ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

Trần Thị Nhung

PHÂN THÚC CHÍNH QUY
NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG
TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC

Thái Nguyên - 2017


ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

Trần Thị Nhung

PHÂN THÚC CHÍNH QUY
NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG
TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap
Mã so: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC
GS.TSKH. NGUYEN VĂN MẬU


2.1.2

Phân thúc chính quy nhieu bien....................................24

2.2 Phân thúc chính quy suy rông....................................................28
2.2.1

Phân thúc chính quy suy rộng một bien..........................28

2.2.2

Phân thúc chính quy suy rộng nhieu bien......................30

Chương 3. Các dang toán liên quan

33

3.1 Một so ky thuật vận dung bat đang thúc AM-GM........................33
3.1.1

Đieu chính và lna chon tham so.....................................33

3.1.2

Ky thuật tách, ghép và phân nhóm.................................40

3.2 Các dang toán liên quan.............................................................47
3.2.1

Bieu dien một so dang đa thúc nhieu bien.....................47 .

văn này đưoc chia làm ba chương:
Chương 1. Một so dang đai lưong trung bình cơ bán
Chương 2. Phân thúc chính quy và chính quy suy rộng.
Chương 3. Các dang toán liên quan.
Đe hoàn thành luận văn này, trưóc nhat tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân
thành sâu sac tói GS.TSKH. Nguyen Văn Mậu đã dành thòi gian hưóng dẫn,
chí báo tận tình và giúp đõ tôi trong suot quá trình xây dnng đe tài cũng như
hoàn thành luận văn.
Tiep theo, tôi cũng xin gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô đã
đoc, kiem tra, đánh giá và cho tôi nung ý kien quý báu đe luận văn đưoc
hoàn thiện hơn. Qua đây, tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn tói Ban giám
hi¾u, phòng Đào tao, khoa Toán - Tin Trưòng ĐHKH, Đai hoc Thái Nguyên
và các ban đong nghiệp đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong suot quá trình hoc
tập tai trưòng.


Chương 1. M®t so dang đai lưang
trung bình cơ bán
1.1

Khai trien Newton
Ta nhac lai khai trien Newton (xem [1], [3]) cho c¾p so và b® so.

Đ%nh lý 1.1 (Khai trien nh% thúc Newton). Vói a, b là các so thnc và n là
so tn nhiên lón hơn bang 2, ta luôn có
n

(a + b) =

n.

α!

(1.2)

|α|=m

α

α

trong
đó α! = α1!α2! · · · αn! vói α = (α1, α2, · · · , αn) trong Nn, xα = x 1 x 2 . . .
αn
x
1

n

2

và tong chay qua tat cá α có the có trong N thóa mãn |α| = α1 + α2 + · · · +
αn = m.
Đ%nh lý 1.3 (Khai trien Taylor). Cho m®t đa thúc
f (x) =

n
.
j=0

ajxj.

Ta có

.
.j d

n

f (x) =

.

ak
k=
0

dx

.
k
d
x
= 0, neu j > k,.
.j
dx
k!
n
.
k
x =
akxk−j, vói bat kì j nam giua 0 và

.

.
n

1 + 1x + · · · + xn−1

= xnh(x),


2
trong đó

.
h(x) = 1
+

n
1
x + · · · 1 n−1
x
2
n
+

.n
.


Áp dung công thúc Leibniz


(n − j)!j! dx
n !n !

.j

.

xj.

(n − j)!j!j!

dx
. .j

h(x).

dx

g(n)(0) = n!h(0) = n!.

1.2

Đ%nh lý ve các giá tr% trung bình c®ng và nhân
Tiep theo, ta se đe c¾p đen đ%nh lý ve bat đang thúc giua giá tr% trung

bình c®ng và trung bình nhân (còn goi là bat đang thúc AM-GM 1) và dang
bat đang AM-GM suy r®ng. Đ¾c bi¾t, trong chương này trình bày m®t so
phương pháp chúng minh bat đang thúc AM-GM cna các nhà toán hoc noi
tieng.

1


ChÚng minh. Sú dung bat đang thúc AM-GM đoi vói b® so xk :=
ak
(k = 1, 2, . . . , n), ta có ngay bat đang thúc GM-HM.
1

Arithmetic mean value -Trung bình c®ng, Geometric mean value -Trung bình nhân.
Harmonic mean -Trung bình đieu hòa

2


Cho đen nay, ngưòi ta đã biet đen hàng trăm cách khác nhau đe chúng
minh Bat đang thúc giua giá tr% trung bình c®ng và trung bình nhân.
Moi cách chúng minh Đ%nh lý 1.5 đeu có nhung đ¾c thù theo ý tưóng và
muc tiêu riêng cna các nhà toán hoc. Có nhung cách chúng minh (cna m®t
so nhà khoa hoc noi tieng) xuat phát tù nhung ý tưóng tưóng như không
liên quan trnc tiep gì tói các giá tr% trung bình c®ng và trung bình nhân cna
b® so dương đã cho.
Sau đây, ta se trình bày m®t so cách chúng minh tương đoi sơ cap và
de hieu giúp ta nhìn nh¾n các mó r®ng sau đó m®t cách h¾ thong và có tính
lôgic tn nhiên (xem [1]).
1.2.1. Quy nap kieu Cauchy
Đây là kieu quy nap theo c¾p hưóng (lên-xuong) do Cauchy đe xuat
vào năm 1821.
Tù h¾ thúc b¾c hai
u2


2 “
4
2
2
1
1 1
√
“ [(x1x2)2 (x3x4)2 ] 2 = 4 x1x2x3x4.
(1.6)
Tiep tuc quá trình như trên ta thay bat đang thúc (1.3) đúng vói n = 2, 4, .
. . và nói chung, đúng vói n là lũy thùa cna 2. Đây chính là quy nap theo
hưóng lên trên.
Bây giò ta thnc hi¾n quy trình quy nap theo hưóng xuong phía dưói. Ta
chúng minh rang, khi bat đang thúc (1.3) đúng vói n (n > 1) thì nó cũng
đúng vói n − 1. Thay xn trong (1.3) bói
x1 + x2 + · · · +
xn−1 n − 1


và giu nguyên các bien xi khác, tù (1.3) ta thu đưoc
x1 + x2 + · · · + xn−1
n−1
x1 + x2 + · · · + xn−1
+
“
.
.
n
1
x1 + x2 + · · · + xn−11 n

· · · x n−1.

Tù ket quá đã chúng minh theo c¾p hưóng (lên-xuong), ta thu đưoc phép
chúng minh quy nap cna Đ%nh lý 1.5.
Tiep theo, theo đúng cách chúng minh quy nap kieu Cauchy, ta chúng
minh đưoc các bat đang thúc sau đây.
Bài toán 11.1 (Bat đang thúc Ky Fan). Giá sú x1, x2, . . . , xn là các so dương
trong .0, 2.. Khi đó
n
n
Q
Q k
(1 − xk)
k=1 x
k=1
n
n
.
..
.
.n .
.
k n
(1 −
k=1 x ™
xk )
k=1

Dau đang thúc xáy ra khi và chí khi x1 = x2 = · · · = xn.
Bài toán 1.2. Giá sú x1, x2, . . . , xm là các so không âm và n = 1, 2, . . ..

j

trong đó
Mk(x1, . . . , xn) =
.

x 1 · · · xjn, ji ∈ N (i = 1, 2, . . . , n).

aj
j

1 ··· n

j1 +···+jn =k

1

(1.7)

n

Trong muc này ta quan tâm chn yeu đen các dang đa thúc đong b¾c bien so
thnc và nh¾n giá tr% thnc, đ¾c bi¾t là các đa thúc đoi xúng sơ cap quen
biet liên quan đen các hang đang thúc đáng nhó trong chương trình toán
trung hoc pho thông.
Trưóc het, ta nhac lai công thúc khai trien nh% thúc Newton:
n

(x + a) =


,
.
n
aiaj

1™i
nhung đoi tưong cơ bán can t¾p trung nghiên cúu.
Đ%nh nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]). Cho a là b® n so dương {a1, a2, . . . , an}
(n “
1, n ∈ N). Khi đó
f (x) = (x + a1)(x + a2) . . . (x + an)
= xn + E1(a)xn−1 + E2(a)xn−2 + . . . + En(a),
trong đó
n

E1(a) =

.

i=1

ai, E2(a) =
.

aiaj, . . . , En(a) = a1a2 . . . an.

1™i
x

Vì tat cá các ai > 0 và t
:=

= 0 và v
:=

= 0 không phái là nghi¾m cna

x

y
x
y
phương trình f (t, 1) = 0 và f (1, v) = 0, tương úng, = 0 và = 0
nên
x
y
không phái là nghi¾m b®i trong các phương trình nh¾n tù đao hàm cna nó.
Tù đó ta có the ket lu¾n rang các so Pi dương, túc là phương trình
Pk−1x 2+ 2Pkxy + Pk+1y = 0
nh¾n đưoc tù f (x, y) = 0 bang cách lay vi phân liên tiep theo x và y. Do
phương trình này có nghi¾m thnc nên Pk−1Pk+1 ™ P 2.
Bài toán 1.4. Chúng minh bat đang thúc
Er

k

1E r+1™

n!

Ek+1 ™

(k + 1)(n − k + 1) k−
1 .
™ E2.
Ek+1
E
k(n − k)
k
Tù đây, ta có ngay đieu phái chúng minh.

n!

k


Bài toán 1.5. Cho các so ai > 0 (i ∈ {1, . . . , n}) và không đong thòi
bang nhau. Chúng minh bat đang thúc
1
2

1

1

P1 > P 2 > P 3
n
3 > · · · > Pn .


1
r

r+1
Pr+1 .

Nh¾n xét 1.1. Ta de dàng chúng minh Pr −1Pr+1 < P

2

bang phương

r

pháp quy nap.

Th¾t v¾y, giá sú bat đang thúc đúng vói n − 1 so dương a1, a2, . . . ,
an−1
và
đ¾t
Er , P là các Er, Pr tao bói n − 1 so ay và giá sú tat cá các so đó
r


+ Can2 ,

r

trong đó

2 r
r
A ={(n − r)2 − 1}P Pr+
−
(n
−
r)
P
r−
r

1

1

r

P

B
=
(


Pr
P

r

r−1Pr+1
r
r

r

r

r

có

r

< PrPr−2 − Pr < Pr−1
r

Pr

r

r

r


p1



p2

· · ·

pn

=

. n

,

‚
aiaj
.
.
,1™i
(x1x2)x3x4 · · · xn+1 = 1,

(1.13)


suy ra
x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 “ 1 + x1x2 + x3 + x4 + · · · + xn + xn+1 “
1 + n.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.
1.2.4. Đong nhat thNc Hurwitz
Xét hàm so n bien thnc f (x1, x2, . . . , xn). Ký hi¾u P f (x1, x2, . . . , xn)
là tong các f theo tat cá n! hoán v% cna các đoi so xi. Vói quy ưóc như v¾y,
ta
n
n
n
có
.
P
n
x
1 = (n − 1)!(x1 + x2 + · · · + xn),
P x1x2 . . . xn = n!x1x2 · · · xn.
Xét các bieu thúc
theo công thúc sau đây
 gk xác đ%nh
n−1
g1 = P [(x 1 − xn−1)(x1 − x2)],

2

g1 = P xn + P xn − P xn−1x2 − P xn−1x1
1

2

1

= 2P xn − 2P xn−1x2.
1

2

1

Hoàn toàn 
tương tn, ta cũng có
g2
= 2P x1n−1x2 − 2P 1xn−2x2x3,


g3
= 2P xn−2x2x3 − 2P xn−3x2x3x4,
1
1
.........




2

n

1
2n
!

(g1 + g2 + · · · + gn−1) “ 0.

1.2.5. Đang thNc hàm
Xét bài toán xác đ%nh giá tr% lón nhat cna bieu thúc
M (x1, x2, . . . , xn) = x1x2 · · · xn
vói đieu
ki¾n

x1 + x2 + · · · + xn = a, xi “ 0, i = 1, 2, . . . , n.

Ký hi¾u giá tr% lón nhat cna M là fn(a) úng vói n ∈ N và a > 0.
Ta co đ%nh xn và như v¾y can chon x1, x2, . . . , xn−1 thóa mãn đieu ki¾n
x1 + x2 + · · · + xn−1 = a − xn
đe tích x1x2 · · · xn−1 là lón nhat.
Tù đây suy ra
fn(a) =
max

[xn fn−1(a − xn )], n = 2, 3, . . . ,

0™xn™a

trong đó f1(a) = a.
Thnc hi¾n đoi bien xi = ayi, i = 1, 2, . . . , n, ta thu đưoc


n

, chính là đieu phái chúng minh


1.2.6. Đong nhat thNc Jacobsthal
Sú dung hang đang thúc quen biet
tn − nt + n − 1 = (t − 1)[tn−1 + tn−2 + · · · + t − (n − 1)], n ∈ N∗,
tn + n − 1 “ nt, ∀t “ 0, n ∈ N∗ .

ta suy ra

(1.15)

Ký
hi¾u
‚
.

n

Y x i.
1
An =
n x , G =,
. .i n
i=
n
n

Gn−1
Gn−1
A
n−
Tù (1.17) và (1.16) ta thu
Gn .
1
đưoc
Gn−1 .

An “

(n − 1)

hay

G

n

(1.16)

n−
1

− (n − 1) +
n

n−1