RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TỔ
CHỨC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH TRƯỜNG HỢP
DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN
Training thinking for students through the organization of solving problems in
different ways: case of teaching students to calculate integrals
TÓM TẮT
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên dạy học Toán hiện nay là
rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Để hoàn thành được nhiệm vụ này, giáo
viên có thể tổ chức các hoạt động khám phá chohọc sinh khi dạy học kiến thức mới và
thông qua hoạt động dạy học giải các bài toán. Đặc biệt, có một cách hữu hiệu để rèn
luyện tư duy cho học sinh là tổ chức giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau. Dựa trên
tư tưởng này, chúng tôi triển khai thực nghiệm cho HS lớp 12 giải bài toán bằng nhiều
cách khi tính tích phân.
Từ khóa: rèn luyện tư duy, giải toán bằng nhiều cách, tính tích phân.
ABSTRACT
An important task of the mathematics teacher is to train and to develope thinking for
students. To accomplish this task, teachers can organize activities for students to
discover new knowledge and activities of solving problems. In particular, there is an
effective way to train students to think is that teachers can organize activities of solving
problems in many different ways. Based on this idea, we implement an experiment for
students in class 12 to calculate integrals in various ways.
Keywords: train thinking, solve problems in different ways, calculate integrals
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Hoạt động giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau có ý nghĩa quan trọng trong dạy học
toán. Một trong các ý nghĩa ấy là giúp học sinh (HS) phát triển được tư duy. Bởi lẻ, để
1


có thể giải được nhiều cách, người làm cần phải biết huy động thật nhiều kiến thức liên
quan, từ đó họ tiếp tục phân tích, tổng hợp, đánh giá các dữ kiện của bài toán và sau
cùng là tìm ra lời giải thích hợp. Quá trình ấy buộc HS phải sử dụng các thao tác tư duy

Thế Thạch chủ biên - 2008),

2


-

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn toán lớp 12 (Nguyễn Thế
Thạch chủ biên - 2009)

Mục tiêu: nhằm chỉ ra những nội dung về kiến thức, kĩ năng và phương pháp mà giáo
viên (GV) có thể tổ chức dạy học chủ đề tích phân theo chương trình ban cơ bản để
giúp HS học tập chủ đề này với hiệu quả cao nhất có thể.
2.2. Thực nghiệm sư phạm
2.2.1. Đối tượng và thời gian thực nghiệm: Học sinh lớp 12A2 (N = 31) thuộc trường
THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, thành phố Cần Thơ. Thời gian: từ 9h45 đến 10h30
(giờ Việt Nam) buổi sáng ngày 29/02/2016
2.2.2. Công cụ để tổ chức thực nghiệm và kịch bản: Tổ chức cho HS giải bài toán sau:
π
2

Hãy tính tích phân sau bằng 5 cách khác nhau: I = sin  π − x  dx
∫0  4 ÷
Thực nghiệm được thiết kế theo 3 pha:
Pha 1: (HS làm bài cá nhân - 15 phút). Tổ chức cho các em làm bài cá nhân. HS làm
bài trên giấy do GV photo có in sẵn bài toán.
Mục tiêu: Pha 1 được tổ chức cho các em làm việc cá nhân. Điều đó đồng nghĩa với
việc chúng tôi muốn tìm hiểu mối quan hệ của cá nhân HS. Mọi ứng xử của HS sẽ được
thể hiện trên bài làm. Cụ thể hơn, HS thể hiện được khả năng của mỗi em trong việc
giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau.

phân. Trong đó, các phương pháp tìm nguyên hàm ít nhiều đã được đề cập.
c. Các cách giải có thể
S1. Vận dụng định nghĩa nguyên hàm
π
2

π
2

π

'


π

π

π
2
I = ∫ sin  − x ÷dx = − ∫  cos  − x ÷÷ dx = − cos  − x ÷
4

4

4
0
0
0
2

4
0
0
0

4


= sin

3π
π
2
2
− sin =
−
=0
4
4
2
2

S3. Đổi biến số
Đặt t =
−

π
π
π
π


= − cos

π
2
2
 π
+ cos  − ÷ = −
+
=0
4
2
2
 4

S4. Sử dụng vi phân
π
2

π
2

π
2

π

π
 π


π
2

π
2
π

 π

I = ∫ sin  − x ÷dx = ∫  sin cos x − cos sin x ÷dx =
( cos x − sin x ) dx
4
4
2 ∫0
4


0
0
=

2
( sin x + cos x )
2

π
2

=


S5
31 (100%)

9 (31%)

12 (85.7%)

14 (45.2%)

17 (94.4%)

28 (90.3%)

đúng
- Chiến lược chiếm ưu thế thuộc về S5 (31/31 HS, chiếm 100%). Nhìn chung, các em
đều định hướng đúng là có thể sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân để biến đổi
5


tích phân đã cho thành tổng (hiệu) của hai tích phân có thể sử dụng trực tiếp bảng
nguyên

hàm.

Hơn

nữa,

một



a

a

b

f ( x ) dx = 0; ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

- Chiến lược S1 cũng được rất nhiều HS lựa chọn (29/31 HS chiếm 93.55%). Nhìn
chung, các em nắm vững định nghĩa nguyên hàm và có ý thức trong việc khai thác
phương pháp này.Tuy nhiên, chỉ có 9 HS (chiếm 31.03%) có lời giải đúng. Điều này
cũng dễ thấy vì trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, các bài tập đều có thể giải
được bằng những cách được trình bày cụ thể là bảng nguyên hàm, đổi biến số và đặt ẩn
phụ. HS cũng không có nhiều cơ hội để luyện tập phương pháp này khi không tìm hiểu
nhiều cách để giải một bài tập.
- Chiến lược S4 cũng có nhiều HS lựa chọn (18/31 HS chiếm 58.06%). Đây là chiến
lược có tỉ lệ HS làm đúng cao nhất (17/18 HS chiếm 94.44%) khi đã lựa chọn và trình
bày lời giải theo phương pháp này. Nhận xét về ưu (nhược) điểm của từng cách giải khi
được khảo sát đã cho thấy tính ưu việt của phương pháp vi phân.
- Chiến lược S2 nhận được ít sự lựa chọn nhất, bởi hầu hết HS đầu cho rằng việc tìm
π

π

nguyên hàm của sin  − x ÷, cos  + x ÷ là không có nhiều khác biệt. Những hàm số
4

4


=
cos
(
)

÷

÷
 − x ÷+ C dễ mắc sai sót

÷
∫ 4 
4

4


π

π





∫ cos  4 + x ÷ dx = sin  4 + x ÷ + C

ít khi mắc sai sót

Những sai sót mà HS gặp phải khi trình bày lời giải theo các cách khác nhau là:

∫0  4 
4

4



π  π
π


π

Cách viết đúng sin  − x ÷ = cos  −  − x ÷ = cos  + x ÷
4


4

2  4
Viết thiếu cung, sai cung của hàm số lượng giác (4 HS). Dưới đây là bài làm của một

HS H31 mắc phải lỗi này:
π
2

π
2

π

π
2

2
2
2
2
cos xdx +
− sin xdx =
sin x +
cos x
∫
∫
2 0
2 0
2
2
0
0

Cách viết đúng

Viết sai dấu (6 HS): Dưới đây là bài làm của một HS H5 mắc phải lỗi này:
π
2

π
2

π

π
2

π
4

π
2

π
2

π

π
 . Cách viết đúng
π

π

sin
−
x
dx
=
cos
+
x
dx
sin

0
 − x÷
4

π
2

π
2

π

− cos  − x ÷
4

Cách viết đúng sin  π − x ÷dx =
'
∫0  4 
π

 − x÷
4
 0
π
2

Viết thiếu dx (5 HS): Dưới đây là bài làm của H15 mắc phải lỗi này:
π
2


cos

÷

÷

÷
∫0  4  ∫0  4 
∫0  4  ∫0  4 + x ÷ dx

Viết sai công thức lượng giác sin ( a − b ) = sin a − sin b thay vì công thức đúng là
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
Viết thiếu kí hiệu đạo hàm (6 HS). Dưới đây là bài làm của H19 mắc phải lỗi này:

π

π
2
− cos  − x ÷
π

4

sin
∫0  4 − x ÷ dx =  π  .
 − x÷
4
 0

π


π





∫ sin  4 − x ÷ dx = − cos  4 − x ÷
0

π
2

0

π
2

π
2

Cách viết đúng sin  π − x  dx = −1  − cos  π − x  

÷÷
∫0  4 ÷ ( ) 
4
 0
Không tìm vi phân khi đổi biến số (1 HS) t =
Cách viết đúng t =


2
0 (0%)

3
1

4
7

5
23

Pha 2
Bảng 2.1: Thống kê số nhóm theo chiến lược giải, theo cách giải đúng

Số nhóm
Số nhóm
làm

S1
5 (100%)

S2
5 (100%)

S3
5 (100%)

S4
5 (100%)

π
−
4

π
4
−

π
4

. Thêm

vào đó, chỉ có 4 nhóm (chiếm 80%) làm đúng theo cách giải 5 bởi vì nhóm 5 đã khai
π
π
triển sai công thức lượng giác sin( − x) = sin − sin x . Mặc dù, làm việc nhóm tạo cơ
4

4

hội cho các em sữa chữa những sai lầm cho nhau. Nhưng cũng có 2 nhóm chưa thực sự
làm tốt được điều đó. Chính vì vậy, chúng tôi cũng cần có pha 3 với kết quả như bên
dưới đây.
Pha 3
Giáo viên tổ chức cho đại diện của mỗi nhóm trình bày sản phẩm của nhóm, các HS ở
nhóm khác nhận xét, phản biện sản phẩm của nhóm được trình bày, đại diện nhóm trình
bày bảo vệ quan điểm của nhóm. Giáo viên cho HS thống nhất ý kiến và đưa ra kết luận
sau cùng. Qua hai pha: làm việc cá nhân và làm việc theo nhóm trước đó, HS dễ dàng
nhận xét, rút ra được những kiến thức, kinh nghiệm khi trình bày lời giải bài toán đã



π
2

π
2

π

π

sin
−
x
dx
=
cos

÷
∫0  4  ∫0  4 + x ÷dx thì ưu điểm là tìm được trực tiếp nguyên hàm là

π

sin  + x ÷ hạn chế được việc sai dấu nhưng nhược điểm lại là khó khăn khi tìm ra
4

công thức biến đổi sin u thành cos u
Đối với S3 cách đổi biến số t =


2

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du

Đối với S5 cách dùng công thức cộng

π
2

π



π
2



π

π



∫ sin  4 − x ÷ dx = ∫  sin 4 cos x − cos 4 sin x ÷ dx
0