GV: Phạm Thị Thu Huyền

CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29; 41;55;.....
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải:
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt:

uk  uk 1  uk

 2uk  uk 1  uk

 3uk   2uk 1   2uk

……..
Ta lập bảng các giá trị uk ,  2uk , 3uk ..... nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng
lại, sau đó kết luận un là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó.
Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu:

uk
uk
 uk
2

1



2

41
12

2

55
14

2

Ta thấy hàng của  2uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:
un  an 2  bn  c  a  0  (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm a, b, c như sau:
Cho n  1; 2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:
a  b  c  1
a  1


2
4a  2b  c  1  b  5  un  n  5n  5
9a  3b  c  1
c  5



Số hạng tiếp theo u11  71
Ví dụ 1.2: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 5; 3;11; 43;99;185;307; 471;....

18

6

56
24

185
86

30

6

6

307
122

36
6

471
164

42
6

Ta thấy hàng của 3uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:
un  an3  bn 2  cn  d  a  0  (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.

Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số
(Đs: un  6n  2 )
1) 8;14; 20; 26;32;.....
3
15
n7)
2
2
(Đs: un  3n 2  4n  2 )

2) 1; 2; 2;1;7;16; 28; 43;61;...

(Đs: un  n 2 

3) 1;6;17;34;57;86;121;.....
2


GV: Phạm Thị Thu Huyền

3
7
2
2
3
5
(Đs: un  n 2  n  4 )
2
2
5 2 17

 Trường hợp 2: Nếu q  1  

  un  là cấp số cộng với số hạng đầu u1  a và công sai bằng d
 un  a   n  1 d

u1  a
un 1  qun , n  1

 Trường hợp 3: Nếu d  0  

  un  là cấp số nhân với số hạng đầu u1  a và công bội bằng q

 un  a.q n 1

 Trường hợp 4: Nếu q  0, q  1, d  0 . Đặt dãy  vn  sao cho un  vn 

d
(1)
1 q

Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:

d
d 
 q  vn 
d
1 q
1 q 

 vn 1  qvn , n  1

1 q 
1 q 
1 q

Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết:
u1  1
un 1  un  3, n  1

(Đs: un  3n  4 )

u1  1
un 1  2un  3, n  1

(Đs: un  4.2n 1  3 )

1) 
2) 

Giải:
u1  1
un 1  un  3, n  1

1) 

Vì un 1  un  3 , n  1
  un  là một cấp số cộng với số hạng đầu u1  1 và công sai d  3
 un  u1   n  1 d  1  3  n  1  3n  4
u1  1
un 1  2un  3, n  1



GV: Phạm Thị Thu Huyền

……..

un  un 1  3

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:

u1  u2  u3  ......  un  1  u1  u2  u3  .....  u n 1 3(n  1)
 un  1  3  n  1

 un  3n  4

Cách 3:
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy  un  là:
1; 2;;5;8;11;14;17;....
uk

uk

-1

2
3

5
3

8

un 1  2un , n  1

(Đs: un  2n 1.3 )

u1  1
un 1  2un  1, n  1

(Đs: un  1 )

1) 
2) 
3) 

5

u1  4
4) 
u  2u  3 , n  1
n
 n 1
4
u1  1

5) 
1
un 1  2un  3 , n  1

(Đs: u n 

2n  3

với q, c, d  R và q, c  0
un 1  qun  cn  d , n  1

LOẠI 2.1: 
GIẢI:

u1  a
un 1  un  cn  d

 Trường hợp 1: Nếu q  1  
Cách 1:
Ta có:

u1  a
u2  u1  c.1  d
u3  u2  c.2  d
u4  u3  c.3  d

………….

un  un 1  c.  n  1  d

Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được:
un  a  c.1  c.2  c.3  ......  c.  n  1   n  1 d  a 

cn  n  1
2

  n  1 d


 qvn  d ',
n
 n 1
1 q
vn 1 

có DẠNG 1

6


GV: Phạm Thị Thu Huyền

Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết:
u  5
1)  1
un 1  un  3n  2, n  1

3n 2  7n  14
(Đs: un 
)
2

u1  11
un 1  10un  1  9n, n  1

(Đs: un  10n  n )

u1  1
un 1  3un  6n  1


 2  n  1 

3n 2  7n  14
2

Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số  un  là:
5;6;10;17; 27; 40;56;75;.....
uk
uk
 2 uk

5

6
1

10
4

3

17
7

3

27
10


7


4a  2b  c  6  b  
2
9a  3b  c  10


c  7


3
7
3n 2  7n  14
 un  n 2  n  7 
2
2
2
u1  11
un 1  10un  1  9n, n  1

2) 

Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  n, n  1
Thay vào công thức truy hồi ta được:
vn 1  n  1  10  vn  n   1  9n

 vn 1  10vn




GV: Phạm Thị Thu Huyền

u1  99
un 1  un  2n  1, n  1

(Đs: un  100  n 2 )

1) 

 n  n  1 
(Đs: un  1  1  2  ...   n  1  
 )
2


2

u1  1
2) 
3
un 1  un  n , n  1
u1  1
2
un 1  un  2n , n  1

3) 

3


ta có thể làm bằng phương

pháp sau:
u1  a
Ta có:
u2  u1  rc1
u3  u2  rc 2
u4  u3  rc3

………………..
un  un 1  rc n 1

Cộng vế với vế ta được:
un  a  (c  c  c  ....  c
2

3

n 1

)r  a 





c c n 1  1 r
c 1


  vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1 

rc
rc
và công bội
a
cq
cq

bằng q

rc  n 1
 vn   a 
q
cq

rc n 
rc  n 1 rc n
 un  vn 
 a 
q 
cq 
cq
cq

u1  a
n
un  qvn  rq , n  1

 Trường hợp 3: Nếu c  q  

Cách 1:
Ta có:

u1  1
u2  u1 

1
2

1
u3  u2   
2

2

1
u4  u3   
2

3

…………
1
un  un 1   
2

u1 a
r

và công sai d 


 2 
un  1      .....    
1
2 2
2
2
1
2

Cách 2:
n

Đặt dãy số  vn 

1
n
 
2
1

sao cho: un  vn 
 vn  2.   thay vào công thức truy hồi ta
1
2

2

được:
1

2
2

n 1

Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số  un  với:
u1  8
n
un 1  2un  3 , n  1

(Đs: un  5.2n1  3n )

u1  1
n
un 1  5un  3 , n  1

(Đs: un 

u1  101
n 1
un 1  7un  7 , n  1

(Đs: un  n.7 n  94.7 n 1 )

4) 

u1  1
n
un 1  2un  6.2 , n  1



GV: Phạm Thị Thu Huyền

u1  8
n
un 1  2un  3 , n  1

1) 

Đặt un  vn  3n , n  1 thay vào công thức truy hội của dãy  un  ta được:
vn 1  3n 1  2  vn  3n   3n

 vn 1  2vn

  vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  3  5 và công bội q  2

 vn  5.2n 1
 un  5.2n 1  3n
u1  1
n
un 1  5un  3 , n  1

2) 

3n
thay vào công thức truy hồi ta được
2

3n 1
3n  n



Đặt un  7 n vn thay vào công thức truy hồi ta được
7 n 1 vn 1  7.7 n vn  7 n 1
 vn 1  vn  1
  vn  là một cấp số cộng với số hạng đầu v1 

101
94
 n 1  n 
7
7
n
n 1
 un  n.7  94.7

 vn 

12

u1 101
và công sai d  1

7
7


GV: Phạm Thị Thu Huyền

u1  1

un 1  un  2n.3 , n  1

5) 

Đặt un  3n vn , n  1 thay vào biểu thức truy hồi của dãy  un  ta được
3n 1 vn 1  3n vn  2n.3n
1
2
 vn 1  vn  n
3
3
u1

v1  2  0
 dãy  vn  xác định bởi 
v  1 v  2 n, n  1
 n 1 3 n 3
Đặt vn  yn  n thay vào công thức truy hồi của dãy  vn  ta được
yn 1  n  1 
 yn 1 

1
2
 yn  n   n
3
3

1
yn  1
3

3

………………….
3  3n 1
 n.3n
2

 un 

LOẠI 2.3: Cho dãy số  un 

u1  a

xác định bởi: 
cun
un 1  q  du , n  1
n


GIẢI:
Đặt dãy số  vn  sao cho: un 
1
vn 1

c
vn



q


u1  a

xác định bởi: 
b  cun
un 1  p  ru , n  1
n


GIẢI:
Đặt un  vn   , n  1 thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được
b  c  vn   
vn 1   
p  r  vn   
 vn 1 

b  c  cvn   p   rvn   2
p  r  vn   

14


GV: Phạm Thị Thu Huyền
  2    p  c    b    c  r  vn
 vn 1 
 p  r   rvn

 vn  trở về loại 2.3, ta chọn
 2   r  c    b  0



(Đs: un 

1

u1  2
3) 
un 1  1
2  un

u1  1

4) 
1  4un
un 1  1  6u , n  1
n


(Đs: un 

(Đs: un 

Bài giải:
u1`  1

1) 
un
un 1  1  u , n  1
n



1
2

n 2

6



1
)
2


GV: Phạm Thị Thu Huyền
1
vn 1 1  vn
 vn 1  vn  1


1



Dãy  vn  là cấp số cộng có số hạng đầu v1 
 vn  v1   n  1 d  1  n  1  n

 un 


Đặt vn  yn  1 thay vào dãy  vn  ta được:
yn 1  1  2  yn  1  1

 yn 1  2 yn
  yn  là một cấp số nhân với số hạng đầu y1  v1  1 

1
3
 1  và công bội q  2
u1
2

3
 yn  .2n 1  3.2n  2
2
 vn  yn  1  3.2n 2  1
1
 un 
n2
3.2  1
1

u1  2
3) 
un 1  1
2  un

Đặt dãy số  vn  sao cho: un  vn   thay vào dãy  un  ta được:

vn 1   

1
1


yn 1 yn  1
 yn 1  yn  1
  yn  là cấp số cộng có số hạng đầu y1 
 yn  2   n  1 1   n  1

 vn 

1
1

 2 và công sai d  1
v1 u1  1

1
1

yn
n 1

 un  vn  1  1 

1
n

n 1 n 1



2
1

Khi đó un  vn  và dãy số  vn  được xác định bởi 
vn
2
vn 1 
2  6vn

1
Đặt dãy số  yn  sao cho vn 
thay vào công thức truy hồi của dãy  vn  ta được:
yn

=> chọn  

17


GV: Phạm Thị Thu Huyền
1
yn

1

yn 1 2  6
yn
1
1

u1  1

1) 
2un  2
un 1  3u  1 , n  1
n

u1  0

2) 
un
un 1  2u  1 , n  1
n


2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức
truy hồi:
Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT
Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy
số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức
của số hạng tổng quát hay không?
Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị uk của một dãy số
cho bởi biểu thức truy hồi
18


GV: Phạm Thị Thu Huyền
u1  1
. Tính u8 ?
un 1  un  3, n  1

u  u  2u , n  1
n
n 1
 n 2

Bài giải:
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2
biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau:
2 SHIFT STO A
-1 SHIFT STO B
2 SHIFT STO D
D  D  1: A  B  2 A : D  D  1: B  A  2 B

CACL = = = ….=
Cho đến khi D  D  1  7 bấm tiếp dấu “=” nữa ta được u7  23

19


GV: Phạm Thị Thu Huyền

Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công
thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi
khi bài toán yêu cầu tìm uk với k hơi lớn (VD: u40 , u45 )
Bài tập áp dụng:
u1  2

Bài 1: Cho dãy số  un  xác định bởi: 
. Số hạng u4 của dãy số là:
un  1

n
xác định bởi 
Công thức của số hạng tổng
1
un 1  un    , n  1
2


quát un là:
2n 1  1
2n
2n 1  1
D. un  n 1
2

2n  1
2n 1
2n  3
C. un  n
2

A. un 

B. un 

Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án
Quy trình bấm như sau:
MODE 7

F  x   x 2  3x  1

Cách 1:
Ta có:

u1  1

 1
u2  u1    
 2
 1
u3  u2    
 2

2

 1
u4  u3    
 2

2

………………..
 1
un  un 1    
 2

n 1

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
n


3 2
 1
2

được
2 1
vn 1    
3 2
 vn 1  vn

n 1

n

2 1  1
 vn        
3 2  2

n

  vn  là một dãy số hằng

2 1
1 2
 vn  v1  u1      1  
3 2
3 3
21









Bài giải:
Đặt dãy số  vn  sao cho un  tan vn , thay vào công thức truy hồi ta được:

tan vn 1 

tan vn  tan

1  tan



8

.tan vn
8


 tan vn 1  tan  vn  
8


=> chọn vn 1  vn 




22


3

và công sai d 


8


GV: Phạm Thị Thu Huyền

23