Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ
động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

A.Đặt vấn đề
I. Lời nói đầu:
Trong chơng trình môn Toán nói chung và bậc THPT nói
riêng đa phần học sinh ngại học phân môn hình học, ít hứng
thú và say mê phần này vì nhiều lý do: ngại vẽ hình, không
chịu phát huy trí tởng tợng không gian,vv.Đội ngũ các
thầy cô giảng dạy cũng cha tập trung cao độ cải tiến cách dạy
sao cho tránh khô khan, nhàm chán.
Từ thực tế giảng dạy và qua việc hớng dẫn các chuyên đề
Đổi mới chơng trình và SGK bậc học THPT của Sở GD&ĐT
Thanh Hoá trong những năm qua tôi thực hành đề tài Rèn
luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động
cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng
pháp vec tơ
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng: Từ trớc đến nay việc học phân môn hình
học thì t duy của học sinh thờng chỉ dừng ở mức tơng tự hoá,
cha có khả năng sáng tạo dựa trên lôgic của Toán học.
Bắt đầu vào lớp 10 THPT học sinh đợc học một đại lợng hình
học mới làVec tơ, đây là một công cụ mạnh để sử dụng
trong nghiên cứu và giải quyết các vấn đề của Hình học. Nó
giúp chúng ta chọn phơng pháp mới, con đờng mới giải một số
bài toàn hình học phẳng và không gian. Nó tạo nên tính đa
dạng trong nhìn nhận các bài toán, là công cụ mạnh giúp chúng
ta giải quyết nhiều lĩnh vực trong đó có hình học.
2. Kết quả của thực trạng:
Nhiều học sinh lúng túng trong việc sử dụng công cụ mới
này dẫn đến không có kết quả cao khi học phần phơng pháp

điểm của
đoạn
thẳng
AB thì MA + MB = O và với mọi điểm O
uuur uuu
r
uuuu
r
luôn có: OA + OB = 2OM
4. Tính chất trọng
tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm tam
uuu
r uuu
r uuur ur
giác
ABC
thìuGA
+ GB + GC = O và với mọi điểm O ta có
uuur uuu
r uuur
uur
OA + OB + OC = 3OG

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB
.

r uuur
uuu
r uuur
8. Điều kiện để hai vectơ vuông góc: AB CD AB.CD = 0.
9. Điềurkiện
cần và đủ để ba vectơ đồngr phẳng: Cho hai
r
vectơ a; bkhông cùng phơng và một vectơ c bất kỳ. Khi đó
r r r
điều kiện cần và đủ để ba vectơ a; b;c đồng phẳng là tồn tại
r
r
r
các số thực m; n sao cho: c = ma + nb ( các số m, n là duy nhất).
1.2. Trang bị cho học sinh quy trình giải toán hình học
băng phơng pháp vectơ
Bớc 1: Lựa chọn hệ vectơ gốc; chuyển đổi các điều
kiện của bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ
Bớc 2: Giải bài toán bằng biến đổi các hệ thức vectơ,
tính toán, chứng minh ,vvdựa trên các tính chất,
hệ thức vectơ.
Bớc 3: Chuyển các kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang các
tính chất hình học tơng ứng.
Việc thực hiện quy trình trên thờng qua hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: Chuẩn bị một số yếu tố cần thiết cho việc thực
hiện quy trình, gồm một số việc sau:
1.
Dạy học sinh biết thành lập từ điển véctơ trong đó mỗi
từ của từ điển biểu diễn mối liên hệ giữa sự kiện hình học
và các hệ thức véctơ.


c/Với điểm O tuỳ ý OM = (OA + OB)
Từ điển véctơ giúp cho việc chuyển đổi các dữ kiện
hình học sang ngôn ngữ véctơ và chuyển các kết luận
véctơ thu đợc sang ngôn ngữ hình học tơng ứng.
Kinh nghiệm cho thấy rằng, học sinh chuyển các sự kiện
hình học ngôn ngữ véctơ tốt hơn là sự giải thích hình học
ý nghĩa của các hệ thức véctơ.
Vì vậy trong quá trình dạy học cần hớng dẫn học sinh
rằng: Các ký hiệu véctơ cùng một sự kiện hình học không là
duy nhất. Việc dạy học sinh trình bày cách phát biểu hình học
của các hệ thức véctơ còn có tác dụng bồi dỡng trí tởng tợng
không gian cho học sinh.
2.
Dạy cho học sinh biết sử dụng một cách có ý thức phép
biến đổi hai chiều của các hệ thức véctơ.
Ví dụ: Sau khi giới thiệu cho học sinh quy tắc gốc (đối với
phép trừ) cần luyện cho học sinh biết sử dụng thành thạo quy
tắc này thông qua một số dạng bài tập thực hiện phép biến
đổi hai chiều hệ thức véctơ, giúp học sinh khắc phục một số
nhợc điểm trong học tập về kiến thức véctơ là: khi khai triển
mọt véctơ theo một số véctơ học sinh thờng dùng quy tắc tam
giác (đối với phép cộng) mà không quen dùng quy tắc tam giác
(cho phép trừ), còn khi thực hiện phép biến đổi véctơ học
sinh thờng chuyển phép trừ một véctơ sang phép cộng véctơ
ngay cả trờng hợp có thể áp dụng quy tắc tam giác đối với
phép trừ. Một số dạng bài tập cần rèn luyện cho học sinh:
Dạng 1: Khai triển một véctơ thành hiệu hai véctơ chung
gốc.
Dạng 2: Thay hiệu hai véctơ chung gốc bởi một véctơ.

véctơ gốc thì có thể đi đến điều cần phải chứng minh. Hệ
uuur uuu
r uuur uuur
véctơ gốc không thể chọn là { OA;OB;OC;OD} với O tuỳ ý. Trong dạy
học cần lu ý cho học sinh chọn gốc là một trong các điểm A,
B,C,D và tìm hệ véctơ gốc tơng ứng.
3.
Việc học sinh lựa chọn hệ véctơ gốc cần kết hợp
chặt chẽ với việc dạy học sinh cách khai triển các véctơ càn xét
theo hệ véctơ gốc thông qua việc biểu diễn một véctơ theo
một véctơ cộng tuyến, sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc
hình bình hành, quy tắc hình hộp và các phép biến đổi
véctơ.
Thực tế học cho thấy, nhiều học sinh gặp khó khăn ngay cả khi
cần biểu diễn một véctơ theo véctơ cộng tuyến.
Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phơng ABCDABCD có
cạnh bằng a. Trên DC, BB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho DN
= BM = x (với 0 x a). Chứng minh AC MN
Thông qua việc theo dõi bài làm của học sinh và các câu trả lời
của họ, ta thấy rằng khó khăn đầu tiên mà học sinh gặp phải
uuuu
r

x uuur
a

là các em không biết biểu diễn DM = .DC .
Để giúp học sinh khắc phục khó khăn trên, giao viên cần
dạy học sinh một số dạng bài tập đơn giản trong đó hệ véctơ
gốc chỉ gồm một véctơ hoặc hai véctơ. Đồng thời làm cho

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, hãy biểu diễn AB; AD
uuur uuur
theo AC; BD .
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao
cho BIuu=
k.IC.
uuuruuur
r
Tính AI theo hai véctơ AB;AC
Sự tổ chức học sinh thch hiện một số hoạnt động nêu trên
thông qua việc giải các bài toán nâng dần mức độ khó khăn là
sự chuẩn bị cần thiết cho việc thực hiện giai đoạn tiếp theo.
Giai đoạn 2: Dạy học sinh theo quy trình trên thông qua việc
giải quyết một số bài tập trọng tâm trong chơng trình học ở
trờng THPT.
Việc phân chia các dạng bài tập dựa trên hai cơ sở: dựa vào
tính chất của bài tập và dựa vào công cụ để giải quyết bài
tập.
Việc thiết kế các chuỗi bài tập theo chủ đề, việc bổ sung bài
tập mới dựa vào sự phân tích cấu trúc hệ thống bài tập đã đợc
trình bày trong sách giáo khoa và sách bài tập.
II. Một số ví dụ
1.Hớng dẫn học sinh chứng minh một số định lý bằng
phơng pháp véctơ
Nhìn lại sách giáo khoa đợc xây dựng bằng con đờng
hình học tổng hợp, việc chứng minh các định lý có phần khá
phức tạp và cồng kềnh. Sử dụng phơng pháp véctơ cho phép
chúng ta trình bày cách chứng minh một số định lý ngắn
gọn, dễ hiểu, giúp học sinh tiếp thu và củng cố kiến thức dễ
dàng hơn.

luận phải xuất hiện các véctơ AC; AB )
Khi đó học sinh sẽ biến đổi nh sau:
uuuur uuur uuuu
r 2 uuuur uuur uuu
r uuuur uuuur uuuur
VP = BC2 = (AC AB) = AC2 2AC.AB + AB2 = AC2 + AB2
- Nh vậy định lý Pitago đã đợc chứng minh bằng công cụ
véctơ. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu quá trình chứng minh để tìm
ra hệ thức mở rộng. Giả thiết ABC vuông đợc sử dụng ở chỗ
nào
trong
quá trình
chứng minh? ( ABC vuông
uuur uuu
r uuur uuu
r
AC AB AC.AB = 0
uuur uuu
r
uuur uuu
r
- Nếu ABC bất kì thì sao? ( AC.AB = AC.AB.cos(AC; AB) = bc. cosA
uuuur uuuur uuuur
- Vậy ta đợc hệ thức mở rộng là gì? ( BC2 = AC2 + AB2 - 2AB.AC
cosA hay a2 = b2 + c2 - 2bc cosA)

- Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định lý mở rộng của
định lý Pitago và tự trình bày lại cách chứng minh.
Tất nhiên với định lý trên, giáo viên có nhiều cách khác
nhau để dẫn dắt học sinh chứng minh. Chẳng hạn: Giáo viên

trong tam giác đồng quy không dễ đối với một số học sinh.
Sau đây là gợi ý về hớng dẫn chứng minh :
+H1 :Gọi H là giao điểm của hai đờng cao AM và BN của ABC
khi đó yêu cầu bài utoán
đợc phát biểu lại là gì? ( Cần chứng
uur uuu
r
minh CH AB hay CH.AB = 0)
AC ) ta suy ra đợc
+H2 :Từ giả thiết bài toán ( AH BC; BH
uuur uuu
r
uuur uuur
những hệ thức vec tơ nào? Vì sao? ( AH.BC = 0; BH.AC = 0 )
+H3: Đẳng thức (*) tìm sự liên hệ giữa D và H? Viết hệ thức
liênuuurhệ
mới? r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
( HA.BC + HB.CA + HC.AB = 0(**) )
+H4: Từ hệ thức (**) suy ra định lý phải chứng minh?
+H5: Định lý đã cho còn đúng không khi ta thay Đờng cao
bằng các đờng khác trong tam giác nh: Trung tuyến; Phân
giác,vv?
Đây là loạt bài toán ứng dụng tính chất Tơng tự hoá trong
toán học. Sau đây là việc chứng minh Ba đờng trung tuyến
trong tam giác đồng quy; các chứng minh khác xem nh bài tập
áp dụng.
1.3 Chứng minh định lý Ba đờng trung tuyến trong
tam giác đồng quy

2
2
uuuu
r 2 uuu
r
A, G, M thẳng hàng GM = k.GA (2)
uuur
uuu
r
.
(3) .
B, G, N thẳng hàng GN = nGB

Ta có: MN = AB GN GM =

(

)

Thay (2) , (3) vào (1) ta có:

uuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 uuu
r
r
r
1 uuu

r 1 uuur
1 uuu
uuuu
GM
=

GA
= AG
1
1
2
2
Vậy k = . Từ ( 4) n = uuur
u
u
u
r
2
1
1 uuur
2
GN = GB = BG

2
2

Vì E là trung điểmcủa AB nên ta có:

uuur 1 uuu
r uuu

tuyến và độ dài các cạnh trong tam giác, vv.
2. Rèn luyện tính chủ động, t duy sáng tạo, linh hoạt cho
học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng
pháp vectơ.
Cũng nh việc giải một số bài toán bằng phơng pháp toạ độ
trong đề tài trớc tôi đã trình bày.Một vấn đề đợc đặt ra hiển
nhiên cho các em là: Những bài toán hình học có dạng thế nào
thì giải đợc bằng phơng pháp vectơ? Dạng toán nào thì giải
bằng phơng pháp vectơ sẽ có lợi hơn: ngắn gọn hơn, dễ hiểu
hơn, lời giải đẹp hơn,vvĐờng lối giải nh thế nào ? Trong
thực tế vấn đề này là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung
và hình học nói riêng không thể có phơng pháp toàn năng cho
mọi bài toán. Tuy nhiên đối với một số bài tập trong chơng
trình hình học cấp THPT ở dạng trung bình, các yêu cầu
không quá phức tạp nh: chứng minh một số yếu tố, tính chất
hình học, tính toán giá trị một số biểu thức,vvNhững
đối tợng học sinh khá, giỏi các thầy cô giáo có thể yêu cầu các
vấn đề phức tạp hơn, khó hơn nh: chuyển dịch ngôn ngữ,
thiết lập giả thiết, kết luận mới,Sau đây là một số dạng và
ví dụ kèm theo
2.1. Dạng 1: Chứng minh các điểm trùng nhau
Ví dụ: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tuỳ ý, không có ba điểm
nào thẳng hàng. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của
các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai
tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Quy trình giải bài toán này nh sau:
8


Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ

2
uuur uuur
uuur OC + OD
P là trung điểm của CD OP =
2
uuur uuur
uuur OD + OE
Q là trung điểm của DE OQ =
2
uuur uuur
uuur OE + OF
R là trung điểm của EF OR =
2
uuu
r uuur
uuu
r OA + OF
S là trung điểm của FA OS =
2
uuuur uuuur
G1 G2 OG1 = OG2

G1 là trọng tâm tam giác MPR OG1 =

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

OA + OB + OC + OD + OE + OF .
6

(

)

(11)
uuuur uuuur
Từ (10) và (11) OG1 = OG2 .
Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng
ứng:
uuuur uuuur
OG1 = OG2 G1 G2

2.2. Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng
chéo nhau
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD vuông góc với nhau
từng đôi một. Biết AB = 1; BC = BD; CD = 2 2 . Gọi M, N lần lợt
là trung điểm của BC và CD. Tính khoảng cách giữa AM và BN.
Bớc 1: Chuyển các giả thiết, kết luận của bài toán từ ngôn ngữ
hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ.
9


Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ
động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ
Kí hiệu EF là đờng vuông góc chung của AM và BN.
uuu
r uuur uuu

EF AM EF .AM = 0; EF BN EF .BN = 0 .
uuu
r
uuu
r2
Tính EF = EF = EF .

M là trung điểm của BC BM = BC .

(

)

Bớc 2: Biểu diễn các vectơ cần xét theo hệ vectơ gốc, biến
đổi các hệ thức vectơ theo yêu cầu bài toán.
uuur uuur uuu
r 1 r r uuu
r
uuur 1 r
r
AM = BM BA = a c AE = x.AM = x.a xc
2
2

( 1) .

uuur 1 r 1 r uuu
r
uuur 1 r 1 r
BN = a + b BF = y.BN = ya

r
r
r
r
1
1
1
EF = a + b c
6
6
3
2
uuu
r
uuu
r2
3
1 r 1 r 1r
EF = EF = a + b cữ =
6
3
3
6

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng
ứng
uuu
r
3
3

AB
; AC; AD} làm cơ sở. Ta có
Chọ hệ {
A

M

D
G

N
C

uuur

r
1 uuu
2
uuur 1 uuur uuur
N là trung điểm của CD AN = AC + AD .
2
uuur 1 uuur uuur 1 uuu
r uuur uuur

AG
=
(
AM
+
AN

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng
ứng.
uuur 3 uuur
3
AG = AA ' A; G; A thẳng hàng và AG = AA ' hay GA = 3 GA
4
4

(đpcm).
2.4.Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng song song

11


Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ
động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ
Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác ABCDA1B1C1D1. Gọi M; N; E; F lần lợt là trọng tâm của các tam giác AA1B1; A1B1C1; ABC; BCC1.
Chứng minh NM // EF.
Quy trình giải bài toán:
Bớc 1: Chuyển các giả thiết, kết luận của bài toán từ ngôn ngữ
hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ.
uuur r uuu
r r uuur r
Chọn hệ { A; AA1 = a; AB = b; AC = c} .
uuur

1 uuur uuur
3

2 r r

)

uuu
r uuur

r r

( AB + AC ) = 13( b+ c) .
uuu
r uuur uuuu
r
r r r
( AB + AC + AC ) = 13( a+ b+ 2c) .

Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu bài toán:
uuuu
r uuur uuur

Ta có: MN = AN AM =

1

r uuu
r uuu
r 1 r r
uuuu
r uuu
r
1 r r uuu
a + c ; EF = AF AE = a + c MN = EF .


C

2.5. Dạng 5: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoitâm
O. Biết rằng
12


Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ
động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ
SA = SC; SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO OA
b) AC SD
Bớc 1: Chuyển đổi các dữ kiện, điều kiện của bài toán từ
ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ.
uuu
r uuur uuu
r
Chọn hệ vectơ cơ sở { O;OA;OB;OS} .
uur

uuu
r uuu
r uur

uuur uuu
r

uuur uuu


uuu
r uuu
r

Vì SA = SC SA2 = SC2 ( OA OS) = ( OA + OS) OA.OS = 0( 5) .
2

2

uuur uuu
r

Chứng minh (3) bằng cách biểu diễn các vectơ AC; SD qua hệ
uuur uuu
r
vectơ cơ sở, sau đó ta tính tích AC.SD .
uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
Ta có AC = 2OA; SD = OD OS AC.SD = 2OA ( OD OS) = 0 .
Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng
ứng:
uuur uuu
r
a) OA

của hình hộp bằng tổng bình phơng tất cả các cạnh của
hình hộp đó.
3.4. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b; AD = BC
= c.
a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của hai cạnh
đối diện của tứ diện là đoạn vuông góc chung của hai cạnh ấy.
Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó
b) Tính cosin của góc hợp bởi hai đờng thẳng AC và BD
3.5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều
nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD = 2a và có cạnh SA
vuông góc với đáy (ABCD); SA = a 6 .
a) Tính khoảng cách từ A và B đến mp(SCD)
b) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mp(SBC).
II. Biện pháp thực hiện và kết quả:
Đề tài này đợc thực hiện trong hai năm học. Năm học
2009-2010 cho các lớp 12B1; 12B2; 12B4 của trờng THPT Yên
Định 2 . Năm học 2010-2011 cho các lớp 10B1, 10B3 của trờng
THPT Yên Định 2. Qua khảo sát thu đợc kết quả nh sau:
Bảng kết quả của năm học 2009-2010
Lớp

Giỏi
SL
%
30/55 54,5
20/50 40,0
10/48 20,8

Kết quả



Bảng kết quả của năm học 2010-2011
Lớp

Kết quả

Giỏi

Khá

TB
14

Y, kém


Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ
động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10B1 35/47 74,5 10/47 21,2 2/47 4,3
0
0
10B3 20/48 41,6 15/48 31,3 13/48 27,1 0