Phòng Giáo dục - đào tạo
huyện Văn Giang

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toỏn 9
Thời gian lm bi: 120 phút
Ngy thi: 21/10/2015

Đề chính thức

---------------------------------------------------Bài 1 (3 điểm):
Cho biu thc P =

x + 2 x 1 + x 2 x 1
x + 2x 1 + x 2x 1

. 2x 1

a) Rỳt gn biu thc P.
b) Chng minh rng nu 1 x 2 thỡ P l s vụ t.
Bài 2 (2 điểm):
a)Tỡm cỏc s t nhiờn n sao cho n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 2 l s chớnh phng
b) ỡm cỏc s t nhiờn x, y ln hn 1 tha món c hai ủiu kin x+1 chia ht cho y
v y+1 chia ht cho x.

Bài 3 (2 điểm):
a) Cho 0O < < 90O . Chng minh: 2020sin 2 + 2016cos 2 4sin 2015
b) Gii phng trỡnh

x 1 + 4029 x = 8056

Đề chính thức

---------------------------------------------------I. Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong
bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần nh hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo
không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm

Bi

Ni dung
a, KX x 1

0,25

Vỡ P>0 ta cú

0,75

P2 =

1
3ủ

im



- Bin ủi A ta ủc A = ( n + 3n + 1) + 1
2

2

Ta cú ( n 2 + 3n + 1) < A < ( n 2 + 3n + 2 )

2 l s vụ t

0,75
0,25

2

2

- Do ủú A khụng phi l s chớnh phng.
Vy khụng tỡm ủc giỏ tr no ca n ủ n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 2 l s

0,25
0,25
0,25

chớnh phng.
b, Gi s 1 < x y . t x + 1 = ky ( k N * )

0,25

Ta cú ky = x + 1 y + 1 < y + y = 2 y k < 2 k = 1

0,5

3

b) ĐKXĐ 1 ≤ x ≤ 4029

0,25

2ñ

Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki ta có:
1. x − 1 + 1. 4029 − x ≤

(1

2

2

+1

0,25

) ( x − 1 + 4029 − x ) =

8056

Dấu = xảy ra khi x − 1 = 4029 − x ⇔ x = 2015 ( thỏa mãn)

0,25

- Từ ñó tính ñược BC =

2. ( S AHC + S AHB ) 2. ( 54000 + 96000 )
=
= 250 10 m.
AH
120 10

0,25
0,25
0,25

b,
Q

N

J

P

C
I

O

M
A

B

0,25

b
4 3
4 
4
b
3

+ 2  a +  +  b +  +  c +  ≥ a + + 2.4 + .4 + 4
2
a 2
b 
c
2
2

2a + b
=
+ 18
2
Mặt khác 3abc = ( a 2 + c 2 ) + 2 ( b 2 + c 2 ) ≥ 2ac + 4bc ⇔ 3ab ≥ 2 ( a + 2b )

0,25

P =a+

5
1ñ