Ch ơng II
Phơng pháp toạ độ trong không gian
Tiết 25,26,27,28
Đ1: hệ toạ độ trong không gian
I/ Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Biết các khái niệm: hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của một điểm,
khoảng cách giữa hai điểm trong không gian
- Biết phơng trình mặt cầu
2. Kĩ năng:
- Tính đợc toạ độ của tổng, hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số, tính đợc tích vô hớng của
hai vectơ
- Tính đợc khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trớc
- Xác định đợc toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu có phơng trình cho trớc
- Viết đợc phơng trình mặt cầu
3. T duy, thái độ:
- Rèn kĩ năng t duy hình học, tính toán
- Giáo dục tính chính xác, khoa học
- Thấy đợc ứng dụng hình học trong thực tế
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
Giáo viên: Thớc kẻ, phấn mầu
Học sinh: Ôn lại các kiến thức về hệ toạ độ, toạ độ của một vectơ, toạ độ của một điểm,
khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng
III/ Tiến trình bài dạy học
Tiết 25
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu khái niệm hệ toạ độ, toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm trong mặt phẳng
2. Bài mới:

Giáo viên:
- Từ hđ 1(sgk-trang 63) và từ định lí 2(sgk
hình học 11-trang 90) nêu khái niệm toạ độ
điểm trong không gian
- Hớng dẫn học sinh cách viết toạ độ của điểm
M
Học sinh:
- Ghi nhớ khái niệm toạ độ điểm trong không
gian
- Biết cách viết toạ độ một điểm
Hoạt động 3: Toạ độ của vectơ
Giáo viên:
- Từ định lí 2(sgk hình học 11-trang 90) nêu
khái niệm toạ độ vectơ trong không gian
- Hớng dẫn học sinh cách viết toạ độ của vectơ
a
r
- Nêu mối quan hệ giữa toạ độ điểm M và toạ
độ vectơ
OM
uuuur
Học sinh:
- Ghi nhớ khái niệm toạ độ vectơ trong không
gian
- Biết cách viết toạ độ một vectơ
- Tìm mối quan hệ giữa toạ độ điểm M và toạ
độ vectơ
OM
uuuur
Trong không gian, cho ba trục

toạ độ
Chú ý:
2 2 2
1i j k= = =
r r r
và
. . . 0i j j k k i= = =
r r r r r r
2. Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho điểm M tuỳ ý
=> Tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho

OM xi y j zk= + +
uuuur r r r
Ngợc lại: Với mỗi bộ ba số (x; y; z) có một
điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn
hệ thức
OM xi y j zk= + +
uuuur r r r
Khi đó: (x; y; z) gọi là toạ độ của M
Viết: M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z)
3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vectơ
a
r
=>Tồn tại duy nhất bộ ba số
1 2 3
( ; ; )a a a
sao cho


ABCDA B C D
có đỉnh
A
trùng với
gốc toạ độ O, có
'
, ,AB AD AA
uuur
uuur uuur
theo thứ tự cùng hớng với
, ,i j k
r r r
và có
'
; ;AB a AD b AA c= = =
.
Hãy tính toạ độ các vectơ
'
, ,AB AC AC
uuuur
uuur uuur
và
AM
uuuur
với M là trung điểm của
' '
C D
Giải: Cho hình hộp chữ nhật
' ' ' '
ABCDA B C D

( )
'
; ;AC a b c=
uuuur

; ;
2
a
AM b c

=
ữ

uuuur
4. Hớng dẫn học bài: Học bài và xem lại các phép toán toạ độ trong mặt phẳng
Tiết 26
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu khái niệm hệ toạ độ, toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm trong không gian
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 4: Định lí về các phép toán vectơ
Giáo viên:
- Nêu nội dung định lí
- Cho học sinh thảo luận nhóm cách chứng
minh định lí
Nhóm 1 và 2: ý a
Nhóm 3 và 4: ý b

1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ,la l a a a la la ka l= =
r
Ă
Chứng minh: Theo giả thiết ta có

( )
1 2 3 1 2 3
; ;a a a a a i a j a k= = + +
r r r r
và
( )
1 2 3 1 2 3
; ;b b b b b i b j b k= = + +
r r r r
a)
1 2 3 1 2 3
( ) ( )a b a i a j a k b i b j b k+ = + + + + +
r r r r r r r uur

1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )a b i a b j a b k= + + + + +
r r r
Nhóm 1 và 2: ý a
Nhóm 3 và 4: ý b
Nhóm 5 và 6: ý c
- Vận dụng giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 5: Một số hệ quả đợc suy ra từ
định lí
Giáo viên:

1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ,la l a a a la la ka l= =
r
Ă
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
( )
5;7;2a =
r
,
( )
3;0; 4b =
r
và
( )
6;1; 1c =
r
.
Hãy tìm các vectơ sau
a)
3 2m a b c= +
ur r r r
b)
5 6 4n a b c= + +
r r r r
Giải:
a) Ta có:

( )
3 15;21;6a =
r

( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
và
( )
1 2 3
; ;b b b b=
r

Ta có:
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= =


=

r r
b) Vectơ
0
r
có toạ độ là

; ;
B A B A B A
AB OB OA x x y y z z= =
uuur uuur uuur
ii) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

; ;
2 2 2
B A B A B A
x x y y z z
M
+ + +

ữ

Chứng minh (hs tự chứng minh)
3. Củng cố: Cho tứ diện ABCD có
( )
1 2 3
; ;A a a a
,
( )
1 2 3
; ;B b b b
,
( )
1 2 3
; ;C c c c
và
( )

ữ

Khi đó toạ độ của điểm G là

3 3 3 3
1 1 1 1 2 2 2 2
; ;
4 4 4
a b c d
a b c d a b c d
G
+ + +
+ + + + + +

=
ữ

4. Hớng dẫn học bài:
BTVN : Bài 1,2,3 (sgk-trang 68)
Tiết 27
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu biểu thức toạ độ của tích vô hớng của hai vectơ trong hình học phẳng
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 6: Biểu thức toạ độ của tích vô
hớng
Giáo viên:

; ;b b b b=
r
đ-
ợc xác định bởi công thức

1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +
r r
Chứng minh: (sgk-trang 65)
Ví dụ: Tính
a)
.a b
r r
với
( )
2;3;1a =
r
và
( )
1;4;0b =
r
Ta có
. 2.( 1) 3.4 1.0 10a b = + + =
r r
b)
.c d
r ur
với
1
;6; 2

. Ta có

2
2 2
a a a a= =
r r r r
Do đó:
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
b) Khoảng cách giữa hai điểm:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z

Ta có
AB AB=
uuur
Vậy
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A

.
a b a b a b
a b
a b
a a a b b b

+ +
= =
+ + + +
r r
r r
Đặc biệt:
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b + + =
r r
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ
( )
3;0;1a =
r
,
( )
1; 1; 2b =
r
và
( )
2;1; 1c =
r
. Hãy
tính
a)

r
. Ta có
( )
( )
2
2 2
3.2 0.1 1. 1
. 5
cos
2 15
.
3 0 1. 2 1 1
a c
a c

+ +
= = =
+ + + +
r r
r r
0 ' ''
49 47 49


3. Củng cố: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A (a; 0; 0),
B (0; b; 0) và C (0; 0; c). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Giải: Ta có
( )
; ;0AB a b=
uuur

Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu định nghĩa và các cách xác định mặt cầu
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 8: Phơng trình mặt cầu
Giáo viên:
- Nêu định lí và hớng dẫn học sinh
chứng minh
- Hớng dẫn học sinh viết phơng trình
mặt cầu
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
- Ghi nhớ nội dung và chứng minh định
lí theo hớng dẫn của giáo viên
- Nắm đợc cách viết phơng trình mặt cầu
khi biết toạ độ tâm và bán kính
- Vận dụng giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 9: Cách xác định tâm và
bán kính của mặt cầu
Giáo viên:
- Yêu cầu học sinh khai triển phơng trình
(1) và nêu nhận xét về phơng trình dạng
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
với điều kiện
2 2 2
0A B C D+ + >
- Yêu cầu học sinh xác định tâm và bán
kính của mặt cầu có phơng trình (2)

2 2 2
1 2 3 25x y z + + + =
b) Mặt cầu đờng kính AB có tâm I là trung điểm của
AB, bán kính r =
2
AB
Do đó I (0; 4; 2)
và r =
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
1 1 4 4 1 3 2
2
+ + =

Vậy phơng trình mặt cầu là

( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
0 4 2 2x y z + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 4 2 2x y z + + =
Nhận xét:
1. Phơng trình mặt cầu (S) có thể viết dới dạng

2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + =