Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

CHUN ĐỀ : PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vng góc với nhau với ba vectơ đơn vị i , j

 i  j  1 .

2. u  x; y   u

y
 xi  y j

; M(x;y) OM  OM  OM  xi  y j
1
2

3. Tọa độ của vectơ: cho u( x; y), v( x '; y ')
a. u  v  x  x '; y  y '
b. u  v   x  x '; y  y '
c. ku  (kx; ky )

d. u.v  xx ' yy '

e. u  v  xx ' yy '  0

f. u 


b. AB   xB  x A    yB  y A 
c. G là trọng tâm tam giác ABC (tứ giácABCD tương tự) ta có:
2

2

y  yB  yC
x A  xB  xC
; yG= A
3
3
3
x  kxB
y  kyB
; yM  A
d. M chia AB theo tỉ số k: MA  k MB  xM  A
(2 véc tơ gốc M)
1 k
1 k
x  xB
y  yB
; yM  A
.
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM  A
2
2

GA  GB  GC  O , OG  OA  OB  OC  xG=

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC

4R
1
(Với a, b, c là ba cạnh, ha là đường cao thuộc cạnh a, p  (a  b  c) , R và r lần lượt là bán
2
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp  ABC)







g/ u cùng phương với u ' 

x x'
y y'



= xy’ – x’y = 0  x : x  y : y

-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi AB  k AC 

x1 y1
 , với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k  0
x2 y2

Chú ý các bài tốn hình học cơ bản của lớp 9
1



x  xA
y  yA
nhân

xB  x A y B  y A

chéo
2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng : Ax  By  C  0 là:
d  M ,  

AxM  ByM  C
A2  B 2

.

-Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt  tại H thì d  M ,    MH
- Hoặc H  x0  at ; y0  bt    d  nên NH .ud  0 tìm được t nên tìm được H
-PT đường thẳng cách đều hai đường thẳng Ax  By  C  0 , A/ x  B / y  C /  0 là

Ax  By  C
A2  B 2



A/ x  B / y  C /
A/ 2  B / 2

(*) hay là tập hợp các điểm cách đều 2 đường thẳng.




a 2 b2 c 2

1   2 

a1 b1 c1


a 2 b2 c 2

4. Góc giữa hai đƣờng thẳng.




*Góc giữa hai đường thẳng  1 và  2 của (I) có VTPT n1 và n 2 được tính theo công thức:






cos(1 ,  2 )  cos(n1 , n2 ) 



| n1 . n2 |



vuông góc với đường thẳng (d) tại M là điểm cần tìm
** Đường phân giác trong của tam giác là trục đối xứng của 2 cạnh bên và khoảng cách từ 1 điểm
trên P giác cách đều 2 cạnh tam giác. d(M/  )=d(M/   )
III. Phƣơng trình đƣờng tròn

r

1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.

M
I

Phương trình:
Dạng 1:  x  a    y  b   r 2 .
2

2

(C)

Dạng 2: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , điều kiện a 2  b2  c  0 và r  a 2  b 2  c .
Tâm I(a;b)
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2. Điều kiện để đường thẳng : Ax  By  C  0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:
d  I ,  

Aa  Ba  C
A2  B 2


IV. Ba đƣờng conic
H
B
A
I.Elip E  M  mp / MF1  MF2  2a  , F1 , F2 là 2 tiêu điểm
x2 y 2
1. Phương trình chính tắc: 2  2  1 , (a>b>0).
a
b

2. Các yếu tố: c2  a 2  b2 , a> c>0.,a>b>0
Tiêu cự: F1F2=2c;

Độ dài trục lớn A1A2=2a

Độ dài trục bé B1B2=2b.

Hai tiêu điểm F1  c;0  , F2  c;0  .

y

B1

Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1  a;0  , A2  a;0  ,
A

2 đỉnh trên trục bé B1  0; b  , B2  0; b  .
Tâm sai: e 

1

a
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: dùng điều kiện nghiệm kép của ph
trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.
B. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x  y  1  0 , phân
giác trong BN : 2 x  y  5  0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
A
Hướng dẫn:
+ Do AB  CH nên AB: x  y  1  0 .
H

N

4

B

C


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2 x  y  5  0
Giải hệ: 
ta có (x; y)=(-4; 3).
 x  y 1  0
Do đó: AB  BN  B(4;3) .
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A '  BC .

có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 : x  y  3  0 và
d2 : x  y  6  0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
Ta có: d1  d2  I . Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
x  y  3  0
x  9 / 2
 9 3
. Vậy I  ;  Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm


 2 2
x  y  6  0
y  3 / 2

Suy ra: S ABC 

2

2

9  3

cạnh AD  M  d1  Ox Suy ra M( 3; 0) Ta có: AB  2IM  2  3       3 2
2  2

S
12
Theo giả thiết: SABCD  AB.AD  12  AD  ABCD 
2 2

2
2
2
x

3


1
y

1
y


1




x

3

y

2
x

3

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm. Tỡm ta
cỏc nh ca hỡnh ch nht ú.
A
B
HNG DN
+) d ( I , AB)

5
AD =
2

5

AB = 2 5 BD = 5.

I

+) PT ng trũn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Ta A, B l nghim ca h:
x 2

1 2
25

2
( x ) y

S ABC =
d(C, AB).AB =
d(C, AB)=
2
2
2
1
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)=
2
t (3t 8) 5
1
=
d(G, AB)=
t = 1 hoặc t = 2
2
2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CM 3GM C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
Bi 5:
Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng : 3x 4 y 4 0 .
Tỡm trờn hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC
bng15.
Hng dn:
3a 4
16 3a
) B(4 a;
) . Khi ú din tớch tam giỏc ABC l
1. Gi A(a;
4
4


www.daythem.edu.vn

1
85
85 x y
85 x 2 y 2
170
AB.d (C AB)
2x 3y 3
3
2 3
2
13 3 4
13 9
4
13
2 13
x2 y 2

9 4 1 x 3 2
3 2
Du bng xy ra khi
. Vy C (

; 2) .
2
2
x
y



S ABC

Bi 9 :
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 cú
tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng trũn (C) ti hai im
phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12.
Hng dn :
ng trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5.
I
Gi H l trung im ca dõy cung AB.
5

Ta cú IH l ng cao ca tam giỏc IAB.
H
B
A
| m 4m |
| 5m |
IH = d ( I , )

m 2 16
m 2 16
(5m) 2
AH IA IH 25 2

m 16
SIAB 12 2SIAH 12
2

1 5 yC
y
1, yG
2 C .
3
3
3
2 x 3 y 6 0 nên 2 6 yC 6 0 , vậy

Ta có C (4; yC ) . Khi đó tọa độ G là xG
Điểm

G nằm trên
yC 2 , tức là

đ-ờng

thẳng

C (4; 2) . Ta có AB (3; 4) , AC (3;1) , vậy AB 5 , AC 10 , AB. AC 5 .
2
15
1
1
AB 2 . AC 2 AB. AC
25.10 25 =
Diện tích tam giác ABC là S
2
2
2










Với G1 (6;4) ta có C1 (15;9) , với G 2 ( 3;1) ta có C2 ( 12;18)
Bài 12.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C): x2 + y2
- 2x + 4y - 4 = 0 và đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình x + y + m = 0.
Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc
hai tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm)
sao cho tam giác ABC vuông.
H-ớng dẫn:
Từ ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng tròn ta có tâm I(1;-2), R
= 3, từ A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn và AB AC =>
tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2
m 1
m 5

3 2 m 1 6
2
m 7
Bi 13:
Trong mp (Oxy) cho ng thng () cú phng trỡnh: x 2y 2 = 0 v hai im A (-1;2);
B (3;4). Tỡm im M () sao cho 2MA 2 + MB2 cú giỏ tr nh nht.
Hng dn :




(C’): x  3



2

  y  3  4
2

Bài 15:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
Hướng dẫn:
BD  AB  B(7;3) , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
A  AB  A(2a  1; a), C  BC  C (c;17  2c), a  3, c  7 ,
 2a  c  1 a  2c  17 
I =
;
 là trung điểm của AC, BD.
2
2


I  BD  3c  a  18  0  a  3c  18  A(6c  35;3c  18)

c  7(loai )


d  I 2 ;    R2
 3 A  4 B  C  3 A2  B 2  2 

3 A  2 B
Từ (1) và (2) suy ra A  2 B hoặc C 
2
Trường hợp 1: A  2 B .

Chọn B  1  A  2  C  2  3 5   : 2 x  y  2  3 5  0
Trường hợp 2: C 

3 A  2 B
. Thay vào (1) được
2

9



và


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bµi 17:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x 2  y 2 – 2 x – 2 y  1  0, (C ') : x 2  y 2  4 x – 5  0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương


Bài 18:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực
tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Hướng dẫn:
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
HK  (1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên
( AC ) : x  2 y  4  0. Ta cũng dễ có:
( BK ) : 2 x  y  2  0 .
+ Do A  AC, B  BK nên giả sử
A(2a  4; a), B(b; 2  2b). Mặt khác M (3;1) là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
 2a  4  b  6
2a  b  10
a  4


.

a  2  2b  2
 a  2b  0
b  2
Suy ra: A(4; 4), B(2;  2).

A

M
K

C

3
3
AB.BC 
AB 2 
AB 2 
 AB  1 OA  2 . AB  2  A  1 ;  1


2
2
2
2
3
3
 3


OC  2OA 

4
 2

C  
;  2  Đường tròn (T) đường kính AC có:
3
3


2


2
Vì  là đường trung bình của ABC

 d  A; BC   2d  A;    2.4 2  8 2
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x  y  a  0
66a
a  4
 8 2  12  a  16  
Từ đó:
2
 a  28

B

C

Nếu a  28 thì phương trình của BC là x  y  28  0 , trường hợp này A nằm khác phía đối với
BC và  , vô lí. Vậy a  4 , do đó phương trình BC là: x  y  4  0 .
Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và  BC : x  y  4  0 nên có phương
trình là x  y  0 .
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
x  y  0
 x  2


 x  y  4  0  y  2
Vậy H (-2;-2)
Vì BC có phương trình là x  y  4  0 nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a)
Suy ra:

tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có
diện tích bằng 10.
1
1HD: Diện tích MAI=5 = AM . 5  AM  2 5 và MI2 = IA2 + AM2 = 25
2
M   M(m; -m – 2). Vậy MI  (2  m; m  3) nên ta có phương trình:
4  m2  4m  m2  6m  9  25  m2 + m – 6 = 0  m = 2 hay m = -3
 M (2; -4) và M (-3; 1).
C. BÀI TẬP TỰ RÈN
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A
và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y9=0 và x+3y5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A
và B.
ĐS: A(1;4), B(5;0).
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x 2  y 2  4 x  4 y  6  0 và đường
thẳng  : x  my  2m  3  0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để
Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
x2 y2

 1.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình
16 9
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng
MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá
trị nhỏ nhất đó.



 



7
7
7
7

 


 


7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3: x2y
=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS:
M(22;11), (2;1).
12


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y22x2y+1=0 và đường thẳng d:
xy+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán
kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS: M1(1;4), M2(2;1)
9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao
cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y+3=0.
ĐS:


16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và B  3;1 . Tìm tọa độ trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.







ĐS: H 3;1 , I  3;1

17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng
BC là 3x  y  3  0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
74 3 62 3
  4 3 1  6  2 3 
 hoặc G

;
;
18. ĐS: G



3
3
3
3


tại A.
ĐS: B(1;3), C(3;5) hoặc B(3;1), C(5;3)
22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x2+y22x6y+6=0 và điểm M(3;1).
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng
T1T2.
ĐS: T1T2: 2x+y3=0
23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: (C1): (x2)2+(y1)2=1 hoặc (x2)2+(y7)2=49
24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;3). Tìm điểm C thuộc đường
thẳng x2y1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
 43 27 
ĐS: C1 7;3, C 2   ; 
 11 11 
^

25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, BAC  90 0 . Biết M(1;1) là
2 
trung điểm cạnh BC và G ;0  là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
3 
ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2)
1 
26.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình
2 
đường thẳng AB là x2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành
độ âm.
ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)


14