phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25
N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn
2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.

(cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên.
Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ =
===
5105
1,0
25
m
k

Vậy lúc đó x = -2 (cm)
l
l
0
0(VTCB)
)
x
- l



Ta có: -2 = 4sin (5t +
6
5

)
sin (5t +
6
5

) =
2
1

5t +
6
5

=
6

3
10.25
2
2
1
2
2
1

=+
mvkx
(J)
Ta có phơng trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1

=+
k(2,6.10
-2
-
025,0)
4

)
4
3
t25sin(2

+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo
tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang.
Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của
vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x

kk
F
k
F
k
F
Mặt khác F = - kx
kkk
111
21
=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
mx
''
= - k.x hay x
''
= - x
2
với
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m
k

v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0 =
2

0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm)
Vậy phơng trình dao động là
x = 10sin (10t +
2

) (cm)
2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ
qua ma sát (g = 10m/s
2
;

2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?

P
+

P2
=

0
Hay mg - 2kl
o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l
0
Hợp lực:

P
+

=
FF2
dh
mg - 2k(l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
x
''
=
x

.5.cos cos = -0,8


2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10
2
t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
143,13
0

a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.
+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn l
1
lò xo L
2
dãn l
2
Khi đó vật để L
1
dãn l = 2cm ;
L
2
khi nén k dãn thì l chính là độ biến
dạng tổng cộng của vật ở VTCB.
l = l
1
+ l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+=+++

FFFFNP
Hay + K
1

+ k
2
) x = mx''
x'' =
2
21
.

=
+

x
m
kk
với 2 =
m
kk
21
+

BA

01
F

02
F
0
+
x

1
+ l
2
= 20 l
1
= 8cm
60l
1
+ 400l
2
= 0 l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin = A
v
0
= Acos = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t +
2

) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==



bị nén 1 đoạn A - l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lợt là

21
, FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (

21
, FF
cùng chiều dơng)
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình
vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng
=
2

a



=+
0
00
PT
Chiều lên ox -T
0
+ Kl = 0
-T
0
+ mg = 0
T
0
= kl = mg = 0,1.10 = 1 T
0
= 1N
l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0
+ mg = 0
-kl + 2T
0
= 0
T
0
= mg = 1 (N)
l = 10 (cm)

2

=
Với =
m
k
x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l
2
1
kl - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn l +
2
x
mg - T = F
2T - k(l +
2
x
) = 0
F = mg -
2
1
kl -
x
k
4
F =
x
k
4

không với khối lợng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s
2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a =
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
=
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
m
1
m
a
max
< g
2
A < g A<
2

o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra
tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn
o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu
của chuyển động tròn đều của 1 chất điểm
nh hình vẽ. Khoảng thời gian vật đi từ x =
4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian
vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
t =



3
=

= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
M
k
o
v
m
0
M
1
+
2
4
M
2



+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lợng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc

)(
0
+
=
+
m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm
2
đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn
4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong
chất lỏng có chiều cao h

l
0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34


= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn l
0
+ x
Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
x
max
= 4(cm) <
2
h
luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=

F
= mg - S(h
0

+
=
+
=




KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==
Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s

2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau
2
1
chu kì vật
đến VT biên độ lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng
A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= àmg (A
1
+ A
2
) A

10
=
A
A

(chu kỳ)
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là
T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con
lắc có chiều dài l
1
+ l
2

2
2
1

(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2

l
1
=
g.
4
T
2
2
2

(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2

có chu kì T
'
= 2.
g
ll
21

l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l

; g = 10(m/s
2
);

2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tơng ứng với li độ
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng,
cơ năng của con lắc tại VT li giác bất kì
bằng thế năng của con lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0


| v | =
)(gl
22
0

+ Vận tốc cực đại khi

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0

I

h
0
- h
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=

(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc

2
3

2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (
2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=







2
1
1
2
=
















(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lợng m.
Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật
nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc .
Xét trờng hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải

Khi góc << thì 1 - cos = 2sin
2
2

=
2
2

| v | =
22
0
gl2v

+ Vận tốc cực đại khi = 0 | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi =
0
v
0
=
0

gk
v

2cos3
gl
v
2
0
+








+ Khi nhỏ: cos = 1 -2sin
2
2


= 1 -
2
2

T = mg
)
2
3
1
gl
v

min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
=+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2


= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g
l
.
0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
==
T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)


2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g
l
=
Thay số:
l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lợng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4

a) Véctơ
E
hớng thẳng xuống dới
b) Véctơ
E
có phơng nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
.

= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrờng đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP
=
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trờng
+ Coi con lắc dao động trong trờng trọng lực hiệu dụng g

thẳng đứng xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phơng
thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
mg
'
= mg + qE
g
'
= g +
m
qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc






VTCB
T
'
= 2
m
qE
g
1


=
mg
qE
P
F
d
=
tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34




~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l

Từ hình vẽ:

0
=

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đờng ngang thì dây treo hợp với phơng thẳng đứng 1 góc
0
= 9
0
+

T
d
F
'
P
P
a) Hãy giải thích hiện tợng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc
theo T
0
.
Lời giải
a) Giải thích hiện tợng:

mg
ma
P
F
at
==
<< tg

do đó
a

g = 10.
9.
180

~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP
=+=
(Coi con lắc dao động trong trờng gia tốc ghd = g
'
)

l
.

Lại có T
0
= 2
g
l
.


=

==
cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0

cos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lợng
m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc

2
0



E
0
=
2
0
mgl
2
1

+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là
1
, cơ năng
của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2
1

E
0
- E

mgl
2
1
(
2
1
-
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E
E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(
2
0
-
2
2
)

~4
0
kF
c
mgl
0
. = 4
0
lF
c
=
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lợng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
.
=
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lợng trong N chu kì là
E =
mgl


=

(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
E
t
E
12

===

= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nớc biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc
trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn
thanh treo con lắc có hệ số nở dài = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0



2
1
t1
t1
T
T
11

+
+
+
=
(t
1
- t
x
)
(VT t
1
<< 1; t
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh T
1
<T t
1
< t
+ Độ l