GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA
MÁY TÍNH CASIO FX - 570 ES PLUS
Solving irrational equations and irrational system of equations for high
school students with the support of computer Casio FX – 570 ES Plus
Tóm tắt
Bài báo này giới thiệu cho HS một hướng tiếp cận mới khi tìm lời giải bài
toán phương trình và hệ phương trình vô tỷ một cách hiệu quả với sự hỗ trợ của
máy tính Casio FX - 570 ES Plus. Từ đó giúp HS nâng cao khả năng tư duy và xử
lý nhanh nhạy các bài toán tương tự.
Từ khóa: Phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ, giải phương trình và hệ
phương trình vô tỷ, sự hỗ trợ của máy tính Casio FX - 570 ES Plus.
Summary
This paper introduces students to a new approach to the problem of finding
the solution equations and irrational system of equations effectively with the help
of computer Casio FX - 570 ES Plus. Thereby improving thinking ability and
nimble handling similar problems .
Keywords: Irrational equations, system of irrational equations , solving
equations and irrational system of equations, the support of computer Casio FX 570 ES Plus.
1. Đặt vấn đề
Một trong những dạng toán khó thường gặp ở bậc phổ thông và kỳ thi đại
học là giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Dạng toán này đòi hỏi học sinh
(HS) phải có tầm nhìn bao quát, tư duy theo nhiều hướng giải khác nhau mới có
thể tìm được lời giải. Vậy, vấn đề đặt ra là làm sao có thể định hướng được cách
giải dạng toán này một cách chính xác? Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực
khi giải phương trình và hệ phương trình là máy tính bỏ túi. Tuy nhiên, nhiều HS
1


vẫn chưa khai thác được chức năng này của máy tính. Để trả lời cho câu hỏi trên,
bài viết giới thiệu một định hướng mới cho việc tìm lời giải bài toán phương trình
và hệ phương vô tỉ một cách rất hiệu quả với sự hỗ trợ của máy tính Casio FX 570 ES PluS.

Vậy, ta được bảng gồm các giá trị của x từ − 2 tới 10. Nhìn vào bảng giá trị ta

thấy tại x= 0 và x= 1 thì nhận được giá trị bằng 0.
Vậy, x = 0 và x = 1 là hai nghiệm của phương trình.
Bước 2: Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x( x - 1) .
+ Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần bổ sung thêm -3x
+ Tiếp theo muốn sau khi nhân lượng liên hợp để mất đi số 1 và số 4 trong
cả hai căn thức thì chúng ta tách 2 x+ 3 = ( x+1) + ( x+ 2) .
Vậy, lời giải bài toán như sau :

2


(1) ⇔ 3x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 = 0
⇔ 3( x 2 − x) +  ( x + 1) − 3x + 1  +  ( x + 2) − 5 x + 4  = 0


⇔ 3( x 2 − x) +






x2 − x
x2 − x
+
=0
( x + 1) + 3x + 1 ( x + 2) + 5 x + 4


Vậy, phương trình (1) có nghiệm là:
Bài 2: Giải phương trình:
Giải: Điều kiện: x ≥ −2 .

x =0
(2) ⇔ 
(nhận).
 x = 1

x = 0

 x =1


x2 + 2x − 8
= ( x + 1)
x2 − 2x + 3

(

)

x + 2 − 2 (1)

Bước 1: Sử dụng Casio tìm nghiệm của phương trình (1)
+ Nhập

x2 + 2x − 8
x2 − 2x + 3


x + 2 + 2 ( x + 4)

2

x − 2x + 3

3

)

= ( x + 1)

(

x+2 −2

)


⇔


x+2 −2 



(

)


(

)

)

x + 2 + 2 ( x + 4 ) = ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 3) (2)

)

x + 2 + 2 > 0, x ≥ −2 , mà x 2 − 2 x + 3 > 0 , suy ra x ≥ −1

Phương trình (2) ⇔ ( x + 4 ) x + 2 − ( x 3 − x 2 − x − 5) (3)
Bước 3: Tiếp tục sử dụng Casio hỗ trợ tìm nhân tử chung của (3)
+ Nhập hàm ( x + 4 ) x + 2 − ( x 3 − x 2 − x − 5)
+ Nhấn SHIFT CALC 1 = kết quả x ≈ 3,30281878 nhấn SHIFT STO A (lưu
số liệu vào A). Tìm thêm một nghiệm nữa nhấn ↑ SHIFT CALC -1 = tuy nhiên, kết
quả máy tính lại cho x ≈ 3,30281878 vì thế chưa thể tìm ra được nhân tử. Để tìm
3
2
nghiêm còn lại tiếp tục nhấn ( x + 4 ) x + 2 − ( x − x − x − 5)  : ( x − A) sau đó

nhấn SHIFT CALC 1 = lúc này máy tính lại ra kết quả “can’t solve” tức là phương
trình vô nghiệm trong trường hợp này. Vì thế ta nghĩ rằng phương trình này nếu
còn một nghiệm nữa thì có thể đã bị loại bởi điều kiện x ≥ −2 , nên muốn tìm
nghiệm còn lại đó ta bỏ đi điều kiện này trong máy tính bằng cách nhấn

( x + 4 ) ( x + 2 ) − ( x3 − x 2 − x − 5)2
2


⇔ ( x + 4) ( x − 1 −

)
x + 2 ) + ( x + 1) ( x − 3x − 1) = 0
x + 2 ) + ( x + 1) ( x − 1 − x + 2 ) ( x − 1 +

⇔ ( x + 4 ) x − 1 − x + 2 + x3 − 2 x 2 − 4 x − 1 = 0
2

)

x+2 =0

 x − 1 − x + 2 = 0 ( 4)
⇔
( x + 4 ) + ( x + 1) x − 1 + x + 2 = 0 ( 5 )


(

Giải phương trình (4) :

)

x ≥ 1
3 + 13
x + 2 = x −1 ⇔  2
⇔
2
 x − 3x − 1 = 0

( 1)
( 2)

 2 ≤ y ≤ 12

Giải: Điều kiện: 

 − 12 ≤ x ≤ 12

Sử dụng Casio hỗ trợ tìm nhân tử chung từ phương trình (1)
Bước 1: Nhập hàm x 12 − y + y ( 12 − x 2 ) −12 sau đó nhấn SHIFT CALC
12 = 1 = màn hình máy tính cho kết quả x = 0. Nhấn SHIFT CALC 11 = 1 = cho
kết quả x = 1. SHIFT CALC 3 = 1 = cho kết quả x=3. Bảng giá trị tương ứng x,
y như sau.

x
y

0 1 3
12 11 3

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa x, y. Nhấn MODE 3 3 sau đó nhập số liệu như
trên bảng, nhấn AC.
Bước 3: Nhấn SHIFT 1 5 3 = kết quả màn hình C=-1. Nhấn SHIFT 1 5 2 =
kết quả màn hình B=0 . Nhấn SHIFT 1 5 1 = kết quả màn hình A=12. Suy ra:
y = 12 − x 2
Phương trình (1) ⇔ x

(



⇔x
⇔

(

12 − x 2

)

12 − y − x −

)(

12 − y + x

)

12 − y − x  x

y + 12 − x 2 − 12 − x 2

 12 − y − x = 0
⇔ 
x y + 12 − x 2 − 12 − x 2


)

(

( 3) ⇔ 12 − y = x ⇔ 

 y = 12 − x

2

( 4 ) ⇔ x y + x 12 − x 2 − x 12 − x 2 − 12 − x 2 12 − y = 0
⇔x y=



( 12 − x2 ) ( 12 − y ) ⇔ 0x2≤yx=≤14412−12 y −12 x2 + x2 y


0 ≤ x ≤ 12
0 ≤ x ≤ 12
⇔ 
⇔

2
2
 y = 12 − x
12 ( 12 − y − x ) = 0

Từ (3) và (4) ta có y = 12 − x 2 thay vào (2) ta được:

2 ( x + 3)
x − 8 x −1 = 2 10 − x ⇔ ( x − 3)  x 2 + 3x + 1 +

1 + 10 − x 2

toán như trên giúp các em luôn sẵn sàng tìm tòi, sáng tạo nhiều điều mới hơn trong
quá trình giải các loại bài toán khác nói chung, phương trình và hệ phương trình vô
tỉ nói riêng. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán cho HS Trung
học phổ thông trong thế kỷ 21.
______________
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2001), phương pháp dạy học môn Toán,
NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Võ Đại Mau (2007), Phương trình và hệ phương trình vô tỉ, NXB Trẻ, TP. Hồ
Chí Minh.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014), Đề thi đại học môn Toán khối A.
4. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2015), Đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
5. Nguyễn Trường Chấn, Nguyễn Thế Thạch (2008), hướng dẫn sử dụng và giải
toán trên máy tính Casio FX - 570 ES Plus, NXB Giáo Dục.

8