đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006-2007
Môn: Toán lớp 9-Thời gian 120 phút
Bài 1:
Cho biểu thức: A=








+








+
+

xxx
1
1
1
1
1
1

b) Tìm cặp số x,y sao cho: x
11
+
xyy
= xy
c) Cho 0 < a, b, c < 2.
Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu
của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm.
a) Tính độ dài đoạn DE .
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: AH
3
=BC.BD.CE
Bài 5:
Cho n số a
1
; a
2
; ...; a
n
, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng -1
và a
1
a
2
+ a
2

++
=
1
2
)1)(1(
)1(2
)1(
)1(2

=
+
+
=

+
xxx
x
xx
xx
b)
10)1(
<>>
AAAAA
(Điều kiện:A

0

101
>>
xx

)1(1
=+
xx

0)1(
=
xx0
=
x
(loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn)
b)
21212
=++
xxxx

22
)11()11(
++
xx
=2

1111
++
xx
=2
Điều kiện x
1

2

x
c) x+y+z+4 = 2
56342
++
zyx
Điều Kiện :x
5;3;2

zy

[ ] [ ] [ ]
095.6)5(43.4)3(122)2(
=+++++
zzyyxx

2
)12(

x
+
0)35()23(
22
=+
zy





0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
3
(2,0đ)
Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm
a) vì a và b không âm nên tồn tại
a
và
b
Ta có
0)(
2

ba
02
+
abba
abba 2
+
ab
ba


2
1
xy
yx
y
y

(2)
Từ (1) và (2) ta có : x
xyxyy
+
11

Dấu "="xảy ra




=
=
11
11
y
x





=

4
(2,5đ)
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

DE = AH
Tam giác ABC vuông ở A, có AH

BC, nên
AH
2
=BH.CH=4.9=36


AH=6(cm) Vậy DE=6cm.
b) Ta có AH
2
=AD.AB ; AH
2
=AE.AC


AD.AB=AE.AC
c) Ta có AH
2
=BH.CH


AH

+ a
2
a
3
+..+ a
n
a
1
mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1.
Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn.
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1.
Tích của n số hạng đó (a
1
a
2
)(a
2
a
3
)...(a
n
a
1
) = (a
1
a
2
...a
n
)