SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ”

1


ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần
quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng
toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số
hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công
thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “
và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phƣơng trình sai phân “ qua một số chuyên đề
mà bản thân tác giả đã được học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức
tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài
giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu
học sinh và đồng nghiệm tham khảo
Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của „ Lý thuyết
phƣơng trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại
chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực .
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy
số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm
cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có
thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình
bày trong đề tài


u1   , aun1  bun  f n , n  N *

(2 .1)

trong đó f n là đa thức theo n
Phƣơng pháp giải

3

1
2

Do đó


Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  Ta có un  un0  un* Trong đó
un0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và u n* là nghiệm riêng tuỳ ý của phương

trình không thuần nhất (2.1) Vậy un0  q. n q là hằng số sẽ được xác định sau
Ta xác định u n* như sau :
1) Nếu  #1 thì u n* là đa thức cùng bậc với f n
2) Nếu  1 thì un*  n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n
Thay u n* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của u n*
Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1  2; un1  un  2n, n  N *

(2.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng   1  0 có nghiệm   1 Ta có un  un0  un* trong đó
un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay u n* và phương trình (2.2) ta được

thì un*  A. n

2) Nếu   

thì un*  A.n. n

Thay u n* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của u n* . Biết
u1 , từ hệ thức un  un0  un* , tính được c

Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1  1; un1  3.un  2n , n  N *

(3.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng   3  0 có nghiệm   3 Ta có un  un0  un* trong đó
un0  c.3n , un*  a.2n

Thay un*  a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu được
a.2n 1  3a.2n  2n  2a  3a  1  a  1

Suy ra un  2n Do đó un  c.3n  2n vì u1  1 nên c=1 Vậy un  3n  2n
Dạng 4
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1   , a.un1  bun  f1n  f 2 n , n  N *

(4.1)

Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n  v. n
Phƣơng pháp giải
Ta có un  un0  u1*n  u2*n Trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần


 b  2
a  b  c  4
2a  2b  c  9 c  3



Vậy u1*n  n2  2n  3 thay u2n* vào phương trình un1  2.un  3.2n Ta được
A  n  1 2n 1  2 An.2 n  3.2 n  2 A  n  1  2 An  3  A 

3
2

Vậy
3
u2*n  n.2 n  3n.2 n 1
2

Do đó un  c.2n   n2  2n  3  3n.2n1 . Ta có u1  1

nên 1  2c  2  3  c  0 Vậy

un  3n.2n1  n 2  2n  3

B. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng
u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N *

trong đó a,b,c,  ,  là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước


u0  1  A
A 1


u1  1  B  .4  16  B  3

Vậy un  1  3n .4n
Dạng 2
Tìm un thoả mãn điều kiện

7


u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  f n , n  2, (6.1)

trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trước
Phƣơng pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 để tìm  . Khi đó ta có un  un0  un* ,
trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un1  b.un  c.un1  0 và u n*
là một nghiệm tuỳ ý của phương trình
a.un1  b.un  c.un1  f n

Theo dạng 1 ta tìm được un0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , u n* được xác định
như sau :
1) Nếu  #1 thì u n* là đa thức cùng bậc với f n
2) Nếu   1 là nghiệm đơn thì un*  n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n
3) Nếu   1 là nghiệm kép thì un*  n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với f n ,
Thay u n* vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của u n* . Biết u1 , u2
từ hệ thức un  un0  un* tính được A, B
Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện


2

n 1
un*  n2   
6 2

Vậy
Do đó

n 1
un  un0  un*  A  Bn  n 2   
6 2

Mặt khác
1 1

A  4
 A  B  6  2  1



11
1
1


 A  2 B  4     0  B  3

3 2

u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  2

Bài giải Phương trình đặc trưng  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 Ta có un  un0  u1*n
trong đó un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  k.2n
Thay u n* vào phương trình , ta được
k .2n 1  2k .2n  k .2n 1  3.2n  k  6

Vậy un*  6.2n  3.2n1 . Do đó un  un0  un*  A  bn  3.2n1 .

(1) Thay u1  1, u2  0 vào

phương trình ta thu được
1  A  B  12
A  2


0  A  2 B  24  B  13

Vậy
un  2  13n  3.2n1

Dạng 4
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  g n , n  2 (8.1)

trong đó a # 0 , f n là đa thức theo n và g n  v. n
Phƣơng pháp giải
Ta có un  un0  u1*n  u2*n trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
aun1  bun  c.un 1  0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất


un* 

1
 n  1
4

Thay u2n* vào phương trình un1  2un  3un1  2n , ta được
k .2n1  2.k .2n  3.k .2n 1  2n  k  

2
3

Do đó
2
1
u2*n   .2n   .2n1
3
3

Vậy

11


un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n 
n

1
1
 n  1  .2n1 (8.3)


4 3
48

Vậy
un  

61
25
1
1
n
. 1  .3n  . n  1  .2n1
48
48
4
3

C. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng
u1   , u2   , u3   , a.un2  bun1  c.un  d .un1  f n , n  2 (a.1)

trong đó a,b,c, d,  ,  ,  là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực ,
tức là chỉ xét nghiệm thực )
Phƣơng pháp giải
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un  un0  un* ,
trong đó un0 là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, u n* là một nghiệm
riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất

u1  0, u2  1, u3  3, un  7un1  11.un2  5.un3 , n  4 (9.1)

Bài giải

Xét phương trình đặc trưng

 3  7 2  11  5  0

có 3 nghiệm thực
1  2  1, 3  5

Vậy an  c1  c2 n  c3 5n
13


Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
c1  

1
3
1
, c2  , c3 
16
4
16

Vậy an  

1 3
1


Cho n=0, n=1, n=2 ta được
0  c1
c1  0



1  c2  c2  c3
1
3  c  2c  4c
c2  c3  2
1
2
3


14


Ta thu được an 

n  n  1
và từ đó ta có
2

A  4an .an 2  1   n 2  3n  1

2

Điều này chứng tỏ A là một số chính phương

Phương trình đặc trưng của (11.5) là
 2  4  5  0 có nghiệm 1  1, 2  5

Nghiệm tổng quát của (11.1) là
zn   1   5n 
n

15

(11.3)


Ta có
8



 z1    5  39

3


 z2    25  211    25

3

Do đó ta nhận được
8
25
n

Bài 1: Xác định công thức của dãy số  xn  thoả mãn các điều kiện sau
1) x1  11, xn1  10.xn  1  9n , n  N
2) x0  2, x1  8, xn2  8.xn1  9 xn
16


3) x0  1, x1  3, 2. xn2  5 xn1  2 xn  n 2  2n  3
4) x0  0, x1  1, xn1  4 xn  4 xn1  n 2  6n  5
5) x1  1, x2  2, xn2  5 xn1  6 xn  4
Bài 2: Cho dãy số an  thoả mãn điều kiện
an  an1  2.an2

a1  a2  1

n N

 n  3

Chứng minh rằng an là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số bn  xác định bởi
bn  2.bn 1  bn 2

b1  1, b2  2

n N

 n  3
n

5


Chứng minh : k  N , k  1

17


1) uk2  uk21  10uk .uk 1  8
2) 5.uk  uk 1 4 va 3.uk2  1 2
( kí hiệu chia hết )
Bài 6: Cho dãy số un  thoả mãn điều kiện
un 2  2un1  2un  un1 , n  N *

Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M  4.an1an đều là số
chính phương
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)
Cho dãy số ui  ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi
a1  1, a2  1, an  an1  2an2 , n  3,4,...

Tính giá trị của biểu thức
2
2
A  2.a2006
 a2006 .a2007  a2007

Bài 8: Cho dãy số nguyên dương un  thoả mãn điều kiện
u0  20, u1  100, un 2  4.un1  5.un  20, n  N *

Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất
an h  an 1998 , n  N



 x0  2, x1  8

n N

Xác định công thức của dãy số xn
Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau
 xn 2  8.xn 1  9.xn  0

 x0  2, x1  8

n N

Tính giá trị của biểu thức A  x2006  5.x2007  4
Ví dụ 2:

Xuất phát từ phương trình

   1

2

 0   2  2  1  0

(12.2)

phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật.
Chẳng hạn dãy số un được xác định theo công thức sau
un 2  2.un1  un  2


Xác định số tự nhiên n sao cho
xn1  xn  22685

20


KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự
tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết
quả nhất định sau :
1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận
dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số
2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình
bày trong đề tài để giải bài toán
3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số
Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội
và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử
dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là
một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn
về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phƣơng pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta
có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học
Quốc Gia Hà Nội 2004
2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục