SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ ,GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS
THIỆU KHÁNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC
TRỊ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hoan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thiệu Khánh
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

1


MỤC LỤC
Trang
Phần I : Đặt vấn đề ................................................................................................3
1. Lý do chọn đề ………………………………………………………. 3
2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………………3
3.Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………..3
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………4
Phần II: Giải quyết vấn đề ………………………………………………………..4
1/ Cơ sở lí luận …………………………………………………………..4
2/Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… ...4
3/Các giải pháp thực hiện ………………………………………………..5
1. Lý thuyết ……………………………………………………………5

loại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú rèn luyện cho học sinh
kĩ năng tính toán, biến đổi, suy luận.
2/ Mục đích nghiên cứu :
Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng
dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh
đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy
học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này.Chính vì vậy
mà tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường
THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị ”.
3/ Đối tượng nghiên cứu :
Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số
phương pháp giải bài toán cực trị .
3


4/ Phương pháp nghiên cứu :
- Khái quát và hệ thống các thức cơ bản .
- Các phương pháp giải bài toán cực trị
- Các dạng bài tập
- Lưu ý cho học sinh các sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1/ Cơ sở lí luận:
-Trước khi thực hiện đề tài này thì đầu năm học tôi cho các học sinh khá
giỏi do tôi phụ trách làm một bài toán tìm cực trị của lớp 8, tôi ghi thấy rất nhiều
học sinh mắc phải những sai lầm ngộ nhận như đã nêu trong đề tài. Sau khi các
em nắm được nội dung kiến thức thì kỹ năng làm bài toán cực trị đã tiến bộ và
đặc biệt khi kiểm tra, 100% học sinh không còn mắc phải những sai lầm đáng tiếc
nữa, tôi nghĩ đó chính là thành công bước đầu của đề tài.

1. Lý thuyết:
Cho một hàm số F(x) xác định trên miền D; (với D ⊂ Rn)
a/ M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện
sau đồng thời được thỏa mãn:
*. F(x) ≤ M với ∀ x ∈ D
*. ∃ x0 ∈ D sao cho f(xo) =M. Ký hiệu M = max f(x), x ∈D
b/ m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện
sau đồng thời được thỏa mãn:
*. F(x) ≥ m với ∀ x ∈ D
*. ∃ x0 ∈ D sao cho f(xo) =m. Ký hiệu m = min f(x), x ∈D
c/ Các kiến thức cần nhớ: Xét trong tập hợp số thực R.
c1/ x2 ≥ 0 với ∀ x, tổng quát: (f(x))2k ≥ 0 với ∀ x; k ∈ Z.
Từ đó suy ra: (f(x))2 + m ≥ m hoặc M - (f(x))2 ≤ M
c2/
a/ | x | ≥ 0
b/ | x + y | ≤ | x | + | y | Dấu "=" xảy ra ⇔ x, y cùng dấu.
c/ | x - y | ≥ | x | - | y | Dấu "=" xảy ra ⇔ x, y cùng dấu.
c3/ Bất đẳng thức Côsi có dạng sau:
*
(a + b)2 ≥ 4ab

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b/

*

a b
+ ≥ 2 Với ab > 0
b a

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b/

Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D, ta phải chứng minh:
a/ f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m.
b/ Chỉ ra trường hợp x = xo ∈ D sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm giá tị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/ A = (x - 2)2 + 5
b/ B = | x | + | 8 - x |
1
a

1
b

1
c

c/ C = ( a + b + c).( + + ) Với a, b, c > 0
Giải:
a/ Với ∀ x ta đều có: (x - 2)2 ≥ 0. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2
⇒ (x - 2)2 + 5 ≥ 5
Vậy min A = 5 ⇔ x = 2
b/ Áp dụng hằng đẳng thức: | x | + | y | ≥ | x + y |
Dấu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0
Ta có B = | x | + | 8 - x | ≥ | x + 8 - x | = 8. Dấu "=" xảy ra ⇔ x.(8 - x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
x
8-x
x.(8 - x)

0

a
c

c
a

c
b

b
c

=( + ) + ( + ) + ( + ) + 3
Áp dụng hằng bất đẳng thức:

a b
+ ≥ 2 (Với a, b > 0)
b a

Ta có: C ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c
Vậy min C = 9 ⇔ a = b = c
Ví dụ 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a/ P = 3 - (2x - 1)2
b/ G = | x + 2y + 3z | biết rằng 3 số x, y, z. Thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
Giải:
a/ Ta có (2x - 1)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x =

1
2

2( x 2 + x − 1)
x2 +1

Giải:
7


a/ Hàm số xác định với ∀ x ∈ R.
Giả sử yo là một giá trị nào đó của y để y0 = 7x2 - 4x + 1
Do đó phương trình ẩn x: 7x2 - 4x + 1 -y0 = 0 phải có nghiệm
∆' =(- 2)2 - 7(1 - y0) ≥ 0 ⇔ 4 - 7 + 7y0 ≥ 0 ⇔ 7y0 - 3 ≥ 0 ⇔ y0 ≥
Vậy min y =

3
7

3
2
⇔x =
7
7

b/ Vì x2 + 1 > 0 với ∀ x ∈ R nên hàm số trên xác định với ∀ x ∈ R
Giả sử y0 là một giá trị nào đó để y0 =

2( x 2 + x − 1)
x2 +1

⇔ Phương trình y0 (x2 + 1) =2.(x2 + x + 1) Có nghiệm
⇔ (y0 - 2).x2 - 2x + (y0 - 2) = 0 (*) có nghiệm

(với cùng giá trị của biến) và ngược lại.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x + 2)2 + (x - 1)2.
Ta có (x + 2)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra khi ⇔x = - 2
(x - 1)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1
Nên A ≥ 0 nhưng không thể kết luận min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu
đẳng thức.
Ta phải giải như sau:
5
 2
A = x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1 = 2x2 + 2x + 5 = 2. x + x + 


2

2

 2
1
1  9
1
9
= 2. x + 2. x +  +  = 2 x +  + 
2
4  4
2
4 


2


x4 +1

(x

2

)

+1

2

Giải:
Ta có: x4 + 1 > 0 và (x2 + 1)2 > 0 với ∀ x ⇒ B > 0
Nên B lớn nhất ⇔

1
nhỏ nhất
B
1
B

B nhỏ nhất ⇔ lớn nhất.
9


4
2
1 ( x 2 + 1) 2 x + 2 x + 1 x 4 + 2 x 2 + 1


+ Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x 4 + 1 ≥ 2x2. Dấu "=" xảy ra ⇔ x
±1
Suy ra:

2x 2
2x 2
1
1
≤
= 1 ⇒ ≤ 1 + 1 = 2 ⇒ max = 2 ⇔ x = ±1
4
2
B
B
x + 1 2x
1
2

Vậy min B = ⇔ x = ± 1
4/ Các dạng bài tập thường gặp:
4.1. Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của
1. A = |2x - 3|
2. B = |5x - 3x| + 2
3. C = |x - 1996| + |x -2000|
Giải:
1. Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta luôn có:
|2x - 3| ≥ 0 với ∀ x .
Dấu "=" xảy ra ⇔ 2x - 3 = 0 ⇔ x = 1,5


(x-1996)(2000 - x)
+
Suy ra (x - 1996)(2000 - x) ≥ 0 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

-

Vậy min C = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000
Cách 2: (Chia khoảng để xét)
+ Nếu x < 1996:
Ta có C = -x + 1996 + 2000 - x = 3996 - 2x. Do x < 1996
⇒ 2x < 3992 ⇒ -2x > -3992 ⇒ C = 3996 - 2x > 3996 - 3992 = 4 ⇒ C > 4

(1)

+ Nếu 1996 ≤ x ≤ 2000. Ta có C = x- 1996 + 2000 - x = 4

(2)

+ Nếu x > 2000
Ta có C = x - 1996 + x - 2000 = 2x - 3996 vì x > 2000 ⇒ 20 > 4000
⇒ 2x - 3996 > 4000 - 3996 = 4 ⇒ C > 4

(3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ min C = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000
Nhận xét: Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, điển hình là các ví dụ trên ta có thể
tìm cực trị bằng các cách:
+ Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị của hàm đạt được
trong các khoảng để lựa chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

A = 3x2 - 6x - 1
B = 4x - x2 + 1
C = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Giải:
a/ Ta có A = 3x2 - 6x + 3 - 4 = 3.(x - 2)2 - 4
11


Vì (x - 1)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1 ⇒A ≥ - 4
Vậy min A = - 4 ⇔ x = 1
b/ Ta có B = 5 - (x2 - 4x + 4) = 5 - (x - 2)2 mà (x - 2)2 ≥ 0 với ∀ x.
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2 ⇒ 5 - (x - 2)2 ≤ 5 ⇒ max B = 5 ⇔ x = 2
2

c/ Ta có C = a.( x 2 + 2.

b
b2
b2
b 
b

.x + 2 ) + c −
= a x +
 +c−
2b
4a
2a 
4a

2a 


Ví dụ 2: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số.
y = -2x2 - x + 1.
Giải:
Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = - 2x2 - x + 1.
Do đó phương trình ẩn x: 2x2 + x - 1 + y0 = 0
(1) phải có nghiệm
Mà phương trình (1) có nghiệm
⇔ ∆ = 1- 4.2.(y0 - 1) = 1 - 8y0 + 8 ≥ 0 ⇔ 9 - 8y0 ≥ 0 ⇔ y0 ≤
Nên max y0 =

9
8

9
⇔ phương trình (1) có nghiệm kép. Mà phương trình (1) có
8

nghiệm kép là x = -

1
4

Vậy max y =

9
1
⇔x = 8

a/ A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
b/ B = x.(x + 1).(x + 2).(x + 3).
Giải:
a/ Ta có A = x4 - 6x3 + 9x2 + x2 - 6x + 9 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2
Vì (x2 - 3x)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0 hoặc x = 3
(x - 3)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0

hoặc x = 3

Suy ra:
A = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3
Vậy min A = 0 ⇔ x = 3
b/ Ta có B = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt x2 + 3x + 1 = 1
Khi đó ta có B = (t - 1)(t + 1) = t 2 - 1 mà t2 ≥ 0 với ∀ t ⇒ B = t2 - 1 ≥ - 1
Dấu "=" xảy ra ⇔ t = 0 ⇔ x2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x = − 3 ± 5
2

Vậy min B = -1 ⇔ x = − 3 ± 5
2

BÀI TẬP: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/ C = x4 - 2x3 + 3x2 -2x + 1
b/ D = (x - 1).(x + 2).(x + 3).(x + 6)
c/ E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + 2
4.4. Phân thức
13


a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

( x − 1) + 3
( x − 1) + 3
3
3

1
⇔ x = 1.
3

Chú ý: a > b chỉ suy ra được

1 1
> ⇔ a, b cùng dấu
b b

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

D=

x2 + x +1
( x + 1) 2

( x 2 + 2 x + 1) − ( x + 1) + 1
1
1
= 1−
+
Cách 1: Ta có D =
2

1
1
3 3
= ⇔x + 1 = 2 ⇔x = 1
⇒ D =  t −  + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ t = ⇔
2
x +1 2
4 4
 2

Vậy min D =

3
⇔x = 1
4

Cách 2: Ta có D =

x 2 + x + 1 4 x 2 + 4 x + 4 3x 2 + 6 x + 3 + x 2 − 2 x + 1
=
=
( x + 1) 2
4( x + 1) 2
4( x + 1) 2

3.( x + 1) 2 + ( x − 1) 2 3
( x − 1) 2
=
+
=

> 0 với ∀ x nên biểu thức A có nghĩa với ∀
4

x.
x2 +1
Giả sử A0 là một giá trị nào đó của A để A0 = 2
x − x +1

do đó phương trình A0(x2 - x + 1) = x2 + 1 phải có nghiệm
⇔ (A0 - 1).x2 + A0x + A0 - 1 = 0 (*) phải có nghiệm
Nếu A ≠ 1 (*) có nghiệm ⇔ ∆ = A 20 - 4(A0 - 1).(A0 -1) ≥ 0
⇔ A 20 - 4( A 20 - 2A0 + 1) ≥ 0 ⇔ A 20 - 4 A 20 + 8A0 - 4 ≥ 0 ⇔ -3 A 20 + 8A0 - 4 ≥ 0
2

4
16 4
4
4
4 2
2 4
2 4
⇔ A − 2. A 0 + − ≤ 0 ⇔  A 0 −  ≤ ⇔ A 0 − ≤ ⇔ − + ≤ A 0 ≤ +
3
9 9
3
9
3 3
3 3
3 3



⇔ 2 ≤ x ≤ 4 (*)

Với điều kiện (*) thì A ≥ 0, bình phương 2 vế ta được:
A2 = x - 2 + 4 - x + 2. ( x − 2).(4 − x) = 2 + 2. ( x − 2)(4 − x)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: (x - 2) và (4 - x)
Ta có: 2. ( x − 2)(4 − x) ≤ x - 2 + 4 - x = 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ x - 2 = 4 - x ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
⇒A2 ≤ 2 + 2 = 4 Vì A ≥ 0 ⇒ 0 ≤ A ≤ 2
Vậy max A = 2 ⇔ x = 3
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

B=

5 − 3x
1− x2

Giải:
15


Ta có B xác định ⇔ 1 - x2 > 0 ⇔ - 1 < x < 1 (*)
Với điều kiện (*) ta có:
 5 − 3x  25− 30x+ 9x2 16− 16x2 + 9 − 30x+ 25x2 16(1− x)2 + (3− 5x)2
(3− 5x)2
=
B2 = 
=
=

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a/ F = x − 2 + 3 − x
b/ G = x . 1 − x 2
c/ S =

6−x− x
x+3

4.6. Cực trị có điều kiện.
(Các biến bị ràng buộc thêm bởi một hệ thức cho trước)
Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x + y
Giải: Ta có (x - y)2 ≥ 0 với ∀ x. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y ⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇒ 2.(x2 + y2) ≥ x2 + y2 + 2xy ⇒ (x + y)2 ≤ 2.(x2 + y2)
mà x2 + y2 = 1 ⇒ (x + y)2 ≤ 2 ⇒ |x + y| ≤
Vậy max (x + y ) = 2 ⇔ x = y =

2 ⇒ − 2 ≤ (x+ y)≤ 2

2
; min (x + y) = 2

2 ⇔x = y = -

2
2

Ví dụ 2: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1

16


mà x + y = 1 ⇒ x - 1 = - y; y - 1 = - x
Thay vào (*) ta được:
P=

(− y )( x + 1)(− x)( y + 1) ( x + 1)( y + 1) xy + x + y + 1
2
=
=
= 1+
(Vì x + y =1)
2 2
xy
xy
xy
x y

Ta lại có x + y ≥ 2 xy (theo bất đẳng thức Côsi)
Suy ra

xy ≤

1
1
2
2
⇒ x.y≤ ⇒
≥ 8⇒ P = 1+
≥ 1+ 8 = 9 ⇒ P ≥ 9
2

Bài 3: Cho x + y + z = 3
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của G = x2 + y2 + z2
b/ Tìm giá trị lớn nhất của H = xy + yz + xz
Bài 4: Cho biểu thức P = x2 + y2 + z2 + t2 với x, y, z là các số nguyên không âm.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P và các giá trị tương ứng của x, y, z biết rằng:
x 2 − y 2 + t 2 = 21
 2
2
2
x + 3y + 4z = 101
5/ Những sai lầm thường găp khi giải bài toán cực trị:
5.1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
1
x 2 − 6 x + 17
Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất.
Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ≥ 8 ⇒ min (x2 - 6x + 17) = 8 ⇔ x =3
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=

17


Vậy max A =

1
⇔ x = 3.
8


nhỏ nhất ⇔ x2 - 6x + 17 nhỏ nhất.
A
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x2 + y2 biết x + y = 4
Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 + y2 = 2xy
nhất ⇔

⇔x + y = 2
Khi đó min A = 22 + 22 = 8.
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới
chứng minh được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) ≥ m với m là
hằng số.
Ta đưa ra 1 ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng
(x - 2)2 ≥ 0 ⇒x2 ≥ 4x - 4 ⇒x2 nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x - 4 ⇔ x = 2 ⇒min x2 = 4 ⇔ x =
2.
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 = 0 ⇔ x = 0.
Lời giải đúng: Ta có x + y = 4 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16
Ta lại có: (x - y)2 ≥ 0 ⇒ x2 + y2 - 2xy ≥ 0

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ 8. Vậy min A = 8 ⇔ x = 2.
18


5.2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x +

x



Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x ≥ 0 nên min A = 0 ⇔ x = 0.
( x + a )( x + b)
với x > 0; a và b là các
x

hằng số dương cho trước.
Lời giải sai: Ta có x + a ≥ 2 ax (1); x + b ≥ 2 bx (2)
( x + a )( x + b) 2 ax .2 bx
≥
= 4 ab ⇒ min A = 4 ab ⇔ x = a = b
x
x
Phân tích sai lầm:
Do đó: A =

Chỉ xảy ra A = 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x = b.
Như vậy đòi hỏi phải có a = b, nếu a ≠ b thì không có được A = 4 ab
2
ab 
( x + a )( x + b) x + ax + bx + ab 
=  x +  + (a + b )
Lời giải đúng: Ta có A =
=
x
x
x


)

2

⇔x =

ab

b/ Kết quả đã kiểm nghiệm:
Thời điểm

Tổng
số

Giỏi
SL

TL

Khá
SL
TL

TB
SL
TL

Yếu
SL
TL

13

39,4 0 0

12

36,4 0 0

1

0,3 0 0

Trước khi thực hiện đề tài tôi thấy :
1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
Sau khi thực áp dụng vào đề tài vào thực tế giảng dạy tôi thấy :
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán, từ đó tạo cho
các em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận
toán học.
- Trong quá trình giải các bài tập giúp các em có khả năng phân tích, suy
ngẫm, khái quát , mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình.
- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp và đặc
biệt không còn mắc những sai lầm đáng tiếc.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu :
Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài,
chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bước
vào cuộc sống hoặc học lên nữa. Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra những
sản phẩm ấy cần phải:

trình bày như trên (nếu thành công), tôi thiết nghĩ, sau khi được học xong tài liệu
này học sinh không còn lúng túng, không còn mắc sai lầm trong giải toán cực trị .
Nội dung của đề tài và những kinh nghiệm của tôi chỉ là một biện pháp nhỏ
bé để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, nó không tránh khỏi nhiều thiếu sót,
vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của các thầy giáo, cô giáo, cùng các
bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của
mình.
Thanh Hóa,Ngày 15 tháng 3 năm 2016
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Tôi cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Ký và ghi rõ họ tên

21


Nguyễn Thị Hoan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK toán 8 – Phan Đức Chính – Tôn Thân - NXB Giáo dục – 2004.
2. SGV Toán 8 – Phan Đức Chính – Tôn Thân - NXB Giáo dục – 2004.
3. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 - Vũ Dương Thụy – Nguyễn
Ngọc Đạm - NXB Giáo dục - 2013
.
4. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 - Tôn Thân – Vũ Hữu Bình –
Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục - 2009.
5. Toán nâng cao và phát triển 8 – Vũ Hưu Bình - NXB Giáo dục - 2009.

22


……………………………….21...........................................................2
a/ Cách giải quyết những vấn đề đã làm:...................................5
1. Lý thuyết:.............................................................................5
2. Phương pháp giải.................................................................6
2.1. Phương pháp giải bất đẳng thức......................................6
2.2. Phương pháp miền giá trị của hàm số..............................7
3. Các chú ý quan trọng..........................................................8
4/ Các dạng bài tập thường gặp:..............................................10
4.1. Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối..............10
4.2. Đa thức bậc hai..............................................................11
23


4.3. Đa thức bậc cao.............................................................13
4.4. Phân thức.......................................................................13
4.5. Căn thức.........................................................................15
4.6. Cực trị có điều kiện.........................................................16
5/ Những sai lầm thường găp khi giải bài toán cực trị:.............17
5.1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:..........................17
5.2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:..........................19

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CHUYỂN ĐƠN VỊ
Kính gửi :

- Thủ trưởng sư đoàn 324

Họ và tên:


Họ tên vợ : Nguyễn Thị Hoan . Sinh năm : 1979.Nghề nghiệp : Giáo viên
Con : Lê Thanh Huyền .Sinh năm 2004.
Con : Lê Thu Trang . Sinh năm 2007

TÓM TẮT QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CỦA BẢN THÂN THÂN KHI NHẬP
NGŨ ĐẾN NAY:
Thời gian

Cấp bậc

Chức vụ

Đơn vị công tác

Từ

Đến

2/1994
6/1994
1/1995
7/1995
12/1996
7/1997
6/2003

5/1994
12/1994
6/1995


11/2013

Trung úy

Y tá

C24/E3/F324/QK4

11/2013

6/2014

Trung úy

Y tá

C10/D9/E3/F324/QK4

6/2014

Nay

Trung úy

Y tá

C24/E3/F324/QK4
Ngày 29 tháng 8 năm 2014
Người viết đơn