ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ MAI TRANG

RÈN LUYỆN TƯ DUY PHẢN BIỆN
CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN THÔNG QUA
MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ
TÔPÔ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2017


✩

✬

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ MAI TRANG

RÈN LUYỆN TƯ DUY PHẢN BIỆN
CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN THÔNG QUA
MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ
TÔPÔ
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

năng của mình, tuy nhiên Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận
được những đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, ngày

tháng
Tác giả

Vũ Mai Trang

năm 2017


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Tên viết tắt
ĐC
GV
NXB
SV
TN

Tên đầy đủ
Đối chứng
Giảng viên
Nhà xuất bản
Sinh viên
Thực nghiệm


Mục lục


1.1.2

Trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Tổng quan về tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Tổng quan về tư duy phản biện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3

Tư duy phản biện trong giáo dục đại học . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4

Phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Cơ sở thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Một số phản ví dụ về tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3

Một số phản ví dụ về tính khả vi của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4

Một số phản ví dụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5

Một số phản ví dụ về không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6

Định hướng sử dụng phản ví dụ trong dạy học . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.1

Sử dụng phản ví dụ trong dạy học khái niệm Toán học . . . . . . . 82

2.6.2

Sử dụng phản ví dụ trong dạy học mệnh đề Toán học . . . . . . . . 84

2.6.3

Sử dụng phản ví dụ trong kiểm tra, đánh giá . . . . . . . . . . . . . 85


3.3.3

Kết quả thực nghiệm và xử lí kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . 90

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

101

TÀI LIỆU THAM KHẢO

102

PHỤ LỤC

104


Danh sách bảng
1.1

Kết quả khảo sát phương pháp dạy học Giải tích và Tôpô . . . . . . . . . . 26

3.1

Phân phối tần số điểm kiểm tra 15 phút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2


1.4

Thang tư duy Bloom cải tiến (Anderson & Krathwohl) . . . . . . . . . . . 11

1.5

Kết quả khảo sát mức độ lĩnh hội khái niệm Toán học của sinh viên . . . . 27

1.6

Kết quả khảo sát mức độ lĩnh hội mệnh đề Toán học của sinh viên . . . . . 28

1.7

Kết quả khảo sát khả năng giải bài tập của sinh viên . . . . . . . . . . . . 29

1.8

Kết quả khảo sát mức độ yêu thích đối với môn học của sinh viên . . . . . 30

1.9

Kết quả khảo sát tần suất sử dụng phản ví dụ trong dạy học của GV . . . 31

1.10 Kết quả khảo sát tần suất sử dụng phản ví dụ trong học tập của SV . . . 32
1.11 Kết quả khảo sát mức độ xuất hiện của các phản ví dụ bằng cách lật ngược
vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.12 Kết quả khảo sát mức độ xuất hiện của các phản ví dụ bằng cách bỏ giả
thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.13 Kết quả khảo sát mức độ xuất hiện của các phản ví dụ bằng cách thay đổi


3.3

Kết quả đánh giá các tiêu chí năng lực tư duy phản biện của SV ở lớp ĐC

97


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tư duy phản biện là một quá trình tư duy có ý nghĩa quan trọng đối với nghiên cứu
khoa học nói chung và Toán học nói riêng. Có kĩ năng tư duy phản biện vừa giúp người
học nắm vững và hiểu đúng các khái niệm, định lí, mệnh đề Toán học; vừa là tiền đề cho
sự sáng tạo và tạo động lực học tập đúng đắn cho người học. Đây là một năng lực tư duy
cần thiết đối với SV ngành Toán – những nhà nghiên cứu Toán học hay những người giáo
viên dạy Toán trong tương lai.
Tuy nhiên, đối với các SV ngành Toán hiện nay, đặc biệt là SV năm đầu, chưa nói đến
việc phát triển tư duy phản biện, nhìn chung việc tiếp cận Toán cao cấp còn gặp nhiều
khó khăn. Tính trừu tượng và tính tổng quát trong các phạm trù Toán học gây ra cho
SV nhiều bỡ ngỡ. Ví như trong môn Giải tích cổ điển, các khái niệm cũ của phổ thông
như “dãy số”, “hàm số”, “liên tục”, “đạo hàm”, “tích phân”. . . được chính xác hóa lại bằng
ngôn ngữ Toán học, nhưng cách làm mới này lại gây khó khăn cho SV, vốn chỉ quen hiểu
những khái niệm này một cách mơ hồ, không chắc chắn. Hay như trong môn Tôpô đại
cương, việc xuất hiện một loạt các phạm trù Toán học mới như “không gian tôpô”, “tập
đóng, tập mở”, “tính compact”,. . . vừa gây ra nhiều bỡ ngỡ, lại vừa làm người học dễ có
những ngộ nhận Toán học không chính xác.
Vậy làm thế nào để vừa giúp SV ngành Toán vượt qua những khó khăn ban đầu ấy
và trên cơ sở đó rèn luyện tư duy phản biện cho người học?
Xây dựng các phản ví dụ trong dạy học là một phương pháp quan trọng giúp giải
quyết câu hỏi nói trên. Việc sử dụng phản ví dụ trong dạy học Toán cho SV ngành Toán

4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
SV ngành Toán năm thứ nhất và năm thứ hai.

4.2. Đối tượng nghiên cứu
Tư duy phản biện, Phản ví dụ.


3

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu lí luận về tư duy phản biện
và dạy học phát triển tư duy phản biện, nghiên cứu các tài liệu chuyên ngành về phản ví
dụ trong các môn Giải tích cổ điển và Tôpô đại cương.
- Phương pháp điều tra khảo sát: Thực hiện khảo sát bằng phiếu hỏi về thực trạng
dạy và học các môn Giải tích cổ điển và Tôpô đại cương cho SV ngành Toán.
- Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm giảng dạy một số nội dung trong môn Giải
tích cổ điển và Tôpô có sử dụng phản ví dụ.

6. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nội dung dạy học: Nội dung Giải tích cổ điển (Dãy số, Chuỗi số, Hàm thực
một biến: tính liên tục, giới hạn, đạo hàm) và nội dung Tôpô đại cương (Các khái niệm
cơ bản, Các tiên đề tách, Không gian metric).
- Phạm vi về đối tượng dạy học: SV ngành Toán năm thứ nhất và năm thứ hai.

7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn dự kiến được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số phản ví dụ trong dạy học Giải tích và Tôpô

trình quốc tế.
Bài báo “What makes a counterexample exemplary” [21] của Rina Zazkis và Egan J.


1.1 Tổng quan về đề tài nghiên cứu

5

Chernoff đã mô tả hai tình huống dạy học, trong đó ví dụ và phản ví dụ được sử dụng
giúp học sinh giải quyết được những hiểu nhầm trong học Toán. Bên cạnh đó, bài báo
cũng chỉ ra rằng tính hiệu quả của phản ví dụ còn phụ thuộc vào mức độ liên quan của
phản ví dụ đó với hệ thống ví dụ chung.
Bài báo “Using counter-examples in teaching and learning of calculus: students’ attitudes and performance” [17] của Sergiy Klymchuk đến từ Auckland University of Technology, New Zealand nghiên cứu việc sử dụng phản ví dụ trong dạy và học Giải tích như
một kĩ thuật dạy học, đồng thời tiến hành khảo sát và thực nghiệm thái độ học tập cũng
như kết quả học tập của các học sinh ở New Zealand với kĩ thuật dạy học này.
Tác giả này cùng với Norbert Gruenwald từ Hoschschule Wismar University of Technology, Business and Design, Đức cũng cùng viết bài báo “Using counter-exemples in
teaching calculus” [15]. Từ kết quả nghiên cứu thái độ đối với kĩ thuật dạy học bằng phản
ví dụ của 600 SV đến từ 10 trường đại học thuộc nhiều quốc gia khác nhau, bài báo đã
chỉ ra rằng phần lớn các SV cho rằng kĩ thuật dạy học này rất hiệu quả, giúp cho việc
học Toán trở nên thú vị và đầy sáng tạo.
Bên cạnh đó, bài báo “Using counter-examples to enhance learners’ understanding
of undergraduate mathematics” [18] của cùng tác giả Sergiy Klymchuk cũng nghiên cứu
dạy học phản ví dụ cho SV đại học và khẳng định: “It can improve students’ conceptual
understanding in mathematics, reduce their common misconceptions, provide a broader
view on the subject and enhance students’ critical thinking skills” [18], tức việc học thông
qua phản ví dụ giúp SV cải thiện năng lực hiểu, làm giảm những hiểu nhầm cơ bản trong
Toán học, mang lại cái nhìn rộng hơn về các đối tượng Toán học và nâng cao các năng
lực tư duy phản biện.

1.1.2


1.2
1.2.1

Cơ sở lý luận
Tổng quan về tư duy

1.2.1.1. Khái niệm tư duy
Theo quan điểm triết học, "tư duy là một phạm trù triết học chỉ những hoạt động
tinh thần làm cho con người nhận thức đúng đắn về sự vật trong thế giới khách quan và
ứng xử tích cực với nó" [11].
Xét về phương diện tâm lý học, tư duy cùng với tưởng tượng thuộc về mức độ nhận
thức lí tính, bên cạnh nhận thức cảm tính (cảm giác và tri giác). Tuy nhiên, "thực tế cuộc
sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng nhận thức cảm tính, con người không thể nhận
biết và giải quyết được. Để làm chủ được thực tiễn ấy, con người cần phải hiểu thấu đáo
những cái chưa biết, vạch ra cái bản chất và những mối quan hệ, liên hệ có quy luật của
sự vật hiện tượng" [11]. Quá trình đó gọi là tư duy. Người ta đưa ra khái niệm: "Tư duy
là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ, quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng khách quan mà trước đó ta chưa biết"
[11]. Kết quả của quá trình phản ánh đó được biểu hiện dưới dạng các khái niệm, phán
đoán và suy luận.
Theo [11], "tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt
và duy nhất bởi bộ não người". Tư duy của mỗi người hình thành và phát triển trong quá


1.2 Cơ sở lý luận

7

trình hoạt động nhận thức tích cực của bản thân họ, tuy nhiên nội dung và tính chất của


12

có sự phán xét, đánh giá sự vật, hiện tượng trên cơ sở phân tích, lập luận, từ đó đưa ra
các kết luận hay phương án giải quyết.
- Nỗ lực cao về trí tuệ
Quá trình tư duy bậc cao đòi hỏi sự nỗ lực cao về trí tuệ. Các kĩ năng tư duy bắt đầu
phức tạp chứ không còn đơn giản như tư duy cơ bản. Thâm chí, mức độ cao nhất của tư
duy bậc cao là siêu nhận thức, tức là tư duy về chính quá trình tư duy.
- Tạo ra các giá trị
Đặc điểm và cũng là yêu cầu quan trọng nhất của quá trình tư duy bậc cao là phải
tạo ra các giá trị. Trong khi tư duy cơ bản chỉ yêu cầu Nhớ, Hiểu và Vận dụng những tri
thức đã có thì tư duy bậc cao đòi hỏi tìm ra các giá trị mới, tương ứng với mức độ cao
nhất của Thang tư duy Bloom là Sáng tạo (Creating). Giá trị ở đây ngoài những kết luận
mới, phương án mới mà còn là giá trị tạo nên cho chính người tư duy, nâng cao năng lực
và kĩ năng tư duy cho chủ thể.
Các kĩ năng tư duy bậc cao cơ bản bao gồm Tư duy phản biện (Critical thinking) và
Tư duy sáng tạo (Creative thinking).

1.2.2

Tổng quan về tư duy phản biện

1.2.2.1. Khái niệm tư duy phản biện
Tư duy phản biện, còn gọi là Tư duy phê phán (Critical thinking) là một trong những
kĩ năng của tư duy bậc cao.
Theo từ điển Oxford Advanced Learner’s Dictionary thì “critical” là tính từ dùng để
diễn tả:
- Sự không tán thành, phản đối về một điều mà bạn nghĩ là xấu.
- Tính chất vô cùng quan trọng và có ảnh hưởng tới một sự kiện trong tương lai.

và chủ đề xuất hiện trong cuộc sống cá nhân, là sự hiểu biết về phương pháp điều tra và
suy luận có lý, là một số kỹ năng trong việc áp dụng các phương pháp đó. Tư duy phản
biện đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ để khảo sát niềm tin hay giả thuyết bất kì có xem xét đến
các bằng chứng khẳng định nó và những kết luận xa hơn được nhắm đến”.
Michael Scriven thì cho rằng tư duy phản biện là “một năng lực học vấn cơ bản, tương
tự như là đọc và viết vậy”, và phát biểu: “Tư duy phản biện là khả năng, hành động để
thấu hiểu và đánh giá được những dữ liệu thu thập được thông qua quan sát, giao tiếp,
truyền thông và tranh luận”.
Tóm lại, ta có khái niệm: Tư duy phản biện là tư duy có suy xét, cân nhắc, đánh giá
và liên hệ mọi khía cạnh của các nguồn thông tin với thái độ “hoài nghi tích cực”, dựa
trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất, nhằm giải quyết
vấn đề.
1.2.2.2. Đặc điểm của tư duy phản biện
Mathew Lipman (2003) đã đi sâu phân tích một số đặc điểm bản chất của tư duy
phản biện.
a. Sản phẩm của tư duy phản biện là các phán đoán
Phán đoán là hình thức diễn đạt chung của mọi quan điểm, ước lượng và kết luận, do
đó cũng bao hàm các cách thức giải quyết vấn đề hay các quyết định được đưa ra. Vì vậy,


1.2 Cơ sở lý luận

14

nói rằng sản phẩm của tư duy phản biện là các phán đoán có ý nghĩa rất khái quát. Tuy
nhiên, tư duy phản biện hướng đến trí thông minh nên các sản phẩm được nhắm đến của
tư duy phản biện phải là các phán đoán tốt. Sự khác biệt cơ bản giữa một phán đoán tốt
và một phán đoán không có giá trị là tính ứng dụng thực tiễn của nó. Một phán đoán
tốt là kết quả của sự xem xét đến tất cả mọi vấn đề liên quan, bao gồm cả chính phán
đoán đó. Một phán đoán tốt phải là sản phẩm của một tiến trình tư duy thuần thục về

15

1.2.2.3. Biểu hiệu của năng lực tư duy phản biện
K. B. Beyer (1995) nêu lên các đặc điểm thiết yếu của người có tư duy phản biện, đó
là:
- Không có thành kiến
Người có tư duy phản biện là người ham tìm hiểu, biết lắng nghe và có thể chấp nhận
ý kiến trái ngược với mình, đề cao giá trị công bằng, tôn trọng bằng chứng và lý lẽ, thích
sự rõ ràng chính xác, biết xem xét các quan điểm khác nhau, và sẽ thay đổi quan điểm
khi sự suy luận cho thấy phải làm như vậy.
- Biết vận dụng các tiêu chuẩn
Cần phải có các điều kiện được thoả mãn nhất định để một phát biểu trở thành có thể
tin cậy được. Mặc dù các lĩnh vực khác nhau có thể có các tiêu chuẩn khác nhau, nhưng
có một số tiêu chuẩn có thể được áp dụng chung cho nhiều vấn đề, ví dụ như: Một khẳng
định bất kỳ phải được dựa trên những sự thật chính xác có liên quan, từ các nguồn đáng
tin cậy, rõ ràng, không thiên lệch, thoát khỏi logic ngụy biện, hợp logic, lý lẽ vững chắc.
- Có khả năng tranh luận
Trong khi tranh luận, đưa ra được các lý lẽ với các bằng chứng hỗ trợ. Tư duy phản
biện bao gồm cả việc nhận dạng, đánh giá, và xây dựng các lý lẽ.
- Có khả năng suy luận
Có khả năng rút ra kết luận từ một hoặc nhiều chi tiết. Để làm được việc này cần
phải nhìn thấy được mối quan hệ logic giữa các dữ liệu.
- Xem xét vấn đề từ nhiều phương diện khác nhau
Người có tư duy phản biện cần phải tiếp cận hiện tượng từ nhiều quan điểm khác
nhau.
- Áp dụng các thủ thuật tư duy
Tư duy phản biện sử dụng nhiều thủ thuật tư duy khác nhau, bao gồm đặt câu hỏi,
đưa ra các phán đoán, thiết lập các giả định.
Cụ thể hơn nữa, ta có hệ thống các biểu hiện năng lực tư duy phản biện sau:
- Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm. Có khả năng loại bỏ

- Thường xuyên tìm tòi nhiều hướng giải Toán khác nhau và đưa ra những đánh giá,
nhận định để đi tới hướng giải quyết tối ưu.
- Thường xuyên kiểm tra lại và có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong
lập luận của một lời giải Toán.
- Có khả năng sửa chữa những sai lầm trong lập luận của một lời giải.
- Có khả năng phát hiện mối quan hệ logic giữa các nội dung Toán học, đưa ra những
kết luận hoặc tổng quát hóa chúng.
1.2.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy phản biện và tư duy sáng tạo
Có nhiều khái niệm khác nhau về tư duy sáng tạo, nhưng ta có thể hiểu: tư duy sáng
tạo là tư duy có khuynh hướng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo lối mới, hoặc
tạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới không theo tiền lệ đã có. Dù được định nghĩa
như thế nào thì đặc điểm quan trọng nhất của Tư duy sáng tạo chính là tạo ra cái mới.
Tư duy phản biện và tư duy sáng tạo cùng là hai kĩ năng quan trọng của tư duy bậc
cao. Có nhiều quan điểm về mối quan hệ giữa hai loại hình tư duy này. Có quan điểm


1.2 Cơ sở lý luận

17

cho rằng, tư duy phản biện và tư duy sáng tạo hoàn toàn độc lập và có những đặc điểm
khác biệt rõ rệt: trong khi tư duy phản biện có tính logic, tính hợp lí và tính tuyến tính
thì tư duy sáng tạo, vì đề cao tính độc đáo và cái mới nên không có những đặc tính này.
Tuy nhiên, xét về một khía cạnh khác, đây là hai kĩ năng tư duy không thể so sánh được,
chúng đan xen và xuyên suốt lẫn nhau trong mọi quá trình tư duy bậc cao. Có tư duy
phản biện là tiền đề để sáng tạo, và tư duy sáng tạo cũng cần có phản biện để đưa ra
những ý tưởng, những cách giải quyết mới và có giá trị.
Như vậy, để rèn luyện tư duy phản biện, cũng cần chú trọng phát triển tư duy sáng
tạo trong quá trình dạy học, kích thích sự sáng tạo trong người học để có điều kiện cho
tư duy phản biện được hình thành và phát triển. Đồng thời, rèn luyện tư duy phản biện