I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một
bài toán khó đối với học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối
11 nói riêng. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh,
đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có
nhiều cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn
sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp
với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một
quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tự nhiên”. Do không có đủ cơ sở lý
thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại
có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không có
đủ cơ sơ lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức, không tìm
được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài
toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng
đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng
đối với người học toán.
Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và bồi dưỡng học sinh
giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số phương pháp cơ bản để tìm giới hạn
của các bài toán dạng này. Vì vậy tôi chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm là :
“Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống
kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ
trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số và giới hạn tôi
đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh nắm được
một số phương pháp cơ bản để tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ
thức truy hồi. Trên cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương
pháp giải cho bài toán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp
học sinh khái quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải
cho các bài toán đó, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học

• Dãy (un ) được gọi là dãy số tăng (đơn điệu tăng) nếu un < un+1 ∀n ∈ ¥ * .
• Dãy (un ) được gọi là dãy số giảm (đơn điệu giảm) nếu un > un+1 ∀n ∈ ¥ * [4].
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (un )
• Dãy (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số M sao cho
un ≤ M ∀n ∈ ¥ * .
• Dãy (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại hằng số m sao cho
un ≥ m ∀n ∈ ¥ * .
• Dãy (un ) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn [4].
2.1.2. Cấp số cộng
2.1. Định nghĩa
Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d (
*
n ∈ N ), d là số thực không đổi gọi là “công sai”.
2.2. Tính chất
• Số hạng tổng quát của cấp số cộng: un = ( u1 + ( n − 1) d )
• Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
n
n
Sn=u1+ u2+ u3+...+ un = ( 2u1 + ( n − 1) d ) = ( u1 + u n ) [4].
2
2
2.1.3. Cấp số nhân
3.1. Định nghĩa
Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un .q ( n ∈ N * ); q
là số không đổi gọi là “công bội ”.
3.2. Tính chất
• Số hạng tổng quát:un = u1 .qn-1
• Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
qn −1
Sn=u1+ u2+ u3+...+ un = u1.

Định lý mở rộng:. Cho ba dãy số ( xn ), ( yn ), ( zn ) thỏa mãn
• ∃n0 ∈ ¥ : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn
• lim yn = lim zn = L
Khi đó lim xn = L [5].

Định lý 4.2
• Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
• Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”[1].
un = lim un+1 .
Nhận xét: Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì nlim
→+∞
n→+∞
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong
sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:
u1 = 10

Bài tập 1. Cho dãy số (un) xác định như sau: 
1
u
=
un + 3, ∀n ≥ 1
n
+
1

5
15
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi vn = un −
là một cấp số nhân.


Trang 3


u1 = 30
Bài tập 4. Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
2
un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ 1
un+1
Tính lim
[8].
( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011).
un
Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận
xét sau đây:
• Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh
thường lúng túng trong việc tìm ra các giải cho bài toán.
• Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên
rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh
có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định công thức tổng
quát của dãy số (un) nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một cấp số cộng, cấp
số nhân; hoặc sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số như nguyên lý kẹp, định lý
về sự tồn tại của dãy số để tìm giới hạn của dãy số.
• Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh
giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh biết
cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề không
dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải quyết vấn đề
này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.

Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2
u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2
...
Dự đoán un = 1+(n-1).2
Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng)
Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2 ∀ n∈ N*
Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công
sai d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2
u1 = 10

Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định 
.
1
u
=
u
+
3,
∀
n
≥
1
 n+1 5 n
15
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi vn = un −
là một cấp số nhân.
4
b) Tính limun[1].

. Do đó lim un = .
4
4

Nhận xét
1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến
15
vn = un −
để dãy (vn) là một CSN? Từ đó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm
4
1
1
1
1
15
số b sao cho un+1 − b = (un − b) ⇒ un+1 = b − b + un = un + 3 ⇒ b =
5
5
5
5
4
1
15
Do vậy nếu đặt vn = un −
thì vn+1 = vn , ∀n ≥ 1 nên (vn) là một cấp số nhân.
5
4
n
2. Ngoài ra có thể đặt vn = 5 .un , ∀n ≥ 1 , khi đó ta có vn+1 − vn = 3.5n+1 , ∀n ≥ 1 .
n −3


Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi u = u + b ∀n ≥ 1 .
n
 n+1
Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
Bài toán này có khái quát hơn ví dụ 1.1, cách giải bài toán này tương tự . Trên
cơ sở đó giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo hai hướng:
Hướng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ số đó
bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi.


u1 = a

Bài toán 1.2..Cho dãy số (un) xác định bởi u = ku + b ∀n ≥ 1, k ≠ 1 .Xác định số
n
 n +1
hạng tổng quát của dãy số. Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
Hướng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao?
u1 = a
∀n ∈ N * , k ∈ N * . Trong
un +1 = k .un + f (n)

Bài toán 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi 

đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Từ
đó tính giới hạn của dãy số đó.
Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự tư duy
và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới
này một số học sinh thường giải được theo cách 1 (phương pháp quy nạp) nhưng
các em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài

2
2
n
 1 
= = 2 1 −  ÷ ÷÷ . Do đó limun = 2.
 2 
Trường hợp 2. Với k ≠ 1 . Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun =

f(n), từ đó hãy biểu diễn un tương tự như cách làm ở trên"
Ta có:
un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1
= f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1.
(Tổng này tính được tùy theo k và f(n) của bài toán cho)
u1 = 2
∀n ∈ N * . Hãy xác
un +1 = 2un + n

Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định như sau 

định số hạng tổng quát của dãy ?
Hướng dẫn
Áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta được un= 2n+1 – n – 1.
Đến đây giáo viên đặt vấn đề: ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu
u1 = a , u2 = b
∀n ∈ N * , n > 1
un+1 = pun − qun−1

thức chứa un-1 thì sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho bởi 

Thì việc tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số này sẽ được giải quyết

un = (un - α un-1)+ α (un-1– α un-2)+ α 2(un-2 – α un-3) + …+ α n-2 (u2 – α u1) + α n-1u1
= vn-1 + α vn-2 + α 2vn-3 + …+ α n-2v1 + α n-1u1
= β n-2v1 + α β n-3v1 + α 2 β n-4v1 + …+ α n-2v1 + α n-1u1
= ( α n-2 + α n-2 + …+ α n-2)v1 + α n-1u1
(n-1) số hạng
= (n – 1) α n-2 (b – α a ) + α n-1u1 = (n – 1) α n-2 (b – α a ) + α n-1.a
= (n – 1)b. α n-1 + (n – 2)a. α n-1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là
u − β u1 n−1 α u1 − u2 n−1
un = 2
α +
β (nếu α ≠ β )
α −β
α −β
un = (n – 1)b. α n-1 + (n – 2)a. α n-1 (nếu α = β )
α + β = p
với α , β được xác định bởi 
α .β = q
Bài toán đã được giải quyết.
u1 = 2 , u2 = 6,
∀n ∈ N , n ≥ 2 .
un +1 = 6un − 2un −1

Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) được xác định 

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. suy ra limun [2].

Áp dụng kết quả trên ta có số hạng tổng quát u n = ( 3 + 7 )

n −1

phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề phát triển tư duy sáng tạo. Thực tế qua theo dõi
các đề thi HSG các tỉnh nhiều năm qua cũng thấy có khá nhiều bài toán tương tự.
Ta tiếp tục xét thêm một số ví dụ:
Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn, nếu linh hoạt
biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết được một cách dễ dàng. Ví dụ sau cho
thấy rõ điều đó.
n

Trang 8

n


u1 = 1; u2 = 1
Ví dụ 1.3. Cho dãy số (un) thỏa mãn: 
với n ∈ N , n > 1 .Hãy tìm
u
−
2
u
+
u
=
1
 n +1
n
n −1
lim
u
số hạng tổng quát của dãy số đó? Từ đó tìm

un +1 = 3un + 8un + 1
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số [7].
Hướng dẫn
2
Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un = 8un2 + 1 ⇔ (un+1 – 3un)2 = 8un + 1

⇔ un2+1 + un2 = 6un .un +1 + 1 (1)

Do đó ta cũng có

un2 + un2−1 = 6un −1.un + 1

(2)

Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: un2+1 − un2−1 = 6un (un +1 − un −1 ) ⇔ un+1 + un-1 = 6un
(vì un +1 > 3un = 9un −1 + 3 8un −1 + 1 > un −1 suy ra un+1 - un-1 >0)
u1 = 1; u2 = 6
Do đó bài toán đã cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định 
với
un +1 = 6un − un−1
n ∈ N , n > 1 .Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?
(3 + 8) n − (3 − 8) n
Đs: un=
2 8
Bài tập vận dụng
u1 = 3
Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định 
. Đặt Sn= u1+u2+… +un,
2un+1 = un + 1, ∀n ≥ 1
a) CMR dãy số (vn) với vn = un –1 , n ≥ 1 là một cấp số nhân lùi vô hạn.

22 n 3

u1 = 1

1
Bài 1.4. Cho dãy số (un) xác định bởi 
.Tính limun [8].
un+1 = un + n(n + 1) , ∀n ≥ 1

ĐS: limun = 2.
u1 = 1 , u2 = 2,

∀n ∈ N , n ≥ 2 .Tính limun
Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định như sau 
1
un +1 = 3 (un + 2un −1 )

[8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999).
14
ĐS: lim un = .
5

u1 = 1; u2 = 2

Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định như sau 
∀n ∈ N * . Tính limun [7].
1
un +1 = 2 (un + un −1 )
ĐS


(Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD: un = 2 cos

u .u ....u
π
2
, ∀n và lim 1 2 n n =
n +1
2
2
π

2.3.2. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
*Nhận xét: Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả với các bài toán mà việc tìm
công thức tổng quát của dãy số gặp khó khăn.
Sau đây ta xét một số ví dụ.
u1 = 2
u
Ví dụ 2.1. Cho dãy số ( n ) xác định bởi 
. Tính lim un
u
=
2
+
u
,
∀
n
≥

),
(
y
)
Chứng minh rằng các dãy số n n có giới hạn và lim xn = lim yn [5].
x1 = a > 0, y1 = b > 0, xn+1 = xn yn , yn+1 =

Nhận xét: Dựa vào dữ kiện đề bài tìm số hạng tổng quát của hai dãy số ( xn ), ( yn ) là
rất khó khăn.
Giải
Trang 11


Ta xét hai trường hợp sau:
(i) Nếu a ≥ b thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy ( xn ) là dãy giảm bị chặn dưới bởi
a , còn dãy ( yn ) là dãy tăng bị chặn trên bởi a . Do đó theo định lý tồn tại lim xn , lim yn
và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được lim xn = lim yn .
(ii) Nếu a ≤ b tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 2.3. Cho dãy số ( xn ) được xác định x1 = 1, x2 = 2, xn+2 = xn+1 + xn , ∀n ∈ ¥ * .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó [5].
Hướng dẫn
Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được ( xn ) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó
theo định lý ta có tồn tại lim xn = a . Từ đẳng thức xn+ 2 = xn+1 + xn chuyển qua giới
hạn ta được a = 2 a nhưng do a > 0 nên chỉ lấy a = 4 . Vậy lim an = 4 .
u1 = 2017
u
Ví dụ 2.4. Cho dãy số ( n ) xác định bởi  2
.Chứng
un − 2un .un+1 + 2018 = 0 , ∀n ≥ 1
minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.

= )
(vì un ≥ 2018, ∀n ≥ 1 ⇒
2un 2 2.2018 2
Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0 < a ≤ 2017

2018 , do đó dãy (un) có giới hạn hữu

un 2 + 2018
un 2 + 2018
a 2 + 2018
⇒ lim un+1 = lim
⇒a=
Và ta có un+1 =
2un
2un
2a
⇒ a 2 = 2018 ⇒ a = 2018 . Vậy lim un = 2018 .
u1 = 30
un+1
Ví dụ 2.5. Cho dãy số ( un )xác định 
.Tính
lim
2
un
un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ 1
( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8].
Hướng dẫn
Trang 12


2017

u u
u
( 1 + 1 + ..... + n ) (Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011).
u2 u 2
un+1
Hướng dẫn
un 2
* Ta có un+1 − un =
> 0, ∀n ≥ 1(*) ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ 1 , do đó dãy (un) là dãy số
2017
tăng.
* Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a (
a ≥ 1 ).
u2
a2
Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un+1 = lim( n + un ) . Hay a =
+ a ⇒ a = 0 (vô
2017
2017
lý). Vậy: lim un = +∞ .
un
1
1
un+1 − un
un 2
= 2017( −
)
2017.

u1 u1
u
+ + ..... + n ) = 2017 .
u2 u2
un+1

Bài tập vận dụng
1
4

Bài 2.1. Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn 0 < xn < 1, xn +1 ( 1 − xn ) > .Chứng minh dãy số trên
có giới hạn và tìm giới hạn đó [6].
Trang 13


ĐS: lim un =

1
.
2

u1 > 0

1
a
Bài 2.2. Cho dãy ( un ) xác định 
(với a >0). Tính lim un .
u
=
(2

, ∀n ≥ 1
 n+1
2
n
1
dãy số yn = nlim
∑
2 có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó[8].
→+∞
k =1 uk
ĐS: limyn= 6.
u1 > 0

1
a
Bài 2.4. Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
(a > 0).Tính limun
u
=
(
u
+
),
∀
n
≥
1
n
+
1

, ∀n ≥ 1
k =1 uk − 1
un+1 =
u
n

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5].
n
u1 = 2016
1
Bài 2.7. Cho dãy ( un ) xác định 
.Tính nlim
[4].
∑
2
→+∞
u
+
1
u
=
u
(
u
+
1)
,
∀
n
≥



Bài 2.9. Cho số thực a .Cho dãy số ( xn ), n ∈ ¥ * được xác định bởi: x0 = a và
xn +1 = xn + sin xn . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tính
giới hạn đó [8].
1
u1 = 1
ui2016
Bài 2.10. Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
. Tính lim ∑
.
2017
1 ui +1
un+1 = un + un , ∀n ≥ 1

ui2016
ĐS: lim ∑
=1.
1 ui +1
1

2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách sử dụng định lý về nguyên lý kẹp
Ta xét một số ví dụ
1

u
=
1


4

1
1
1
. Thật vậy, ta có uk ≤ ⇒ uk 2 ≤ uk
4
4
4
3
3 1 3
1
1
3
3 1
1
và uk ≤ . = . Do đó uk +1 ≤ uk + uk = uk ≤ < . Vậy 0 ≤ un ≤ , ∀n
4
4 4 16
4
2
4
16 4
4
un +1
1 1 1 3
b) Từ câu a) suy ra u = un + 2 ≤ 4 + 2 = 4 , ∀n
n

Giả sử uk ≤ , ∀k ≥ 1 , ta chứng minh uk +1 ≤

xn [8].
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm lim
n →∞
Giải
1
, ∀n ≥ 3 .
2n
Thật vậy: ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với n = 3 .
1
Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 3 , tức là xn − 2 < n . Khi đó ta có
2
1
1
1
1 1
1
xn+1 − 2 = xn − 2 2 − 2 − xn ≤ xn − 2
2 − xn + 2 − 2 2 < xn − 2

1

1

n +1
Từ hệ thức truy hồi ta có u = n + 1 ≤ 2 , ∀n ≥ 1 .
n
n

u u
u
1 1
1 1 1
b) Từ câu a) ta có 0 < un = n . n −1 ....... 2 .u1 ≤ . ..... . =  ÷ , ∀n ≥ 1
un −1 un − 2
u1
2 2
2 2 2
n

1
Mà lim  ÷ = 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0.
2

u1 = a

Ví dụ 3.4. Cho dãy số (un) xác định bởi u = un + 1 − 1, ∀n ≥ 1 (– 1 < a < 0).
 n+1
un 2 + 1



1
a2 + 1

1
un 2 + 1

≤

1
a2 + 1

(un + 1), ∀n ≥ 1

n −1

n −1

 1 
 1 
⇒ 0 < un + 1 ≤ .... ≤ 
(u1 + 1), ∀n ≥ 1 Hay −1 < un ≤ 
÷
÷ .(a + 1) − 1
2
2
 a +1 
 a +1 
n −1


.
1
u
=
u
+
,
∀
n
≥
1
 n+1
n
2n

1
a) Chứng minh rằng un+1 − un < n+1 , ∀n ≥ 1 .
2
b) Tính lim un . (Đề thi HSG Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) [8].
ĐS: lim un =2.
1

u0 = 2
Bài 3.3. Cho dãy số (un) xác định bởi 
.
u = u + 1 u 2 , ∀k = 0, n − 1
k
k
 k +1
n

ĐS: lim un =1 − 3 .
Bài 3.6. Chứng minh rằng lim n n = 1 .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
• Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối
tượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
• Đề tài đã đưa ra được ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số
được cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa
cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi.
• Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp
cũng như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.
• Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn
dắt học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em
khả năng làm việc độc lập, phát triển tư duy sáng tạo, phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới của
Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ
môn Toán.
• Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11 ,được
học sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và
giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn các
phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ để
giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp sau khi áp
dụng sáng kiến này vào giảng dạy, đánh giá qua bài kiểm tra thu được kết quả như
sau :

Lớp
Năm



7

17,1 %

22

53,6 %

12

29,3 %

44

31

70,4%

8

18,2%

5

11,4 %

III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu và
đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một