ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN QUỐC DUY

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN

Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số ngành: 62460112

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2017


✬
Công trình này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.

✩

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lâm Quốc Anh
GS.TSKH. Phan Quốc Khánh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi
Phản biện 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Phản biện 3: TS. Nguyễn Hồng Quân
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà
Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải


[ f (xn ) + νn ≥ a,

∀n] =⇒ [ f (x)
¯ ≥ a] .

(c) nửa liên tục dưới tại x¯ nếu
f (x)
¯ ≤ lim inf f (xn ).
n→∞

(d) giả liên tục dưới tại x¯ nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn
[ f (x) < f (x)]
¯ =⇒ f (x) < lim inf f (xn ), ∀xn → x¯ .
n→∞

(e) nửa liên tục trên (tương ứng, giả liên tục trên) tại x¯ nếu (− f ) là nửa liên tục dưới
(tương ứng, giả liên tục dưới) tại x;
¯ Hàm f được gọi là liên tục (tương ứng, giả
liên tục) tại x¯ nếu f là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới (tương ứng, giả liên
tục trên và giả liên tục dưới) tại x.
¯
Ta nói rằng f thỏa mãn một tính chất nào đó ở trong X ⊂ E nếu nó thỏa mãn tính
chất đó với mọi điểm x ∈ X.
1.2

Tính lồi và tính đơn điệu của hàm giá trị thực

Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ E là tập lồi. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là
(i) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y).


Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ đa trị F đi từ kh� (A4);
(ii) f2 thỏa mãn giả thiết (A1);
(iii) bài toán bị phạt (PLEP) có nghiệm x(ε),
¯
với ε > 0 đủ nhỏ.
Khi đó, mỗi điểm tụ x¯ của dãy {x(ε)}
¯
ε>0 đều là nghiệm của bài toán cân bằng từ
điển gốc (LEP).
Kết quả sau đây cho ta các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng từ điển bị phạt (PLEP).
Định lý 5.1.2. Giả sử rằng
(i) f1 (·, y) và f2 (·, y) là các hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ X;
(ii) f1 (x, ·) và f2 (x, ·) là các hàm lồi và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ X;
(iii) f1 là bức ở trên X;
(iv) f2 là đơn điệu mạnh ở trên X.
Khi đó, với mọi ε > 0, tập nghiệm của bài toán (PLEP) là một tập khác rỗng.
5.2

Hàm gap và cận sai số cho bài toán cân bằng từ điển bị phạt

Cố định một số thực δ > 0 và cho h : X × X → R là một hàm khả vi, lồi theo biến
thứ hai và thỏa mãn
(i) h(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X;
(ii) h(x, x) = 0 và ∇2 h(x, x) = 0, với mọi x ∈ X.
Chúng ta xét bài toán sau:
(APLEP) Tìm x¯ ∈ X sao cho

Mệnh đề 5.2.1. Với mỗi x ∈ X, nếu fi (x, ·), i = 1, 2, là lồi, khả dưới vi phân và liên
tục tại một điểm nào đó trong X thì bài toán (PLEP) và bài toán (APLEP) có cùng
tập nghiệm với mọi ε > 0.
Bây giờ, chúng ta nhắc lại khái niệm hàm gap được Mastroeni3 giới thiệu cho bài
toán cân bằng.
Định nghĩa 5.2.3. Hàm p : X → R được gọi là hàm gap cho bài toán (PLEP) nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) p(x) ≥ 0, với mọi x ∈ X;
(ii) p(x)
¯ = 0 khi và chỉ khi x¯ là nghiệm của bài toán (PLEP).
Mệnh đề dưới đây cho ta cách xác định hàm gap cho bài toán (PLEP).
3 Mastroeni,

G.: Gap functions for equilibrium problems. Journal of Global Optimization 27, 411–426

(2003)

21


Chương 5

Phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển

Mệnh đề 5.2.2. Giả sử rằng các giả thiết trong Mệnh đề 5.2.1 nghiệm đúng, giả
thiết thêm rằng, fi (x, ·), i = 1, 2, là nửa liên tục dưới và h(x, ·) là hàm lồi mạnh với
mọi x ∈ X. Khi đó, với δ > 0, hàm pε,δ (x) := max{−gε (x, y) − δ h(x, y) | y ∈ X} là
một hàm gap cho bài toán (PLEP).
Định lý 5.2.1. Giả sử rằng φε,δ là ∇-đơn điệu chặt trên X, nghĩa là
∇1 φε,δ (x, y) + ∇2 φε,δ (x, y), y − x > 0,

(iii) fi (x, ·), i = 1, 2, là lồi với mọi x ∈ X;
22

2pε,δ (x)
.
4ετ − δ κ


Chương 5

Phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển

(iv) fi , i = 1, 2, là khả vi trên X × X;
(v) ∇1 fi (·, ·), ∇2 fi (·, ·), i = 1, 2, là liên tục Lipschitz đều trên X × X và ∇2 h(x, ·) là
liên tục Lipschitz với mọi x ∈ X;
và giả sử thêm rằng SPLEP (X, gε ) khác rỗng. Khi đó, với mọi x ∈ X,
d (x, SPLEP (X, gε )) ≤

L
√
ετ δ α

trong đó L là hằng số dương độc lập với ε.

23

2pε,δ (x),


Kết luận