SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT KỲ SƠN

Đề tài:
TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI
VÀ ỨNG DỤNG

Giaùo vieân

: Traàn Thanh

Vaân
Toå
Ñt

: Toaùn
: 0979057900

Năm học 2014 – 2015


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

MỤC LỤC

MỤC LỤC.............................................................................................................1
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................2
Phần 2: NỘI DUNG ............................................................................................3
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .....................................................................................3
I. DÃY SỐ ............................................................................................................3

cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối
với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác
giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình
giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số.
Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm
cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng
các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy
số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của
một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ
thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.
Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài
toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.
Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung. Tuy
nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên
trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo
logic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp
học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

3


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Phần 2
NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

3. Tính chất của dãy số.
-

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un< un+1.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un> un+1.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: .
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: .
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới,
nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : .
Chú ý :

- Dãy số (un) tăng
- Dãy số (un) giảm

4. Giới hạn của dãy số.
a. Dãy số có giới hạn 0.
-

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước,
mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết :

lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc
limun = 0 .

- Định lí 1: Cho hai dãy số (un) và (vn)

- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó. Khi
đó ta viết:
lim(un) = hoặc limun = hoặc
- Định lí 5: Nếu
5. Các tổng đặc biệt.

II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.
1. Cấp số cộng
a. Định nghĩa: Dãy số (un) xác định bởi
(a, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.
- a là số hạng đầu tiên.
- d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và
gọi là dãy số không đổi.
b. Các tính chất:
Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) nếu:

Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức:

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn) của cấp số cộng (un) được
cho bởi công thức :

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

6


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”


trước và cũng không dự đoán được công thức số hạng tổng quát thì phương pháp
trên không khả thi.
Vì vậy, phần này sẽ xây dựng cách xác định công thức tổng quát của một
số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi đặc biệt (các bài toán về dãy số chủ yếu được
cho bởi hệ thức truy hồi dạng này) dựa vào các kiến thức đã biết về cấp số cộng,
cấp số nhân và đặc biệt là cách lựa chọn các dãy số phụ thích hợp.
1. Các ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta thấy dãy số (un) là một cấp số cộng, với u1 = 3, công sai d = 2.
Áp dụng kết quả (2) ta có un = 3 + (n-1)2 = 2n + 1
Vậy un = 2n + 1 .
Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta thấy dãy số (un) là một cấp số nhân, với u1 = -2, công bội q = 3.
Áp dụng kết quả (4) ta có un = -2.3n-1
Vậy un = -2.3n-1.
2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Ở phần 1 ta thấy việc xác định số hạng tổng quát của các dãy số đã cho là
khá đơn giản khi áp dụng trực tiếp các kết quả đã có về cấp số cộng và cấp số
nhân. Tuy nhiên thực tế các bài toán chúng ta gặp hầu hết đều không đơn giản
như thế, chẳng hạn dãy số :
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

8


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”


- Nếu a = 1 thì (un) là cấp số cộng với công sai d = b, nên ta có un= + (n-1)b.
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

9


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

- Nếu , ta gọi (vn) là dãy số có các số hạng thỏa mãn un = vn + c, thay vào hệ thức
truy hồi ta có vn = avn-1 + (a-1)c + b.
+ Ta chọn c sao cho (a-1)c + b = 0 hay
+ Khi đó (vn) là một cấp số nhân với công bội q = a, số hạng đầu v1=u1 - c, tức là
v1 = .
Do đó số hạng tổng quát

Suy ra

Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 1 : Dãy số (un) cho bởi (a, b là các số thực khác 0) có số hạng tổng
quát như sau:

Như vậy ta đã giải quyết xong trường hợp b trong biểu thức truy hồi đi kèm là
hằng số, sau đây ta sẽ xét một dãy số mà b là một biểu thức f(n).
Ví dụ 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Với tư tưởng như ở ví dụ 3. Để tìm số hạng tổng quát của dãy số trên ta sẽ tìm
cách làm mất đi « 3n-2 », và đưa dãy số đã cho về cấp số nhân.
Muốn vậy ta gọi (vn) là dãy số thỏa mãn un = vn + an + b.

Nếu a = 1 thì có bậc nhỏ hơn k (là bậc của f(n)), do đó ta chọn g(n) là
một đa thức bậc k+1, và để đơn giản ta chọn hệ số tự do bằng không. Để
xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ số của đa thức bằng 0.
Nếu thì có bậc k cùng bậc với f(n), do đó ta chọn g(n) là một đa thức bậc
k. Để xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ số của đa thức bằng
0.

*) Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 2 : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với f(n) đa là một đa thức bậc k, a và là hằng số, ta làm như sau:
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn, un = vn + g(n), từ đó suy ra .
Ta có được un = [u1 – g(1)]an-1 + g(n).
Chú ý: Nếu a = 1 thì ta chọn g(n) là đa thức bậc k + 1 có hệ số tự do bằng 0,
còn nếu thì chọn g(n) là đa thức bậc k.

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

11


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Ta vận dụng kết quả trên để tìm số hạng tổng quát của dãy số sau đây.
Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có hệ số a = 1.
Theo kết quả trên ta có un = u1 – g(1) + g(n), với g(n) = an2 + bn là một đa thức
bậc 2 có hệ số tự do bằng 0, thỏa mãn


Trường hợp ta phân tích , khi đó ta có
.
.
Vậy ta có kết quả sau :
Dạng 3 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x0 và là hằng số:
-

Nếu
Nếu ta gọi gọi (vn) là một dãy số thỏa mãn un = vn+ .

Chọn k sao cho .
Ta được

Từ Dạng 3 ta có thể xây dựng cách tìm số hạng tổng quát của dãy số ở dạng sau:
Dạng 4 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :
Với a, b, c, x0, là hằng số
Ở trên ta đã nghiên cứu cách xác định số hạng tổng quát của một số dãy số cho
bởi hệ thức truy hồi ở dạng un = f(un-1). Sau đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp
để tìm số hạng tổng quát của một vài dạng dãy số mà un = f(un-1, un-2).
Ví dụ 7: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn .
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

13




14


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Theo Dạng 3 ta có

Chú ý : Với cách làm tương tự kết hợp cả Dạng 3, 4, 5 ta sẽ xây dựng được
phương pháp tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho ở dạng sau :
Dạng 6 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x1 và x2 là hằng số và , f(n) là một đa thức ẩn n.
Dạng 7 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x1, x2 và là hằng số và , f(n) là một đa thức ẩn n.
Các Dạng toán trên ta đã tìm được số hạng tổng quát của các dãy số mà hệ thức
truy hồi là một biểu thức tuyến tính. Sau đây ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãy
số mà hệ thức truy hồi ở dạng phi tuyến với hệ số hằng đơn giản.
Ta xét một vài ví dụ như sau :
Ví dụ 9: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có

Đặt thì dãy số xác định bởi :

Từ đó theo Dạng 1 ta dễ dàng có được .
Vậy

Ví dụ 10: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:


16


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Dạng 8: Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với , a, b, p và q là hằng số, ta làm như sau:
-

Đặt , ta có :

-

Ta chọn sao cho .
Khi đó ta có :

-

Từ đây đặt , tìm được (xn) suy ra (vn) và có được (un).

II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ.
Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau xem xét một số ứng dụng rất hiệu
quả của bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Tính giới hạn của dãy số,
chứng minh tính bị chặn, tính đơn điệu của dãy số, tính tổng của một dãy số, …
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi :

Tính limun
Giải
Đặt vn = un - thì dễ dàng chứng minh được dãy số (vn) là một cấp số nhân xác

Tính

Giải
Ta có:

Đặt , ta có (vn) là dãy số xác định bởi :

Sử dụng cách giải bài toán ở Dạng 2 ta tìm được

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

18


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Vậy

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:

Số 16385 có nằm trong dãy (un) không? Nếu có thì dó là số hạng thứ mấy?
Giải
Ta có

Đặt , thì là dãy số xác định bởi , tức là một cấp số nhân do đó số hạng tổng quát
cảu nó là .
Khi đó dãy số xác định bởi:

Từ đó tìm được số hạng tổng quát của là:
Xét

b) Tính tổng
(HSG Long An 2011)
Giải
a) Từ hệ thức truy hồi ta có
Đặt , thì là dãy số xác định bởi :

Từ đó dễ dàng tìm được .
Vậy ta có
b) Ta có:

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi:

Tính limun.
(HSG - TP HCM 2012-2013)
Giải
Đặt , ta có
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

20


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Chọn t sao cho
Khi đó ( là dãy số xác định bởi :

Từ (*) ta có :

Đặt , thì là dãy số xác định bởi :


xác định bởi

u1 = 4


1
un+1 = 9 un + 4 + 4 1 + 2un

(

Tìm công thức số hạng tổng quát

un

)

∀n ∈ N *
.

của dãy số.
(HSG Thái Nguyên 2011 – 2012)
Giải

Đặt

xn = 1 + 2un ∀n ∈ N *

Ta có

xn ≥ 0


)

3n+1 xn +1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N *
yn = 3n xn , ∀n ∈ N *

Từ đó
Hay

3xn+1 = xn + 4 ∀n ∈ N *

2

. Ta có:

yn +1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N *

yn+1 = y1 + 4 ( 3n + 3n−1 + ..... + 3) , ∀n ∈ N *

yn +1 = y1 − 6 + 2.3n+1 , ∀n ∈ N *

Theo cách đặt ta có:

x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3n

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

.
22



a)

c)

e)

g)

i)

u1 = 1

*
un +1 = 3un + 2(n ∈ N )
u1 = 2

*
un +1 = un + 2n + 1( n ∈ N )
u1 = 12

*
un +1 = 5un − 2n + 9(n ∈ N )
u1 = 2

n
*
un +1 = 4un + 3 (n ∈ N )

j)

u1 = 1; u2 = 5

*
un + 2 = 5un +1 − 6un (n ∈ N )

u1 = u2 = 1


un − 2un −1 + un− 2 = 2; ∀n ≥ 3

Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un).
b) Chứng minh rằng có thể biểu diễn thành tổng của ba số tự nhiên liên tiếp

với .

Bài 3:Cho dãy số (un) xác định bởi:
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un).
b) Tìm các giá trị của n để .

Bài 4: (Đề thi OLYPIC 30 - 4 Toán 11 Lần thứ VIII - 2002)
Cho dãy số (un) xác định bởi:

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

24


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

xác định như sau
 xn+ 2 + 8.xn +1 + 9.xn = 0

 x0 = 2, x1 = −8

Tính giá trị của biểu thức
Bài 7: Cho dãy số

(u )
n

A = x2006 − 5.x2007 + 4

thoả mãn điều kiện

un+ 2 − 2.un +1 + un = 2
n∈ N

u0 = 1, u1 = 0

Chứng minh rằng

un

n∈ N

( n ≥ 2)

là một số chính phương.