CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH THCS".

Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014.
1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH THCS".

Họ và tên: Phan Thúc Bảy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy

Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014.
2


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tượng
nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng.

đại số trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau:

Kết quả điểm kiểm tra

Năm học

Áp dụng đề tài

20011 -2012

Chưa áp dụng

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

3%

9%

30%

52%

M=m-A2) thì rõ ràng supM= m ( infM=k). Nếu tồn tại giá trị của biến để M = k
(hoặc M=m) thì maxM = m (min M = k).
B. Bài tập áp dụng.
Bài số 1.
Tìm max ( min) của các biểu thức sau :
a) A = 2x2 - 8x+1.
b) B = -5x2 - 4x +1.
Giải:
a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - 7 ≥ -7. Dấu = xảy ra khi
x=4. Vậy minA=-7 khi x=4.
4
5

b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 = − 5( x 2 + x +
2
5

khi x=- . Do đó maxB =

4
9
2
9 9
) + = −5( x + ) 2 + ≤ . Dấu = xảy ra
25 5
5
5 5

9
2

4

Vậy min C =

8023
⇔
4

x − 2006 =

1
8027
⇔x=
. ( thoả (*)).
2
4

Bài số 3.
Tìm min của D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4).
Giải :
Tập xác định của D là IR.
Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1 ≥ - 1.
−5+ 5
Dấu = xảy ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0 ⇔ ( x2 + 5x + 5) = 0 ⇔ x =
2

hoặc x =

−5− 5
−5+ 5

Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006.
Vì : ( x-y+z-1)2 ≥ 0 ∀ x,y,z, ( x+z-2)2 ≥ 0 ∀ x,z và ( z-1)2 ≥ 0 ∀ z nên F ≥ 2006 ∀
x,y,z.
x − y + z − 1 = 0
x = 1


Dấu = xảy ra khi  x + z − 2 = 0 ⇔  y = 1 .
z − 1 = 0
z = 1



Vậy min F = 2006 ⇔ x=y=z=1.
Bài số 6.
Tìm min của G =

2
.
6x − 5 − 9x 2

Giải :
2

−2

−2

Ta có : G = 6 x − 5 − 9 x 2 = 9 x 2 − 6 x + 5 = (3x − 1) 2 + 4 . Do (3x-1)2 ≥ 0 ∀ x
⇒ ( 3x-1)2+4 ≥ 4 ∀ x ⇒

3x 2 − 8 x + 6
.
x 2 − 2x + 1

Giải :
Tập xác định của H là R\ {1}.
(2 x 2 − 4 x + 2) + ( x 2 − 4 x + 4)
( x − 2) 2
=
2
+
≥ 2 ⇒ min H = 2 ⇔ x= 2.
Ta có : H =
x 2 − 2x + 1
( x − 1) 2

Bài số 8.
Tìm max, min của I =

3 − 4x
.
x2 +1

Giải :
* Tìm min I.

8


x 2 − 4 x + 4 − x 2 − 1 ( x − 2) 2

2

1
2

K = x2 + (1-x)2 = 2( x − ) 2 + ≥ . Min K =

1
1
1
khi x = ⇒ y = .
2
2
2

Bài số 10.
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3.
Giải:
Ta có : x + y + z = 3 ⇒ ( x+ y + z)2 ≥ 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9
⇒ L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*).

Ta luôn có : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ∀ x,y,z, dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy ra
:
3L ≥ 9 ⇒ L ≥ 3 ⇒ min L = 3 khi x=y=z = 1.

C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) A = x2 -5x + 1.
b) B = 1 – x2 + 3x.

Dấu bằng xảy ra khi A ≥ B ≥ 0 hoặc A ≤ B ≤ 0 .
B. Bài tập áp dụng.
Bài số 1.
Tìm min của A = x − 2 + x + 8 .
Giải :
Ta có : A = x − 2 + x + 8 = 2 − x + x + 8 ≥ 2 − x + x + 8 = 10 .
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8) ≥ 0 ⇔ − 8 ≤ x ≤ 2 .

Bài số 2.
Tìm max của B = x + 2(1 + x + 1) − x + 2(1 − x + 1) .
Giải :
Tập xác định của B là x ≥ -1 (*).
Ta có : B =
2

( x + 1 + 1) − ( x + 1 − 1) 2 =

x +1 +1 −

x +1 −1 ≤

x +1 +1− x +1 +1 = 2

Suy ra max B = 2 khi ( ( x + 1 + 1)( x + 1 − 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 (thoả(*)).
10


C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Tìm max của biểu thức :

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm :
a=

x2 − x +1
(1).
x2 + x +1
11


⇔ (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0 ∀ x ). (2)

* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
* Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có
∆ ≥ 0 ⇒ (a + 1) 2 − 4(a − 1) 2 ≥ 0 ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ 0 ⇔

1
≤ a ≤ 3(a ≠ 1) .
3

Với a =

− (a + 1)
a +1
1
hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : x = 2(a − 1) = 2(1 − a) .
3

Với a =

1

; với m = − 7 + 2 15 thì x=
.
2
2

Kết hợp hai trường hợp trên và điều kiện (*) ta có :
maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = − 7 − 2 15 khi x=

5 − 15
.
2

C. Bài tập tự luyện.
Tìm max, min của những biểu thức sau :
x
4x 2 − 6x + 1
2 x 2 − 16 x + 41
a) C = 2
; b) D =
; c) E = ( x + 10) 2 .
2
(2 x − 1)
x − 8 x + 22
12


2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy).
A. Lí thuyết cơ bản.
Cho n số không âm : a1, a2, a3,..., an thì ta luôn có :
Dạng 1 :

Giải :
Theo BĐT Cô- si ta có :
a 2 + b 2 ≥ 2 ab ≥ 0
 2
2
b + c ≥ 2 bc ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
 2
2
c + a ≥ 2 ca ≥ 0
2 2 2
Suy ra A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) ≥ 8 a b c = 8

Vậy min A = 8 ⇔ a=b=c=1.
Bài số 2.
a, b, c, d > 0

Cho  1
1
1
1
tìm max a.b.c.d ?
1 + a + 1 + b + 1 + c + 1 + d ≥ 3

Giải :
13


Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có :

1

1+ b
(1 + c)(1 + d )(1 + a )
1+ c
(1 + b)(1 + d )(1 + a )

1
abc
≥ 33
≥ 0 . Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta được :
1+ d
(1 + a )(1 + b)(1 + c)
1
81
1
≥
⇒ abcd ≤ .
(1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a)(1 + b)(1 + c )(1 + d )
81

Vậy maxabcd =

1
khi a=c=b=d.
81

Bài số 3.
4

Với ∀ a>b ≥ 0, tìm min của B = a + (a − b)(b + 1) 2 .
Giải :

ab c − 2 =
bc a − 3 =
ca b − 4 =

ab
2
bc
2
ca
4

(c − 2)2 ≤

ab (c − 2) + 2 abc
=
2
2
2 2

(a − 3)3 ≤

bc (a − 3) + 3 abc
=
2
3
2 3

(b − 4)4 ≤

ca (b − 4) + 4 abc


+
+ .
Dấu bằng khi a − 3 = 3 ⇔ a = 6 . Vậy max C =
2 2 2 3 4
b − 4 = 4
b = 8



Bài số 5.
Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ. Tìm min của D =

a
b
c
+
+
b+c c+a a+b

Giải :
Ta có : D + 3 = (1 +

a
b
c
a+b+c a+b+c a+b+c
) + (1 +
) + (1 +
)=

. Vậy min D = khi a=b=c.
2
2

C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Cho a,b là những số không âm và a.b = 1.
Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab).
Bài số 2.
Cho a là số thực bất kỳ. Tìm min của B =

a2 + 2
a2 +1

.

Bài số 3.
Cho a,b là những số không âm và a+b = 1.
Tìm max của C = 16ab(a-b)2.
2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki .
A. Lí thuyết cơ bản.
Cho a1, a2, a3,..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý. Khi đó ta có :
Dạng 1 : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2) ≥ ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2
(1)
15


Dạng 2 : (a12 + a2 2 + .. + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≥ a1b1 + a2b2 + ....anbn
a


2

2

a1 + a 2 + ... + a n

2

x

n
1
2
Dấu bằng khi a = a = ... = a .
1
2
n

ii) Nếu x12+x22+...+xn2 = C2 thì
x

x

x

n
1
2
max (a1x1+a2x2+.....+anxn) = C a1 2 + a 2 2 + ... + a n 2 . Dấu bằng khi a = a = ... = a ≥ 0
1

3
3

Suy ra minA =

2
16
đạt được khi x=y=z= ± .
3
3

Bài số 2.
Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm max B = a + 3b + 5c.
Giải :
Ta có :
B = a + 3b + 5c ≤ (11 + 3 2 + 5 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) = 35 .
16


Từ đó ta được minB = 35 khi a = ±

1
35

;b = ±

3
35

;c = ±


Bài số 4.
1 2 3
 + + =1
Cho  a b c . Tìm min D = a2+b2+c2.
a, b, c > 0

Giải :
Theo BĐT B-C-S ta có :
2

1
1
1 2 3 
1
a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2 = (a + b + c)( + + ) ≥ (1 + 2 + 3 ) 4 .
3
3
a b c 
3
1
3

Vậy minD = (1 + 2 + 3 ) 4 khi a=b=c=6.
C. Bài tập tự luyện.
a , b > 0

Cho  4 9 . Tìm min A = a + b + a 2 + b 2 .
 a + b = 1


18


Đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh
THCS” theo cá nhân tôi là rất khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn
đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn
giản. Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi đã gặt hái được những thành quả
như sau:
3.1.1. Đối với học sinh.
-Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất
phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây
là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũng
chỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu
trên. Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không ra
đến kết quả cuối cùng.
- Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các em
học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu
biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học
toán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các
em trong quá trình tự học.
Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt. Sau đây là bảng
thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng đề tài
vào giảng dạy :
Kết quả điểm kiểm tra
Năm học

Áp dụng đề tài

Giỏi



40%

10%

0%

3.1.2. Đối với bản thân :
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong
khâu phải giải thích dạng toán và hướng dẫn làm bài tập cho học sinh (phần lớn
các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm
việc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử
dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra
19


dạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm,
phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào
không khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số kinh
nghiệm của ḿnh để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chất
lượng giảng dạy trong nhà trường. Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng
rãi trong học sinh. Xin chân thành cảm ơn !

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
20



tháng

năm 2012

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH
Điểm:…………………
Nhận xét:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Quảng Lộc, Ngày

tháng

năm 2012

Tài liệu tham khảo
Tên tài liệu

Chủ biên ( Tác giả )

23


1. Bất đẳng thức và toán cực trị

Trần Đức Huyên