1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do lựa chọn đề tài
Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa
học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào
từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh
phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh,
học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Hàm số, tiếp tuyến là một trong những vấn đề chính của chương trình Giải
tích lớp 12. Đây là các khái niệm cơ bản và rất quan trọng của giải tích có nhiều
ứng dụng trong giải toán. Trong những năm gần đây, các bài toán về tiếp tuyến
của đường hypebol vẫn thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học,
Cao đẳng, Trung học phổ thông quốc gia và thi chọn học sinh giỏi. Trên thực tế,
đứng trước một bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol, nhiều học sinh còn
bối rối trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp và chưa nhìn thấy được mối
liên hệ hữu cơ giữa các lớp bài toán, chưa sáng tạo trong phát hiện và giải quyết
vấn đề. Do đó, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm: Rèn luyện tư duy
sáng tạo của học sinh thông qua các bài toán về tiếp tuyến của đường
Hypebol.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sáng kiến này nhằm giúp học sinh thấy được mối liên hệ hữu
cơ giữa các bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol, từ đó có cái nhìn tổng
quát, tự tin, sáng tạo hơn trong giải các bài toán liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Trong phạm vi sáng kiến này, tôi tiến hành nghiên cứu, tổng kết một số dạng
toán về tiếp tuyến của đường hypebol.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1




Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có
hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người
phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong
thời đại mới.
2.2.2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói
cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao
nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình.
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi
chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong
học tập và phải thường xuyên được luyện tập.
- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện
tượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên
trong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu
cho học sinh.
2.3.3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng
tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất
dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài. Chính vì thế nội dung
chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền
đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể
xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua
những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là
chủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo. Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt

được bài tập liên quan đến các tiếp tuyến củ đường hypebol.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề
4


Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp như sau:
2.3.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
2.3.3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp
tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang
cong)
2.3.4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức:

O

I

x
B

I
A M0

(d2)
(e)

(d2)
(d1)

+ Gọi (H) là đồ thị của 2 hàm số.
+ (d1) là tiệm cận đứng; (d2) là tiệm cận ngang (xiên) của (H).
+ Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (H)
+ Gọi (T) là tiếp tuyến của (H) tại M0.
+ Gọi:
x = d1 ∩ d 2
A = (T ) ∩ ( d1 ); B = (T ) ∩ ( d 2 )

+ Gọi: P là chu vi ∆AIB
S là diện tích của ∆AIB
II. Hướng dẫn học sinh chứng minh một số tính chất đặc trưng của (H)

6


là số không đổi.
+ Xét (H): y = ax + b +

k
d
có 2 đường tiệm cận là (d1): y = − và (d2):
cx + d
c

y = ax + b

+ Gọi M ( x0 , ax0 + b +

d2 =

k
(cx0 + d ) a 2 + 1

cx0 + d
k
) khi đó khoảng cách d1 ( M ; ∆1 ) =
c
cx + d

=> d1d 2 =

k
c a2 + 1

và

)(− − x0 ) + y0 )
2
c
(cx0 + d )
c
d
c

+ Giao điểm của 2 tiệm cận là: I (− ; b −
+ S∆AIB = 2S∆IMA = IA.d ( M ; ∆ 2 ) =
Đối với Hypebol y =

ax + b
cx + d

ad
)
c

2ck + (1 − c)(cb − ad )d
c2

không đổi.

(với c ≠ 0 ) có 2 tiệm cận vuông góc việc

chứng minh 3 tính chất đặc trưng nêu trên dễ dàng hơn.
Từ 3 bài toán cơ bản nêu trên ta hướng dẫn học sinh rút ra các tính chất
khác của Hypebol.
* Từ bài toán cơ bản thứ 2 ta đặt vấn đề để học trò giải quyết:

+ Vậy P nhỏ nhất ⇔ M ≡ M 0
Ta lại áp dụng kết quả 2 bài toán vừa nêu để giải các bài toán sau:
Bài toán 7: Xác định điểm M trên (H) sao cho khoảng cách từ giao điểm I
của 2 đường tiệm cận đến tiếp tuyến của (H) tại M là lớn nhất.
+ Gọi h là khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (T).
1
2

+ Diện tích của ∆IAB là S = AB.h
Do S không đổi, vậy h lớn nhất ⇔ AB nhỏ nhất ⇔ M ≡ M 0
Bài toán 8: Xác định điểm M trên (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M cắt
2 tiệm cận tại A, B sao cho đường tròn nội tiếp ∆IAB có diện tích lớn nhất.
* Hướng dẫn học sinh giải bài toán:
+ Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r khi đó diện tích hình tròn
S htr = π .r 2 . Do đó S htr lớn nhất khi r lớn nhất.
1
2

+ Mặt khác S∆AIB = p.r không đổi. Vậy r lớn nhất.
⇔ p nhỏ nhất ⇔ M ≡ M 0

Trên đây tôi đã đưa ra 3 bài toán cơ bản về tính chất đặc trưng của (H),
học sinh chứng minh 3 tính chất đó của (H). Từ 3 bài toán đó ta lại hướng dẫn
9


học sinh suy luận, tìm tòi để phát hiện và chứng minh thêm nhiều bài toán khác
về tiếp tuyến của (H). Các bài toán đó trong các kỳ thi nhiều đề đã đề cập đến.
Để cung cấp và rèn luyện thêm cho học sinh tính tư duy, sáng tạo, tôi chọn
ra một hệ thống bài tập để học sinh tự tìm tòi lời giải, tự bổ sung vào vốn kiến

I

F

(H) tại M thì M là trung điểm của

E

AB. Đây là bài số 1.
M

Bài tập 2: Cho Hypebol (H),
M là điểm bất kỳ trên (H). Từ M kẻ
2 đường thẳng song song với 2 tiệm
cận lần lượt cắt 2 tiệm cận tại E và
F.

1. Chứng minh hình bình hành MEIF có diện tích không đổi (không phụ
thuộc vào vị trí của M).
2. Xác định vị trí của M trên (H) sao cho hình bình hành MEIF có chu vi
nhỏ nhất.
Bài tập 3: Cho Hypebol (H), M là điểm bất kỳ trên (H), gọi M1, M2 là hình
chiếu của M lên 2 đường tiệm cận. Xác định M để M1M2 nhỏ nhất.
(Xét ∆MM 1M 2 có:
¶ > 2(1 − cosM
¶ )MM .MM không đổi.
M 1M 22 = MM 12 + MM 22 − 2MM 1.MM 2cosM
1
2


Bài tập 6: Cho Hypebol (H), M là điểm trên (H), gọi M1, M2 là hình chiếu
của M lên các đường tiệm cận của (H). Xác định M để hình tròn ngoại tiếp
∆MM 1M 2 có diện tích nhỏ nhất.

Bài tập 7: Cho Hypebol (H), M là điểm trên (H), gọi M1, M2 là hình chiếu
của M trên 2 đường tiệm cận. Xác định M để tổng các khoảng cách
MM1+MM2+IM nhỏ nhất.
Ta cho học sinh làm một số bài tập cụ thể sau:
x2 + x + 2
Bài 1: Cho hàm số y =
. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho
x −1

tiếp tuyến của đồ thị tại đó vuông góc với IM (I là giao điểm của 2 đường tiệm
cận).
Bài 2: Cho hàm số y =

x2 − 3x + 4
có đồ thị (H) và điểm M thuộc đồ thị.
2x − 2

Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt 2 đường
tiệm cận tại A và B.
11


1. Chứng minh M là trung điểm của AB.
2. Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận không
đổi.
3. Chứng minh ∆IAB có diện tích không đổi.

bản thân.
3. Thông qua bài viết ngắn này tôi muốn trình bày với mọi người một việc
nhỏ nhân giảng dạy chuyên đề nhỏ của toán học phổ thông là các tính chất của
đường Hypebol có liên quan đến tiếp tuyến của Hypebol. Việc nhỏ này giúp học
sinh nắm vững kiến thức về đường Hypebol, đồng thời rèn khả năng tư duy,
sáng tạo của học sinh, gây lòng tin và hứng thú học tập của học sinh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
1. Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 15 bài toán tổng quát. Từ
15 bài toán nàydưới sự hướng dẫn của cô giáo học sinh tìm tòi các lời giải của
các bài toán. Sau khi giải được mỗi bài toán. Tôi hướng dẫn học trò đặc biệt hóa
bài toán theo các hướng khác nhau; để được nhiều bài toán cụ thể. Trong quá
trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận các kiến thức mới. Sau đó giải
các bài toán cụ thể để khắc sâu phương pháp giải bài toán tổng quát. Từ 15 bài
toán gốc, học trò nắm được 15 dạng toán tính tích phân; mỗi dạng toán gồm
nhiều bài toán khác nhau. Nắm chắc được các phương pháp giải các dạng toán
tính tích phân này; đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng
toán tích phân
2. Trong 3 lớp 12 tôi dạy năm nay tôi áp dụng kinh nghiệm ở 2 lớp và giảng
dạy bình thường ở 1 lớp. Kết quả 2 lớp dạy thực nghiệm kinh nghiệm thì khá
giỏi đạt 70%. Còn kết quả ở lớp dạy bình thường khá giỏi chỉ đạt 50%.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận:

Quá trình dạy học là một quá trình tìm tòi suy nghĩ để không

ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu quả giờ dạy. Kinh nghiệm trình bày ở
trên của tôi chỉ là một cải tiến nhỏ khi rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho
13


Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác
Người viết

Lê Thị Thanh
Vân

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Stt Tên sách tham khảo
1
Toán nâng cao cho học sinh Giải tích 12
NXB: Đại học Quốc gia Hà Nội
2
Tuyển chọn phân loại các bài thi tuyển sinh môn toán
NXB: Trẻ
3
Tạp chí Toán học tuổi trẻ
NXB: Giáo dục và đào tạo
4
Ba thập kỷ đề thi toán vào các trường Đại học Việt Nam
NXB: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
5
Các đề thi tuyển sinh những năm gần đây

16