẦM TRONG VIỆC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT ĐỂ GIẢI
TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9

Người thực hiện: Lê Văn Hồng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường trung học cơ sở Điền Lư
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
TT

NỘI DUNG

Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1

1.

Lý do chọn đề tài


2.

Thực trạng

3

3.

Các giải pháp thực hiện

5

3.1.

Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp
dụng định lí thuận để giải Toán.

5

3.2.

Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp
dụng định lí đảo để giải Toán.

7

3.3.

Giải pháp 3: Giúp HS nắm chắc nội dung định lí và phát triển


17


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Như chúng ta đã biết, Toán học là bộ môn học cơ bản đóng góp phần lớn
trong việc phát triển tư duy và hình thành nhân cách cho học sinh. Vì vậy đòi
hỏi giáo viên phải không ngừng cố gắng tìm tòi , học hỏi đúc rút kinh nghiệm ,
cải tiến phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng và đặt biệt là chất lượng
đại trà góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện theo mục tiêu
giáo dục đã đề ra.
Trong quá trình học tập môn toán nói chung mà đặc biệt là môn toán trong
chương trình THCS nói riêng, học sinh thường mắc những sai lầm trong việc
vận dụng kiến thức đã học vào việc làm các bài tập toán. Khi học sinh mắc sai
lầm trong giải toán nếu giáo viên không nắm bắt được nguyên nhân và không
kịp thời đưa ra được biện pháp khắc phục những sai lầm đó thì quả là điều đáng
tiếc cho cả giáo viên và học sinh.
Nếu trong quá trình dạy học toán, giáo viên đưa ra những tình huống sai
lầm mà học sinh dễ bị mắc phải, chỉ rõ và phân tích cho các em thấy được chỗ
sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm, sẽ giúp cho các em không những khắc
phục được sai lầm mà còn hiểu kĩ và sâu hơn bài mình đang học. Qua thực tế
giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 tại trường THCS Điền Lư kết hợp với việc tham
khảo ý kiến của đồng nghiệp, tôi đã đúc kết, tổng hợp được một số sai lầm
thường gặp của học sinh trong quá trình vận dụng định lí Vi-ét để giải toán.
Điều này đặt ra cho giáo viên một câu hỏi làm thế nào để học sinh khi vận dụng
định lí Vi-ét không mắc những sai lầm điều này là cấp thiết bởi vì trong các đề
thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện
các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít (chỉ 2 tiết cả lí

sai lầm khi áp dụng định lí Viét để giải Toán.
- Giúp học sinh nắm chắc nội dung định lí và phát triển tốt tư duy thuật
giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập
4. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên
cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận:
Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục là “Nhằm giúp
học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ
học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học
nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để thực hiện mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết
kế theo hướng giảm chương trình lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo
đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt
động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết: Hệ thức Vi-ét và ứng
dụng
- Tiết 1: Lý thuyết học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc
hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Tiết 2: Luyện tập học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết
vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có
2



chiếm một vị trí qua trọng. Nhưng khi học sinh học về định lí Viét và ứng dụng,
các em cũng thường mắc phải những lỗi như trên dẫn đến còn nhiều học sinh
lúng túng và nhầm lẫn trong khi giải bài tập do đó không có được tư duy thuật
giải.
Để có cơ sở kiểm chứng đề tài tôi đã cho học sinh lớp 9 trường THCS
Điền Lư năm học 2014-2015 tiến hành làm bài kiểm tra việc áp dụng định lí Viét để giải toán (khi chưa áp dụng đề tài), đề kiểm tra như sau:
Câu 1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
a, x2+ 3x +7 = 0
b, mx2- 8x +2 = 0
3


Câu 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a, 2015x2-2016x +1 = 0
b, x2+2017x +2016 = 0
Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2017 và -1
Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là -6 và tích hai
nghiệm là 12
Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Tôi đã tiến hành coi thi và chấm chữa bài theo đúng quy định, kết quả bài
kiểm tra đạt được như sau:
Bảng 1: Thống kê học sinh phạm sai lầm khi vận dụng định lí Vi-ét

Năm học

2014-2015



47,1

11

32,3

7

20,6

9B

35

15

42,9

13

37,1

8

22,6

Khá

TB


3

8,6

%

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

5

14,7 12

35,
3


giải toán, qua đó giúp học sinh phát triển tốt tư duy từ đó giúp các em học tốt và
4


yêu môn toán hơn .
3 . Các giải pháp thực hiện:
3.1. Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp dụng
định lí thuận để giải Toán.
a. Nội dung định lí: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = o có hai
nghiệm x1, x2 thì x1+ x2 =

−b
c
và x1. x2 =
a
a

(Trang 51 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân)
* Trong khi dạy học để cho học sinh phát hiện ra nội dung định lí trên
trước hết cần cho học sinh thấy được công thức nghiệm khi ∆ > 0 vẫn đúng khi
∆ = 0 sau đó cho học sinh tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm trong trường
hợp tổng quát rồi rút ra nội dung định lí.
*Sai lầm học sinh thường mắc phải: Khi áp dụng định lí mà không chú
ý đến điều kiện để áp dụng định lí đó là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0.
* Khắc phục: Để khắc phục điều này giáo viên đưa ra những phản ví dụ
qua đó học sinh khắc sâu được điều kiện khi áp dụng định lí thuận.
Ví dụ1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
x2+ 3x +7 = 0
− b −3
=

phương trình bậc hai có hai nghiệm mà áp dụng luôn định lí Vi ét. Sau khi học
sinh thấy được sai lầm trên sẽ có lời giá đúng như sau:
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì:

a ≠ 0
⇔

∆ ' ≥ 0

 m≠0
m ≠ 0
⇔ 

16 − 2m ≥ 0
m ≤ 8

5


Với điều kiện trên áp dụng định lí Viét ta có:
−b
8
=
m
a
c
2
x1. x2 = =
a
m

Lời giải: Từ a - b + c = 0 ⇒ b = a + c
⇒ ∆ = b2 – 4ac
= a2 + 2ac + c2 – 4ac
= (a - c)2 ≥ 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm :
x1 =

− b + ∆ − b + a − c − (a + c) + a − c
=
=
2a
2a
2a
− 2c − c
=
+Nếu a ≥ c Thì x1 =
. Áp dụng định lí viét ⇒ x2 = -1
2a
a
−c
+Nếu a < c Thì x1 = -1 . Áp dụng định lí viét ⇒ x2 =
a

Vậy nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = -1, còn

6


nghiệm kia là x2 =

−c

+ Lập phương trình bậc hai có hai có tổng hai nghiệm là m và tích hai
nghiệm là n
*Khắc phục: Để tránh khỏi sai lầm trên cần cho học sinh kiểm tra xem
phương trình bậc hai đang xét đã chắc chắn có hai nghiệm hay chưa. Nếu chắc
đã có hai nghiệm thì không cần đặt điều kiện S 2 - 4P ≥ 0. Nếu chưa nói cụ thể
có hai nghiệm thì cho học sinh thấy được để lập được phương trình bậc hai khi
biết tổng và tích hai nghiệm thì cần chú ý đến điều kiện: S 2 - 4P ≥ 0. Để khắc
sâu được hai trường hợp trên cho học sinh xét các ví dụ sau:
Ví dụ1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 và 4
GV yêu cầu học sinh thực hiện các bước sau:
Tính: S = x1+ x2 = 7
7


P = x1. x2 = 12
Phương trình cần lập là: : X2 – 7X + 12 = 0
Giáo viên cho học sinh giải lại phương trình mới lập để kiểm nghiệm lại.
Giáo viên hỏi: Vì sao khi làm bài tập trên không cần quan tâm đến điều
2
kiện S - 4P ≥ 0
Học sinh trả lời: Vì theo đề bài phương trình đã cho chắc chắn đã có hai
nghiệm là 3 và 4 nên S2 - 4P > 0
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là 5 và tích hai
nghiệm là 10.
*Sai lầm: Nhiều học sinh đã vội vàng với cách giải tương tự như VD1
đưa ra phương trình cần lập là: X 2 - 5X +10 = 0. Mà không lưu ý đến điều kiện
S2 - 4P ≥ 0 dẫn đến lời giải bị sai.
* Khắc phục: Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện lời giải đúng như
sau:
Ta có: S2 - 4P = 52 – 4. 10 = -15 < 0 nên không lập được phương trình

Cách giải:
- Hệ có nghiệm khi S2 - 4P ≥ 0
- x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0
- Nếu (x, y) là một nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là một nghiệm của hệ
 x + y + xy = 6
2
2
x y + y x = 5

Ví dụ: Giải hệ phương trình: 

(Tham khảo trang 22-Các chuyên đề chọn lọc Toán 9/T2-NXBGD-chủ
biên: Tôn Thân)
Giải:
 x + y + xy = 6
 x + y + xy = 6
⇔

(I)
2
2
x y + y x = 5
 xy ( x + y ) = 5

Ta có: 

S + P = 6
áp dụng hệ thức Vi-ét thì S,
 SP = 5


5 − 21 5 + 21
;
)
2
2

*ứng dụng 5: Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = o (a ≠ 0 ). Có hai nghiệm x1, x2 thì đa
thức ax2 + bx + c phân tích được thành: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 + 5x - 7
Học sinh giải: Phương trình 2x 2 + 5x - 7=0 có a+b+c=2+5+(-7)=0 nên phương
trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 =

−7
2

7
2

Nên đa thức 2x2 + 5x - 7= 2(x-1)(x+ )=(x-1)(2x+7)
3.3. Giải pháp 3: Giúp học sinh nắm chắc nội dung định lí và phát triển
tốt tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập.
9


a. Bài tập vận dụng định lí thuận.
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau:
a. x2 + ( m + 3 )x – 4 - m = 0
(1)
2

+ Trường hợp 1: a = 0
+ Trường hợp 2: a ≠ 0 .
Bài 2: Xác định m để phương trình: x 2 – (m +1)x + 4m = 0 (3) có hai
nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1. x2 = 1
Lời giải:
Để phương trình (3) có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay (m+ 1)2 – 16m ≥ 0 (*)
áp dụng địng lí Viét ta có: x1.x2 = 4m (4)
Theo giả thiết ta có: x1. x2 = 1
(5)
1
1
. Thay m = vào điều kiện (*) ta được:
4
4
1
1
39
∆ =(
+1)2 – 16. = < 0 Không thoả mãn điều kiện (*)
4
4
16

Từ (4) và (5) suy ra m =

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình (3) có hai nghiệm x 1, x2
thoả mãn: x1. x2 = 1
* Lưu ý: Đối với bài tập này học sinh thường hay mắc sai lầm ở chỗ sau
khi tìm được m thì kết luận luôn bài toán mà không thử lại xem giá trị m vừa tìm
được có thoả mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm hay không. Để khắc

- Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
∆ = (2m - 1)2 - 4(- m +1) ≥ 0
⇔ 4m2 – 3 ≥ 0 ⇔ m ≥

3
3
hoặc m ≤ (*)
2
2

Theo hệ thức Viét có: x1+ x2 = - (2m -1) (1)
x1. x2 = - m + 1 (2)
- Áp dụng hệ thức viét để tìm m sao cho: x2( x1 + 1 )+ x1( x2 + 1 ) =8.
⇔ x1+x2+2x1x2=8.
(3)
Từ (1) và (2) Thay vào (3) ta được : - (2m -1) + 2(- m + 1) = 8
⇔ m = -1.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m cần tìm là: m = -1
x

x

1
2
b. Ta có: x + x = 2 ⇒ x12+x22 = 2x1x2
2
1

⇔ (x1 +x2)2 - 4x1x2 = 0 (4)


2
1
và 3
3

Lời giải:
2

 −2 
 −1 
Vì S - 4P =  ÷ − 4  ÷ > 0
 3 
 3 
2

2
1
X - = 0. Giải ra được
3
3
1
1
1
X1 = ; X2 = - 1 Vậy (m,n) = ( ; -1) hoặc (m,n) = (-1 ; )
3
3
3

Nên m, n là nghiệm của phương trình: X2 +


= (m - 1)2 – m + 1
= m2 – 3m +2
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m2 – 3m +2 ≥ 0
⇔ (m-2)(m-1) ≥ 0
m ≥ 2
⇔
m ≤ 1
m ≥ 2

b. Với 
thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 theo vi-ét ta có:
m ≤ 1
x1+x2= 2(m-1) và x1x2= m-1
x1

x2

x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2

2m − 2 + 2m − 2

4m − 4

Ta có: X1 + X2= x + 1 + x + 1 = x x + x + x + 1 =
=
m − 1 + 2m − 2 + 1 3m − 2
1
2
1 2
1

(3m − 2)
(3m − 2) 2

≥

0

m≥2
Vì 
m ≤ 1

Theo định lí Viét đảo X1, X2 là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
m −1
 m −1 
⇔ X 2 − 4
=0
X +
3m − 2
 3m − 2 
m≥2

d. Với 
m ≤ 1

 x1 + x2 = 2m − 2

Theo bài ra và theo Vi-et ta có:  x1 − x2 = 2
 x x = m −1
 1 2



x1 – x2 = 2
*Lưu ý: Học sinh khi làm câu b cần đặt điều kiện để S2 – 4P ≥ 0
4.Kết quả đạt được
Tiến hành khảo sát ở năm học 2015-2016 khi đã áp dụng đề tài trên hai
đối tượng HS 9A (lớp đối chứng) và HS lớp 9B (lớp thực nghiệm đề tài), hai lớp
này đối tượng học sinh có khả năng học Toán là tương đương vì việc chia lớp là
ngẫu nhiên vơi đề kiểm tra như năm học 2014-2015
Đề kiểm tra:
Câu 1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
a, x2+ 3x +7 = 0
b, mx2- 8x +2 = 0
Câu 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a, 2015x2-2016x +1 = 0
b, x2+2017x +2016 = 0
Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2017 và -1
Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là -6 và tích hai
nghiệm là 12
Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Kết quả khảo sát trên 2 đối tượng lớp 9A (không áp dụng đề tài), lớp 9B
(áp đụng đề) thu được như sau :
Bảng 3: Thống kê học sinh phạm sai lầm khi vận dụng định lí Viét

Năm học

Lớp



38,2

12

35,3

9

26,5

9B

33

6

18,2

4

12,1

23

69,7

Bảng 4: Kết quả đạt được:
Năm học



%

SL

%

SL

%
11,8

34

2

5,9

6

17,6

13

38,2

9

26,
5

1. Kết luận:
Như vậy so với kết quả kiểm tra năm học trước kết quả thu được sau khi
thực dạy theo biện pháp trên thật đáng mừng. Điều này chứng tỏ khả năng vận
dụng kiến thức về lí thuyết vào giải bài tập của học sinh còn nhiều hạn chế. Để
khắc phục hạn chế trên không những cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức
về lí thuyết cơ bản mà còn biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải các bài Toán
cơ bản, các bài toán khó có liên quan, qua đó giúp học sinh phát huy tính tự học,
tự tìm tòi và chủ động hơn trong việc chiếm lĩnh kiến thức mới. Muốn vậy khi
dạy kiến thức mới giáo viên cần chọn ra những dạng bài toán áp dụng được
những kiến thức mới học phù hợp với từng đối tượng học sinh, sau mỗi phần,
mỗi chương cần chọn ra các bài tập tổng hợp từ đó hướng dẫn học sinh tìm mối
liên hệ giữa yêu cầu của bài toán với những kiến thức đã học, đồng thời giúp học
sinh tránh được những sai lầm thường mắc phải khi áp dụng lí thuyết vào giải
bài tập
Sáng kiến chỉ đề cập tới một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai
lầm khi áp ứng dụng của định lí Viét vào giải Toán, sau khi thực hiện sáng kiến
này tôi thấy rằng khả năng vận dụng địng lí Vi ét nói riêng và các kiến thức về lí
thuyết nói chung của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh
15


biết áp dụng lí thuyết vào giải bài tập cơ bản một cách chính xác, nhiều học sinh
đã có cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức
mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Chính vì vậy tôi mạnh dạn tổng hợp các suy nghĩ mà tôi đã áp dụng, đó là
vài kinh nghiệm của tôi có sự góp ý của đồng nghiệp trong tổ. Vậy bản thân tôi
nhận thấy đề tài còn hạn chế rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp, đặc
biệt là các đồng chí chuyên viên của phòng giáo dục để tôi có được những kinh
nghiệm cần thiết để tiếp tục nghiên cứu cho việc giảng dạy tốt hơn góp phần nhỏ
bé vào sự phát triển của giáo dục.

Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2
Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2
Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2
Các chuyên đề chọn lọc Toán 9-Tập 2
Toán bồi dưỡng học sinh Đại số 9

NXB
NXBGD
NXBGD
NXBGD
NXBGD
NXBGD

Chủ biên
Tôn Thân
Tôn Thân
Tôn Thân
Tôn Thân
Đỗ Quang Thiều

CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÁC CẤP CÔNG NHẬN
TT
1
2

Tên đề tài
Làm thế nào để học sinh hiểu khái niệm
hàm số
Một số phương pháp tổ chức dạy học
các loại tứ giác cho học sinh