Mục lục
Nội dung
1 Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2.Nội dung
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.2.1. Thực trạng
2.2.2. Các số liệu của thực trạng
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1.Kiến thức cơ bản
2.3.2. Bài tập minh họa
2.3.3 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Phương pháp 1
Phương pháp 2
Phương pháp 3
Phương pháp 4
2.3.4 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội
tiếp
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường



Phần I – Mở đầu
I – Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đều biết toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên
mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là bộ môn công
cụ hỗ trợ cho các môn học khác.Với môn hình học là môn khoa học rèn
luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học
tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành
quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng
tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã
hội.
Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối
với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị
kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy
có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến
thức.
Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên
đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp là rất
quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình
Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội
tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội
tiếp để làm gì ?
Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc
trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các
Định lý về mối liên hệ giữa các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp
góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải

- Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên – NXB Đại học sư phạm
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9D4; D2 – Trường
THCS Nguyễn Du – Quảng Xương và bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi của
trường.
3. Phương pháp đánh giá.
Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9D4; D2, tôi có tiến hành kiểm tra
đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
1. Thực trạng :
a) Thuận lợi:
Được sự chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt
trong họat động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học
tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất. Bên
cạnh đó trường THCS Nguyễn Du đã và đang xây dựng thành trường trọng điểm
chất lượng cao của huyện Quảng Xương điều này thúc đẩy các giáo viên nói
chung và giáo viên dạy toán nói riêng và học sinh phải năng động tìm tòi, tư duy
sáng tạo trong việc dạy và học toán. Mặt khác, nhà trường có nhiều học sinh khá
giỏi nên đối tượng mà tôi áp dụng đến cũng gặp nhiều thuận lợi hơn.
b) Khó khăn:
-3-


Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như: tài liệu
tham khảo thêm cũng còn đang hạn chế, bản tân mặc dù cũng đã dạy HSG nhiều
năm nhưng kinh nghiệm vẫn cần được tích lũy thêm, số học sinh độc lập tư duy
sáng tạo không nhiều.
Chính vì vậy càng cần phải rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập
sáng tạo,có phương pháp suy luận rõ ràng càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi,

* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 1800 hoặc ∠B + ∠D = 1800
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
-4-


- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc α .
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC, 2 đường cao
BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’
nội tiếp.

A
B'

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔

∠A + ∠C = 1800
hoặc ∠B + ∠D = 1800

Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.

A
C'

B'

I

O
C

B

D

Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a ⇒ ∠C + ∠BC’B’ = 1800

Chứng minh:
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
⇒ ∠A1 = ∠A2
∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
⇒ ∠A2 = ∠C1 nên ∠A1 = ∠A2 = ∠C1
Mà ∠A1 + ∠OAM = 1800 và ∠C1+ ∠OCN= 1800.
⇒ ∠AOM = ∠OCN
Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
⇒ Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn
cạnh OA dưới cùng một góc).

-7-


Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
M

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB.
Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt
ở E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội
tiếp được đường tròn.

A


2
¼ = MB
¼
Lại có :
AM
·
·
Nên :
= DCP
MEP
·
⇒ MEP
=

Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy Tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ:
B F
Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB
E
tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại
G; OH ⊥AD tại H.
A
C
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
O
trong hình vẽ bên.
H
G

tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai
đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng
nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
A

Chứng minh rằng, trong
một tam giác bất kì, ba trung điểm
của các cạnh, ba chân của các
đường cao, ba trung điểm của các
đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh
đều ở trên một đường tròn.

K

M
L
F

l

E

H
O
N

P

cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường
thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,
B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài toán 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

- 10 -


Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi
chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1:
Cho đường tròn tâm O đường
E
kính AB, điểm C cố định trên
đường kính ấy (C khác O).
Điểm M chuyển động trên
đường tròn. Đường vuông góc
với AB tại C cắt MA, MB theo

E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đường
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
Chứng minh:
Ta có :

B
E
O

A
D
C

F

∠EBO = 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
∠EDO = 900 (GT)
- 11 -

B


⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ Tứ giác EBOD nội tiếp đường tròn
⇒ ∠BEO = ∠BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tương tự ta có : Tứ giác ODCF nội tiếp đường tròn
⇒ ∠OFC = ∠BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối

(O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E ∈ BD sao cho ∠BAC = ∠
EAD
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
⇒

AD DE
=
AC BC

B
A
E

O

C

D

⇒AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)
⇒

BE AB
=
CD AC

Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đường thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N. Trên CD lấy
điểm K sao cho DK = DM. Gọi
H là hình chiếu của K trên xy.
Tìm quỹ tích điểm H.

B

A

N
O
H
M

1

2

l
2

1

D

K


⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
tròn này nằm trong hình vuông.
Bài toán 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB

5 – 6. Không có điểm dưới 5
Phần III . KẾT LUẬN
Bài học kinh nghiệm
Đối với giáo viên:
- Cần xác định đúng yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm và vấn đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, và vấn đề chất lượng học sinh môn Toán, chất lượng
học sinh giỏi.
- Nhiệt tình trách nhiệm cao chăm lo đến chất lượng học sinh đặc biệt là học
sinh giỏi.
- Có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho từng đối tượng học sinh, có thời gian bồi
dưỡng cụ thể, có chương trình bồi dưỡng phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Nắm vững kiến thức Toán học, nội dung chương trình SGK, nắm
vững phương pháp giảng dạy môn Toán, phương pháp bồi dưỡng học sinh
giỏi.
Đối với học sinh:
- Phát động phong trào thi đua học tập thường xuyên.
- Chọn đối tượng phù hợp để bồi dưỡng.
- Hướng dẫn việc học tập và phương pháp học tập trên lớp của học sinh.
- Kiểm tra việc học tập trên lớp, học tập ở nhà của học sinh thông qua giờ
dạy, vở ghi, vở bài tập...
- Sau khi kiểm tra thông báo kết quả động viên học sinh học tập đặt biệt là
đối với những em có kết quả cao để phấn đấu có kế hoạch bổ sung.
- Kết hợp chặt chẽ với giáo viên bộ môn trong quá trình giảng dạy bồi
dưỡng, đặc biệt quan tâm đến đối tượng học sinh giỏi để các em phát triển đồng
bộ các môn nhằm tạo điều kiện cho các em phát triển môn Toán.
- Đối với cha mẹ học sinh giỏi: Động viên hướng dẫn quản lý kiểm tra học
sinh về vấn đề học tập ở nhà của học sinh. Cha mẹ phải thực sự nhiệt tình chăm
lo đến con cái.

- 16 -

- 18 -