MỤC LỤC
Mở đầu..................................................................................................................2
I. Lý do chọn đề tài............................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu....................................................................................2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2
IV. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................3
V. Đóng góp của Sáng kiến...............................................................................3
1. Về mặt lý luận............................................................................................3
2. Về mặt thực tiễn........................................................................................3
Chương I...................................................................................................3
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn..............................................................................3
1.1. Vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
.......................................................................................................................3
1. 2. Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học...................3
1.3. Chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học.............4
1.4. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
.......................................................................................................................5
1.5. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan......5
1.6. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số
logarít ở trường phổ thông.............................................................................6
1.7. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học
phổ thông.......................................................................................................6
1. 8. Kết luận chương I..................................................................................7
Chương II:................................................................................................8
II. Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa
thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số
logarít.................................................................................................................8
2.1. Những sai lầm do việc không nắm vững các định nghĩa, định lý, quy
tắc... vận dụng chúng một cách máy móc không chú ý đến điều kiện áp
dụng:..............................................................................................................8
2.2. Dùng phương tiện trực quan để vạch ra những sai lầm của học sinh

các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp
với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông.
Từ nhận thức ấy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình với tiêu đề: Xây dựng và
sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch ra
sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần
hàm số mũ, hàm số logarít.
II. Mục đích nghiên cứu
Sáng kiến xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết
và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong dạy học khái niệm - Định lý - Giải
toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học hàm số mũ và hàm số
logarít, trong mối liên hệ với vai trò và chức năng của phương tiện trực quan
trong dạy học toán.
2. Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng phương tiện trực quan
trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số
dạng phương tiện trực quan tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học
toán.
2


IV. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu, phương pháp dạy học toán và sách giáo khoa,
sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm
số mũ, hàm số logarít có sử dụng các phương tiện dạy học trực quan.
Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số
mũ, hàm số logarít theo sách giáo khoa

Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái
niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán… phương
3


tiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ
cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (tái
tạo ra cái cụ thể trong tư duy)
Mối quan hệ đó được thể hiện ở sơ đồ sau:
Trừu tượng hoá
Cái cụ
thể hiện
thực

Phương
tiện
trực
quan

Cái trừu
tượng lý
thuyết

Cụ thể hoá
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất
sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu
tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần
thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn
nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan
sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con

các kiến thức cần thiết và áp dụng nó.
+) Làm cho học sinh làm quen với các phương pháp nghiên cứu toán
học.
c. Chức năng phát triển hứng thú học tập:
+) Tạo cho học sinh cảm hứng thẩm mỹ, các tình huống có vấn đề, tạo ra
sự hứng thú toán học.
+) Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng gắn
gọn, nhằm củng cố, ghi nhớ, áp dụng kiến thức.
d. Chức năng điều khiển quá trình dạy học:
+) Hướng dẫn phương pháp trình bày chủ đề nghiên cứu cho giáo viên.
+) Nhanh chóng làm xuất hiện và ngừng truyền thông tin học tập trong
hoạt động nhận thức, khi kiểm tra và đánh giá kết quả dạy học.
+) Bảo đảm thực hiện các hình thức học tập cá biệt và phân nhóm.
Trong dạy học toán vai trò và chức năng của phương tiện trực quan là rất
quan trọng, ảnh hưởng rất nhiều đến sự nhận thức, tư duy của học sinh trong quá
trình học tập.
1.4. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực
quan
Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phương tiện trực quan phục vụ
cho việc dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt được mục đích dạy học nói chung,
vừa đạt được mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần
nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học. Việc phân tích đánh giá hiệu quả của
quá trình dạy học theo một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả
học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phương tiện
và cả quá trình sử dụng phương tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn
phương tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể khai thác được các
chức năng của phương tiện nhằm đạt được yêu cầu đặt ra cho nó và như thế sẽ
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học [2].
1.5. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phương tiện trực quan phụ thuộc

luôn luôn có giá trị dương...
Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm
số logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn.
Bằng việc sử dụng các phương tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo
viên phải làm cho học sinh thấy được ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo
dục của toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý
nghĩa của định lý đó. Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện
kỹ năng sử dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn.
* Về phương diện bài tập:
Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt
được những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời
giải một cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các
bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarít.
Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn,
đồng thời rèn luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm
tra đánh giá...
1.7. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học
phổ thông
Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc
làm rất cần thiết. Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các
yêu cầu sư phạm đối với các phương tiện dạy học trực quan [2].
Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy
học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách
6


hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng hạn cho rằng lý
luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a ≠ 0 ) là một chứng minh.
Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các tính chất, không hiểu
được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít.

minh nên việc tăng cường sử dụng phương tiện dạy học trực quan là cách thức
hợp lý trong việc cung cấp những kiến thức bền vững, chính xác và có hiệu quả
cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh luyện tập, vận dụng kiến thức vào giải
toán và các ứng dụng thực tiễn đa dạng.

7


Chương II:
II. Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa
chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số
mũ, hàm số logarít.
2.1. Những sai lầm do việc không nắm vững các định nghĩa, định lý,
quy tắc... vận dụng chúng một cách máy móc không chú ý đến điều
kiện áp dụng:
Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm. Việc không nắm vững định
nghĩa, định lý, giả thiết của định lý, vận dụng một cách mơ hồ, chẳng hạn nhiều
học sinh cho rằng:
* log3(-4)(-8) = log3-4 + log3 (-8)
* log2 (x2 -1) = log 2 (x-1) (x+1) = log2 (x-1) + log2(x+1)
( |x| > 1)
2
* loga(-7) = 2loga-7
* logax2 = 2logax (0 < a ≠ 1)
Đây là loại sai lầm do học sinh không nắm vững khái niệm, tính chất, giả
thiết của định lý.
Để tránh những sai lầm kiểu này giáo viên cần phân tích một cách rõ ràng
trực quan cho học sinh hiểu vấn đề.
x > 0
* Hàm số y = logax xác định khi 


(x + 2)2 > 0  x > −2


3
Điều kiện: (4 − x) > 0 ⇔  x < 4 ⇒ −2 < x < 4
x + 6 > 0
 x > −6


Đây là một sai lầm tầm thường nhưng cần phải vạch ra cho học sinh hiểu
bởi vì khi giải phương trình ta phải đi tìm tập nghiệm, thế thì sau khi tìm ra được
những x rồi thì lại phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập nghiệm hay
không ? Một lẽ tất nhiên (x+2) 2 > 0 ∀x ≠ -2 điều kiện của phương trình là
− 6 < x < 4

 x ≠ −2
Tuy nhiên, có nhiều học sinh không mắc phải sai lầm ấy, nhưng khi bắt tay
vào giải thì không ít học sinh cả học sinh khá cũng lập luận bài toán như sau:
Phương trình
⇔ 3 log1 (x + 2) − 3 = 3 log1 (4 − x) + 3 log1 (x + 6)
4

4

4

1
= log1 (4 − x) + log1 (x + 6)
4

thứcbài
logtoán
aN ( n là số nguyên) có nghĩa với N ≠ 0 là số thực bất kỳ
CóBiểu
thể giải
như sau:
log1 x2n
+ 2log
− 3aN
= 3 log1ví
(i4 N
−>
x)0+ 3 log1 (x + 6)
Phương
⇔ 3|N|
logaN2ntrình
= 2nlog
=
a
4 
4
4
2nloga - N víi N < 0

9


1
= log1 (4− x) + log1 (x + 6)
4

trình học, học sinh thường mắc những sai lầm mà bản thân các em không nhận
ra [2].
Để hiểu rõ hơn vấn đề này có thể bắt đầu bằng ví dụ sau:
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2

2

2

y = 4sin x + 4cos x
Đối với bài toán trên có rất nhiều phương pháp giải, nhưng không ít em
mắc phải sai lầm kiểu:
2
0 ≤ sin2 x ≤ 1 40 ≤ 4sin x ≤ 41
sin2 x
cos2 x
⇒
⇒
2
≤
4
+
4
≤8


0 ≤ cos2 x ≤ 1 40 ≤ 4cos2 x ≤ 41
Vậy maxy = 8 và miny = 2.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm và thiếu sót của lời giải là do việc học sinh



Hỏi: Các em có nhận xét gì về vị trí đồ thị hàm số y = a x so với trục 0x
trong 2 truờng hợp 0 < a < 1 và a > 1 ?
Từ đó giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện và nắm được các tính chất:
- Đồ thị của hàm số y = ax luôn nằm phía trên 0x có nghĩa là tập giá trị của
y = ax là R+*.
- Khi x = 0; y = a0 = 1 đồ thị y = ax luôn đi qua điểm A(0,1)
- Đồ thị y = ax là một đường liền, liên tục ⇒hàm số y = ax liên tục ∀x∈R.
- Nếu a > 1 thì ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 > ax2
- Nếu 0 < a < 1 thì ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 < ax2
Nói cách khác: a > 1 hàm số y = ax đồng biến trong R
0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trong R
• Sau khi học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, giáo viên có
thể ra bài toán sau, nhằm củng cố và rèn luyện khả năng vận dụng các tính chất
của hàm số mũ.
Bài toán 4: Vẽ trên cùng một hệ trục đồ thị của các hàm số:
 1 x
y = 2 , y =   , y = 3x
 2
x

Giáo viên đặt câu hỏi: Các em có nhận xét gì về vị trí cả 3 đồ thị hàm số
trên so với trục 0x ? chúng có điểm gì chung ?

y
y=

x


Ngoài ra ta có nhận xét: Ta thấy y = 2 và y =   đối xứng nhau qua 0y.
 2
x
 1
Một cách tổng quát đồ thị y = a x và y =   đối xứng nhau qua trục 0y.
 a
x
Đồ thị y = 3 “dốc” hơn đồ thị y = 2x. Một cách tổng quát hàm số y =
ax (a > 1) nếu a càng lớn thì khi x tăng, a x tăng càng nhanh, đồ thị hàm số càng
“dốc hơn” (đi lên từ trái sang phải nhanh hơn)
Ngược lại đồ thị y = ax (0 < a < 1) Nếu a càng nhỏ thì |x| tăng, a x giảm
càng nhanh, đồ thị hàm số càng “dốc” (đi xuống từ trái sang phải nhanh hơn)
Sau khi học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, giáo viên có thể
ra bài toán sau, nhằm củng cố và rèn luyện khả năng vận dụng các tính chất của
hàm số mũ.
Bài toán 4: Cho ba số thực dương a, b, c
khác 1.
Đồ thị các hàm số y = a x , y = b x , y = c x
được
cho trong hỡnh vẽ bờn. Mệnh đề nào dưới
đây
đúng?
A. a < c < b .
B. a < b < c .
C. b < c < a .
D. c < a < b .
x

* Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức thường thấy trong
học tập môn toán là một số học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa,

3. Từ phương trình logax2 = loga9 ta biến đổi thành 2logax = 2loga3
(0 < a ≠ 1), từ đó ta có x = 3 tại sao lại mất nghiệm số x = -3.
4. Muốn cho log2ax có nghĩa thì giá trị x phải như thế nào?
2.3. Sử dụng phương tiên trực quan giải quyết những khó khăn thường gặp
của học sinh khi học phần hàm số mũ và hàm số logarít thường gặp
Hầu hết học sinh đã vẽ được đồ thị hàm số mũ y = a x (0 < a ≠ 1) và đồ
thị hàm số y = logax (0 < a ≠ 1; x > 0), nhưng học sinh thường gặp khó khăn
trong một số trường hợp đặc biêt suy rộng về đồ thị của hàm số mũ và hàm số
logarít.
Chẳng hạn: - Từ đồ thị hàm số y = ax hãy suy ra đồ thị các hàm
y = - ax; y = a-x; y = ax+α; y = ax + α; y = a x
- Từ đồ thị y = logax hãy suy ra đồ thị các hàm
1
y = logax ; y = loga x ; y = logax + α ; y = logax ; y = loga ( x + α )

Từ những kiến thức đã có là đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarít,
giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa các dạng đồ thị có thể có của hàm số
y = ax và y = logax.
* Phương pháp chung để khảo sát một hàm số mũ và một hàm số logarít
được thực hiện như sau:
Bước1: Định miền xác định.
Bước2: Xét tính đơn điệu của hàm số rồi suy ra bảng biến thiên.
Bước3: Lấy thêm một vài điểm rồi dựa vào bảng biến thiên để có được
đồ thị.
Giả sử hàm số y = ax có đồ thị (c).
14


- Đồ thị y = a-x nhận được bằng cách lấy đối xứng (c) qua trục 0y.
- Đồ thị y = a x nhận được bằng:

0y
- Đồ thị y = 3| x | bằng cách
0
giữ nguyên phần đồ thị
y = 3x
bên phải 0y rồi lấy đối xứng qua
0y
- Đồ thị y = 3x-1 nhận được
bằng cách tịnh tiến (c) theo trục
ox sang phải 1 đơn vị.
- Đồ thị y = -3x
nhận được bằng cách lấy
đối xứng (c) qua trục ox.
Hoàn toàn tương
tự giáo viên yêu cầu học

y
3

x

y=

y

(c)

1

y=


15
y=
x

x


sinh học lập luận đối với
đồ thị của hàm số logarít.
• Giả sử đồ thị
y
= logax là (c)
- Đồ thị y = -logax
1
(hoặc loga x ) nhận được

bằng cách lấy đối xứng
(c) qua ox.

- Đồ thị y = loga(x+α) nhận được bằng cách tịnh tiến (c) theo trục ox α
đơn vị (sang trái nếu α > 0, sang phải nếu α < 0)
- Đồ thị y = logax + α nhận được bằng cách tịnh tiến (c) theo trục oy α
đơn vị (lên trên nếu α > 0, xuống dưới nếu α < 0)
- Đồ thị y = loga x nhận được bằng cách:
+) Giữ nguyên phần đồ thị (c) phía trên 0x.
+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới 0x của (c) qua trục 0x
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài toán sau:
Câu 5: Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số
y = log a x; y = log b x .Chọn mệnh đề đúng.

quan tâm đến việc xây dựng và sử dụng hợp lý các phương tiện dạy học trực
quan sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông, đáp
ứng được yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Bùi Hùng Tráng

17


Tài liệu tham khảo
1. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các bài
giảng luyện thi môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
2. Bùi Hùng Tráng,(2005) Góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số
mũ, hàm số logarít - Đại số và Giải tích 11 THPT (sách giáo khoa chỉnh lý hợp
nhất năm 2000) thông qua việc xây dựng và sử dụng một số dạng phương tiện
dạy học trực quan”.Luận văn thạc sỹ.Vinh
3. Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phạm Văn Hạc, Phạm Văn
Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình
Thịnh (1997), Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
5. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán mũ, logarít, Nxb
Hà Nội, Hà Nội.