18 bài tập - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình
chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh bên SC =
khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) .
A. d =

a 6
12

B. d =

a 6
6

C. d =

a 6
4

D. d =

2a
. Tính
3

a 6
8

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90°, BC = 2a, ACB = 30° . Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) . Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm
của AB đến mặt phẳng ( SBC ) .

2

C.

a
6

D.

a 6
4

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Tỷ số

( SCD )
A.

bằng

SA
khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
a

a
là:
5
B. 2

2


Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4cm. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt
đáy là trung điểm H của AB. Biết rằng SH = 2 cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) là:
A. 1 cm

B. 2 cm

C. 3 cm

D. 4 cm

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là
điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2 HA . Gọi M là trung điểm của SC và N là điểm thuộc cạnh SB sao
cho SB = 3SN . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng

4
lần khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( ABC )
3

B. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng một nửa khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB )
C. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

1
khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC )
3

D. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

3

A đến ( SCD ) là:
A. 20 cm

B. 10 cm

C. 15 cm

D. 30 cm

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng
đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy bằng 45°. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính
khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) .
A. d =

a 2
2

B. d =

a
2

C. d =

a 2
4

D. d =

3a


a 15
5

B.

a 15
10

C.

a 10
2

D.

2a 15
15

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
mặt đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD. Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC )
bằng
A.

2a 21
. Độ dài cạnh SA là:
7
2a
3


A.

2a
3

B. a 3

C.

3a 3
2

D.

a
2

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD. Biết SH ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHM ) bằng
từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) khi ∆SAB là tam giác đều.
A. d =

a 21
21

B. d =

a 21
14



9 21
14

B. d =

21
7

C. d =

2 21
7

D. d =

3 21
7


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án C
Gọi I là trung điểm của MB.
Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG ⊥ ( ABC ) .
Từ G kẻ GH ⊥ AB , kẻ GK ⊥ SH với H ∈ AB, K ∈ SH .
Nên GK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( G; ( SAB ) ) = GK .
Ta có IC = MC 2 + MI 2 =
⇒ SG = SC 2 − GC 2 =

a 13


Câu 2. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .
Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = a 3 .
Đặt SH = x nên SB = x 2 +

a2
13a 2
2
2
2
, SC = SH + HC = x +
4
4

Mà SB 2 + SC 2 = BC 2 ⇔ x 2 =

a2
a
a
⇔ x = ⇒ SH =
4
2
2

Kẻ HK ⊥ BC , HI ⊥ SK với K ∈ BC , I ∈ SK nên HI ⊥ ( SBC ) .
µ = a 3 ⇒ 1 = 1 + 1 = 28
Mặt khác HK = HB.sin B
4
HI 2 HK 2 SH 2 3a 2

'
A
=

A 'C
a
2
⇒ A ' A = AC =
=
⇒
2
2
 DC = AC = a

2 2
+)

1
1
1
2
4
a
a
=
+
= 2 + 2 ⇒ DP =
⇒ d ( A, ( BCD ') ) =
2
2

+)

1
1
1
5
1
1
SA
=
−
= 2− 2 = 2⇒
=2
2
2
2
AS
AP
AD
4a
a
4a
a

Câu 5. Chọn đáp án C
+) Ta có AB 2 + AC 2 = 32 + 42 = 25 = BC 2
⇒ ∆ABC vuông tại A.
+) Kẻ AK ⊥ BC ( K ∈ BC ) , AP ⊥ SK ( P ∈ SK )
⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AP



Câu 6. Chọn đáp án B
+) d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) )
+) Kẻ HK ⊥ BD ( K ∈ BD ) , HP ⊥ SK ( P ∈ SK )
⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HP ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = 2 HP
+) ∆HBK vuông cân tại K ⇒ HK =
+)

BH
= 2.
2

1
1
1
1 1
=
+
=
+ ⇒ HP = 1
HP 2 HS 2 HK 2 2 2

⇒ d ( A, ( SBD ) ) = 2
Câu 7. Chọn đáp án A
+)

⇒

+)



MS 1
= ⇒ B đúng.
CS 2

=

NS 1
= ⇒ C đúng.
BS 3

1

d
M
,
SAB
=
d ( C , ( SAB ) )
(
)
(
)

2

⇒ D đúng.
+)  d C , SAB
) ) CA
 ( (

2
d ( C , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )
3
3
3
2


Câu 9. Chọn đáp án C
Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) , HP ⊥ SK ( P ∈ SK )
d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HP

⇒
·
·
= 60°
( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SKH
⇒ d ( A, ( SCD ) ) = HP = HK sin 60° =

3
HK
2

1

 S ABCD = 2S ABC = 2. 2 .20.20sin 60° = 200 3

1
1
S

·
·
+) (·
⇒ SDA
= 45° ⇒ AD = SA = a
( SCD ) , ( ABCD ) ) = SDA
1
1
1
1
1
2
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AP
SA
AB
a
a
a
a 2
a 2
⇒ AP =
⇒ d ( O, ( SBC ) ) =
2
4
⇒


d ( A, ( SBC ) )

=

KS 1
=
AS 2

1
a 57
AN =
2
19

Câu 12. Chọn đáp án A
Ta có: SH =

a 3
(do tam giác SAB đều)
2

Dựng
HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HF
Mặt khác HE = HB sin 60° =
Lại có

a 3
4

1

+
⇒ SH = a 3
2
2
HF
HE
SH 2

Khi đó SA = SH 2 + AH 2 = 2a

2a 21
7


Câu 14. Chọn đáp án B
Ta có: BH =

AC
=
2

AB 2 + BC 2 a 5
=
2
2

Do đó SH = SB 2 − BH 2 = a
Dựng HE ⊥ AB; HF ⊥ SE khi đó HF ⊥ ( SAB )
Do vậy d ( H , ( SCD ) ) = HF . Lại có HE =
Mặt khác

AB BC 3

⇒ HF =

Mặt khác

HE.B ' H
HE + B ' H
2

2

=

d ( B, ( B ' AC ) )

d ( H , ( B ' AC ) )

2a
3

=

BC 3
=
HC 2

3
Do đó d = .HF = a 3 .
2

a 21
a 21
=
+
⇒ HK =
⇒ d ( H , ( SCD ) ) =
2
2
2
HK
SH
HM
7
7

Mà AB / / ( SCD ) ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) =

a 21
7

Câu 17. Chọn đáp án A
Đặt AB = x ⇒ AH =

x
và AD = 2 x ⇒ S ABCD = 2 x 2
2

Có
1
2

HK 2 SH 2 AH 2
4 x2

Vậy S ABCD = 2 x 2 = 2.42 = 32 .
Câu 18. Chọn đáp án C
Ta có AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) .

2
2


·
⇒ (·SB, ( ABCD ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 60° ⇒ AB =

SA
=3
tan 60°

Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến ( SBD ) .
Lại có ba cạnh SA, AB, AD đôi một vuông góc với nhau.
1
1
1
1
1
Nên h 2 = SA2 + AB 2 + AD 2 =
3 3

(