Kinh nghiệm dạy học
trong dạy và học toán THCS
Một vài phơng pháp tính tổng các số
tạo thành d y số có quy luậtã
A/ đặt vấn đề
Trong nhà trờng THCS , tất cả các em học sinh đều đợc rèn kỹ năng tính giá trị
biểu thức, thờng xuyên bồi dỡng kỹ năng tính nhanh , tính hợp lý. Tuy nhiên khi
gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số lập thành dãy số có quy luật , thì hầu hết
các em , kể cả học sinh giỏi , có năng khiếu về môn toán cũng thờng tỏ ra rất lúng
túng , rất bối rối , bởi lẽ các em cha có phơng pháp giải loại toán này . điều đó
cũng dễ hiểu vì trong chơng trình THCS rất ít tài liệu đề cập đến vấn đề này , các
em học sinh cha có ý thức tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải . Trong nhiều kỳ
thi học sinh giỏi môn toán , tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải .Trong nhiều kỳ
thi học sinh giỏi môn , đặc biệt là môn toán 6 , các em học sinh thờng để mất điểm
ở các bài toán loại này . Để bổ xung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi , và
nâng cao chất lợng học sinh giỏi ,tôi đã đi sâu và tìm hiểu kỹ một số phơng pháp
cơ bản để tính các tổng hữu hạn .
B/ Giải quyết vấn đề :
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a
1
+ a
2
+ .... a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã
cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng
chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S

2
( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + (2k 1) + ( 2k +1) = k
2
+ (2k +1)
vì k
2
+ ( 2k +1) = ( k +1)
2
nên ta có (3) tức là S
k+1
= ( k +1)
2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán
học .
1, 1 + 2+3 + .... + n =
2
)1(
+
nn
2, 1
2
+ 2
2

5
=
12
1
.n
2
(n + 1)
2
( 2n
2
+ 2n 1 )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a
i
, i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai
số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a
1
= b
1
- b
2

a
2
= b
2
- b
3

.... .... .....

1
.......
13.12
1
12.11
1
11.10
1
++++
Ta cã :
11
1
10
1
11.10
1
−=
,
12
1
11
1
12.11
1
−=
,
100
1
99
1

1
......
3.2
1
2.1
1
+
+++
nn
( n > 1 )
= 1-
11
1
+
=
+
n
n
n
VÝ dô 3 : tÝnh tæng
S
n
=
)2)(1(
1
......
5.4.3
1
4.3.2
1




−
)2)(1(
1
)1(
1
2
1
........
4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=




)2)(1(
1
2.1
1
2
1
++
+
=








++
−
nn
nn
nn
VÝ dô 4 : tÝnh tæng
S
n
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
..... ..... .....

222
+
−=
+
+
ii
ii
i
i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó S
n
= ( 1-








+
++






+
22222

( 4)
ta viết lại S nh sau :
S = 1+2 (1+2+2
2
+....... + 2
99
)
S = 1+2 ( 1 +2+2
2
+ ...... + 2
99
+ 2
100
- 2
100
)
=> S= 1+2 ( S -2
100
) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2
101
S = 2
101
-1
Ví dụ 7 : tính tổng
S
n
= 1+ p + p
2
+ p

n
p
n
)
S
n
= 1 +p.S
n
p
n+1

S
n
( p -1 ) = p
n+1
-1
S
n
=
1
1
1


+
p
P
n

Ví dụ 8 : Tính tổng

n
+ (n+1)p
n
p
n
+ ( n+1)
p
n+1
= ( 2p + 3p
2
+4p
3
+ ...... +(n+1) p
n
) ( p +p + p + .... p
n
) + ( n+1) p
n+1
= ( 1+ 2p+ 3p
2
+4p
3
+ ....... + ( n+1) p
n
) ( 1 + p+ p
2
+ .... + p
n
) + ( n +1 ) p
n+1

-
1
1
1
−
−
+
P
p
n
 S
n
=
2
11
)1(
1
1
)1(
−
−
−
−
+
++
P
p
p
Pn
nn

==
=
n
i
i
n
i
i
aaaa
11
.
VÝ dô 9 : TÝnh tæng :
S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)
Ta cã : S
n
=
∑∑ ∑∑
== ==
+=+=+
n
i
n
i
n
i
n
i
iiiiii

i
(Theo I )
cho nªn : S
n
=
3
)2)(1(
6
)12)(1(
2
)1(
++
=
++
+
+
nnnnnnnn
VÝ dô 10 : TÝnh tæng :
S
n
=1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta cã : S
n
=
∑ ∑
= =
−=−
n
i
n

++
nn
nnnnn