Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1: Ρ( Χ = x ) = p , i = 1,2,3,...k
1
i
hạn
( ...)
Χ x x ... x

⇔

∑p

i

Chú ý:

=1

dừng. Hãy lập bảng
đạn đã bắn
⇔ xlại
ra cho đến khi dừng
Ρ p qp q 2 p ... q k −1 p...
2


Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
Χ
Ρx

1
p

2
pq

3. . . 19
pq 2 .. . pq18

20
q19

• 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên XFlà:
X ( x) = F ( x ) = Ρ( X < x )
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm


nếu x ≤ 2
nếu 2 < x ≤ 5
nếu 5 < x ≤ 7
nếu 7 < x
4


Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X
và FX ( x ) = 1 bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên
liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:
f X ( x ) = f ( x ) =  FX ( x )  x
x
• Định lý 2.1:
F x = f t dt
X

• Tính chất:

( )
( 1)

∫

X


Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm không
có ý nghĩa.
2. Hàm mật độ
f X ( x ) = 0bên ngoài miền giá trị của X.
• Ví dụ 2.4:
2
•

( 1) a = ?
1=

+∞

∫

−∞

a cos x, x ∈ [ 0, π / 2]
X : f ( x) = 
x ∉ [ 0, π / 2]
0,

f ( x)dx =

π /2

∫
0

a

FX ( x )

nếu xπ /2
,nếu

3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

( −π / 4, π / 4 )

Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 )
=

π /4

∫π

− /4

f ( x ) dx =

1

2

. . .

k

. .

.

p1 + q1 p2 . q1q2 ( p1 + q2 p1 ) ..... q1k −1q2k −2 ( p1 + p2 q1 ) . . .

Y

0

ΡY

p1 q1 ( p2 + q2 p1 ) q1q2 q1 [ p2 + q2 p1 ]  . . . q1k −1q2k −1 [ ....] . . .

Z

2k − 1

Ρ

Z



Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h

10


Y

y1

y2

…

yh

Px

x
x1

P11

P12

P1h

P1

x2


11


2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
pi = Ρ ( Χ = xi
q j = Ρ ( Y = yi

)
)

=

h

∑
j =1

=

k

∑
i =1

pij , i = 1, k
pij , j = 1, h

3.Điều kiện độc lập của X và Y
⇔ ∀i , j : pij = pi .q j

∑

xi < x
yj
X
0
2
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
0.2 0.4
(4)Tìm hàm phân phối:
P X / Y =5
0,
0.1,

F ( x, y ) = 0.1 + 0.2,
0.1 + 0.3,

1,

x ≤ 0∨ y ≤ 3

0.6

0.6

0 < x ≤ 2,3 < y ≤ 5
0 < x ≤ 2,5 < y
2 < x,3 < y ≤ 5
2 < x,5 < y
15


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

(1) f

( x, y )

(2) ∫∫
R2

(3)

≥0



f ( x, y ) dxdy = 1 TCDT



Ρ ( ( x, y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

fX
fY

( x)

∫
( y) = ∫
=

=

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập
⇔ f ( x, y ) = f X ( x ) . f Y ( y )

⇔ F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f X / Y = y0 ( x ) =
fY / X = x0

f

(

fY

x , y0 )

(

y0 )

f ( x0 , y )
( y) =
f X ( x0 )

19


( x, y ) dxdy = a ∫0

e

−2 x

dx ∫

+∞

x

e − x − y dy

a
dx =
⇒a=2
2

20


(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.
, nếu x
3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
Vậy ta có: f ( x, y ) ≠ f X ( x ) . fY ( y ) → X , Y phụ thuộc

24


4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2

0, x < 0 ∨ 2