Danh mục chữ cái viết tắt
Ký hiệu viết tắt
Ý nghĩa
BGD & ĐT

Bộ Giáo dục và Đào tạo

NXB GD

Nhà Xuất bản Giáo dục

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

THPT

Trung học phổ thông

THPT QG

Trung học phổ thông Quốc gia

BBT

Bảng biến thiên


những khó khăn để tạo lại bước đà ngay từ đầu năm.
Đặc biệt năm 2017 là năm đầu tiên thi THPT QG với hình thức thi trắc
nghiệm đòi hỏi học sinh phải giải nhanh và thật chính xác các câu hỏi thì một
trong những phương pháp tối ưu hơn cả đó là: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số”.
Biết được đây là vấn đề khá nan giải, cùng kinh nghiệm giảng dạy lớp 12
chưa nhiều và khả năng nghiên cứu còn nhiều hạn chế, nhưng với tinh thần nhiệt
huyết, yêu nghề, thương yêu học sinh, đặc biệt là các em yếu kém, năm học
quyết định tương lai sau 12 năm ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy tôi mạnh dạn
chọn đề tài: “Một số biện pháp giúp học sinh yếu kém lớp 12 Trường THPT
Triệu Sơn 5 giải bài tập tính đơn điệu của hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với SKKN này tôi mong muốn có thể giúp các em học sinh yếu kém có
thể giải được những bài tập cơ bản về “Tính đơn điệu của hàm số”, góp phần
nâng cao chất lượng dạy học và kết quả kỳ thi THPT QG. Giúp cho các đồng
nghiệp có thêm sự lựa chọn khi nghiên cứu và áp dụng tính đơn điệu của hàm số
vào từng nội dung chương trình Toán THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh yếu kém khi thực hành giải toán 12 trường THPT Triệu Sơn 5.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, SKKN sử dụng những phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của BGD & ĐT, phân tích
kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu,...). Bước đầu mạnh dạn thay
đổi từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm và kết quả thu được.
Lựa chọn các ví dụ và bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh từ đó đưa ra lời giải nhanh và chính xác nhất.

2



Tinh thần vựơt khó để học tập của học sinh chưa cao, thái độ và động cơ
học tập còn có những điểm chưa tốt.
2.2.3. Chất lượng học tập môn Toán của học sinh lớp 12B4
Khảo sát bằng bài kiểm tra đầu năm.
Để phát hiện chính xác những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán,
biện pháp tốt nhất là cho học sinh làm bài kiểm tra.
Kết quả đánh giá chất lượng đầu năm của học sinh lớp 12B4

STT Môn
01

Lớp

Toán 12B4

Sĩ
số
43

T.Bình
Giỏi
trở lên
SL % SL %
5 11,6 0
0

Khá
SL
0



học sinh yếu kém này khắc phục khó khăn khi giải toán, vì đây là nhiệm vụ giáo
dục quan trọng mà nhà trường và thầy cô giáo phải thực hiện có kết quả tốt.
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tóm tắt SGK, các kiến thức liên quan [1]
Cho hàm số y=f(x) có TXĐ: D
i) Hàm số f(x) đồng biến trên D nếu f’(x) ≥ 0 ∀ x∈ D ( f’(x)=0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm trên D).
ii) Hàm số f(x) nghịch biến trên D nếu f’(x) ≤ 0 ∀ x∈ D ( f’(x)=0 chỉ tại
một số hữu hạn điểm trên D).
iii) GTLN-GTNN của hàm số trên một tập:
f ( x) ≤ M


f ( x) ⇔ 
f ( x) ⇔
M= max
; m= min
D
D
∃x 0 ∈ D : f ( x0 ) = M

 f ( x) ≥ m

∃x0 ∈ D : f ( x 0 ) = m

f ( x) ≤ m,
iiii) f(x) ≤ m thỏa mãn ∀ x∈ D ⇔ max
D
f ( x ) ≥ m,

5


nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối
với việc học môn Toán.
2.3.3. Phương pháp dạy học toán lớp 12
2.3.3.1. Phương pháp dạy học bài mới
Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề của bài toán.
Giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức mới
Hướng dẫn học sinh thiết lập mối quan hệ giữa kiến thức mới và kiến thức
đã học trước đó.
Giúp học sinh thực hành, rèn luyên cách diễn đạt thông tin bằng lời, bằng
kí hiệu.
2.3.3.2. Phương pháp dạy học các bài luyện tập, ôn tập
Giúp học sinh nhận ra các kiến thức mới học trong các dạng bài tập khác nhau.
Giúp học sinh luyện tập theo khả năng các em.
Hỗ trợ, giúp đỡ nhau giữa các đối tượng học sinh.
Tập cho học sinh thói quen không thoả mãn với bài làm của mình đã làm.
2.3.4. Phân loại đối tượng và đề xuất một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém giải toán 12
Sau khi nghiên cứu nguyên nhân học yếu kém của từng học sinh, nghiên
cứu từng phương pháp dạy học tôi đưa ra biện pháp sau:
Biện pháp : Quan tâm nhiều hơn đối với những học sinh yếu, kém
Quan sát các em thực hiện để phát hiện chỗ sai của các em nhằm nhắc các
em kiểm tra để tự phát hiện.
Nếu bài tập có nhiều cách thực hiện, gợi ý để các em phát hiện .
Khi thấy các em có kết quả thực hành tốt, cho các em trình bày và khen
ngợi để động viên, khích lệ các em.
Khi trao đổi, thảo luận cần đưa các em vào nhóm có học sinh học tốt hơn
với số lượng hợp lí để các em học hỏi bạn thêm….

cặp, lấp dần lỗ hổng kiến thức, hình thành dần phương pháp học toán cho các
em. Luôn khích lệ động viên để các em không bị mặc cảm, tự ti mà tự tin vào
bản thân mình để từ đó vươn lên trong học tập. Với các em này, thầy (cô) giáo
phải hết lòng thương yêu, giúp đỡ, thầy (cô) là chỗ dựa tinh thần và tình cảm
của các em.
Biện pháp : Tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu kém.
Với học sinh lớp 12 ở đầu năm học, dù các em yếu kém đến mức nào,
cũng chưa cần phụ đạo nhiều, mỗi tuần 2 đến 3 tiết cho môn toán là có thể đủ.
Điều quan trọng là trong buổi phụ đạo phải xác định chính xác “lỗ hổng” của
từng em và tiến hành “lấp lỗ” đúng phương pháp như trong dạy học bài mới, tức
là hướng dẫn các em tự nêu và giải quyết vấn đề, yêu cầu các em tự thành lập lại
các công thức tính mà các em chưa nắm được. Thầy cô tránh làm thay học sinh.
Để có hiệu quả và đỡ tốn thời gian, nên gom học sinh yếu kém lập một
lớp phụ đạo. Giáo viên theo dõi kĩ từng học sinh để nghiên cứu tìm ra biện pháp
giúp đỡ.
2.3.5. Các ví dụ minh họa
Muốn giải quyết tốt được các bài toán về sự biến thiên của hàm số trước
hết học sinh phải nắm chắc công thức tính đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm ( lớp
11), dấu của nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai (lớp 10), định nghĩa
tính đơn điệu, định lý về tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số (lớp 12). Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra các ví dụ từ đơn giản

7


đến phức tạp, và các câu hỏi trắc nghiệm để học sinh làm quen với hình thức thi
trắc nghiệm.
2.3.5.1. Các ví dụ về xét tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y=4+2x-x2;


+

0
5

y

-

-

-

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;1) , nghịch biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
Chú ý:
Khi dạy ví dụ này giáo viên cần nhắc lại dấu của nhị thức bậc nhất.
Khi kết luận tính đồng biến, nghịch biến nhấn mạnh cho các em phải nhìn vào
dòng chứa x kết hợp với dấu của đạo hàm (hay chiều của mũi tên).
x = 1
 x = −7

b) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=x2+6x-7, y’=0 ⇔ 
Bảng biến thiên:

x
y’
y

-∞


Khi kết luận tính đồng biến nhấn mạnh cho các em là hàm số đồng biến
trên khoảng (- ∞ ;-7) và (1; + ∞ ), tránh sai lầm kết luận hàm số đồng biến trên
khoảng (- ∞ ;-7) ∪ (1; + ∞ ).
c) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=-x2+6x-9, y’ ≤ 0 với mọi x ∈ R
y’=0 ⇔ x=3.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;+∞ ), (hay trên tập R).
Chú ý:
Khi giải ví dụ này học sinh thường mắc sai lầm như sau:
Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=-x2+6x-9, y’=0 ⇔ x=3.
Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

3
0

+

+∞
-

-9
y
-∞

-∞


Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞;2) và (2; + ∞ ).
Chú ý:

9


Học sinh nên áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số y=

ax + b
là y’=
cx + d

ad − bc
để tính nhanh và chính xác (giáo viên có thể cho học sinh chứng minh
(cx + d ) 2

để khắc sâu công thức này).
Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh cách điền các đầu mút lên bảng biến
thiên, học sinh nắm chắc để sau này học sinh làm trắc nghiệm nhìn vào là nhận
biết được đáp án đúng.
Học sinh thường sai lầm kết luận hàm số đồng biến trên khoảng R\{2}.
Việc chú ý những sai lầm là vô cùng cần thiết bởi hình thức thi trắc
nghiệm là phải chọn đáp án đúng hoặc đúng nhất. Đặc biệt là các các đáp án đưa
ra lại dựa vào các sai lầm thường gặp của học sinh.
x = 0

e) Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có y’=4x -4x, y’=0 ⇔  x = 1
 x = −1
3



+∞
2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0), (1;+ ∞ ) và nghịch biến trên
các khoảng (- ∞; -1), (1;+ ∞ ).
Chú ý:
Đối với hàm số y=ax4+bx2+c, nếu phương trình y’=0 có 3 nghiệm có 3
nghiệm phân biệt thì khi xét dấu của đạo hàm ta chỉ xét trên một khoảng, các
khoảng còn lại “đan dấu với nhau” (hay nhớ khoảng ngoài cùng, cùng dấu với
hệ số a).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y= x 2 − 3x + 2 ,

b) y= 4 x − x 2 ,

c) y=

2x
[1],
2
x −9

d) y=

2x 2 − x − 1
.
x +1

Hướng dẫn:

y’
y

+

4

0

-

2
0

0

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch biến trên khoảng
(2;4).
c) TXĐ: D=R\ { − 3;3} .
Ta có: y’=

− 2 x 2 − 18
, y’
0
-

+∞

0

+
+∞
-1

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞;−2 ) và (0; + ∞ ), nghịch biến
trên khoảng (-2;-1) và (-1;0).
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y=-x3+3x2+3mx-1 (1) nghịch biến trên khoảng (0;+ ∞
).[2]
Hướng dẫn:
Ta có y’=-3x2+6x+3m.
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+ ∞ ) khi và chỉ khi y’ ≤ 0, ∀x > 0

11


⇔ m ≤ x2-2x, ∀x > 0 .

Xét f(x) = x2 – 2x với x > 0. Ta có f’(x) = 2x – 2; f’(x) = 0  x = 1
Bảng biến thiên:
x

0


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; ).
1
3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1 ).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ∞ ).
Hướng dẫn:
x = 1
Ta có: y’=3x -4x+1, y’=0 ⇔  1
x=
3

1
Dấu của y’:
x -∞
1
3
2

y’

+

0

+∞

- 0 +

Kết luận : Đáp án A.


1
0

-

13
3

y

+∞
+
+∞

−

-∞

1
6

Kết luận: Đáp án A.
Chú ý:
Ví dụ này nhắc nhở học sinh: Khi nhìn vào bảng biến thiên của bài này
các em chưa nhìn thấy đáp án đúng ngay. Tuy nhiên các em phải bình tĩnh để
suy xét các trường hợp của đáp án và thấy số 0 xuất hiện, khi đó đặt số 0 lên
bảng biến thiên là ta có đáp án.
x−2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?[3]

D. y=-x3-2x+1.

13


Phân tích:
Trước hết hàm số nghịch biến trên R thì tập xác định của hàm số là R nên
loại bỏ đáp án B và C.
Điều kiện để hàm số nghịch biến trên R là?...Sau đó ta đi vào tính đối với
hàm đơn giản hơn.
Hướng dẫn:
Đáp án: D
Ta có y’=-3x2-2
Ta có y’=
2
( 2 x + m)
2

Kết luận: Đáp án B
Câu 7: Cho hàm số y =

mx − 8
, hàm số đồng biến (3;+ ∞ ) khi:
x − 2m

14


A. -2 ≤ m ≤ 2
B. -2 < m < 2.
3
.
2
3
D. – 2 < m ≤ .
2

C. – 2 ≤ m ≤

Phân tích:
Về bản chất thì nội dung câu 7 tương tự câu 6 tuy nhiên về mức độ thì khó hơn.
Đối với những bài có điều kiện giàng buộc thì ta nên dùng bảng biến thiên
rồi đặt khoảng (3;+ ∞ ) lên bảng biến thiên ta có ngay điều kiện của m.

3
2

-2< m ≤ .

Kết luận: Chọn đáp án D.
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y=
π
4
A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 , B. m ≤ 0 ,

tan x − 2
đồng biến
tan x − m

trên khoảng (0; ).[3]

C. 1 ≤ m < 2 ,

D. m ≥ 2

Phân tích:
Đây là câu hỏi tương đối khó đối với học sinh yếu và trung bình, tuy
nhiên giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh “quy lạ về quen” là học sinh dễ dàng
vượt qua.
Đặt t=tanx, điều kiện của t là?...(học sinh trả lời)
Vì sao phải đặt? Nếu không đặt thì bài toán có giải được không?...Chỉ với 2 câu
hỏi gợi ý thì bài toán đã trở nên quen thuộc với học sinh.
π
4

x = 1
 x = −1

Ta có: y’=-3x2+3, y’=0 ⇔ 
Bảng biến thiên:
x
y’

-∞

y

+∞

1
0

-

1
0

+∞
-

0

-4
-∞
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:


+

+∞

0

10

-1
1
Dựa vào BBT: -1
8

+∞
-19

Dựa vào BBT ta có: -19
x+5

a) y = x3 – 2x2 + x + 1;

c)

b) y = -x4 – 2x2 + 2;
Bài 2: Tìm m để hàm số:

d) x + 2 + 2 2 − x .

x3
a) y = + (m + 1) x 2 − (m + 1) x + 2 đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
3

b) y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 1 đồng biến trên khoảng (2; + ∞ ).
mx + 9
(m ≠ ±3) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ).
x+m
x−m
d) y =
đồng biến trên khoảng (-1;+ ∞ ).
x+m

c) y =

Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – mx – 2 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (- ∞ ;0).
Bài 4: Cho hàm số y = x3 –mx2–(2m2 – 7m + 7)x + 2(m – 1)(2m + 2). Tìm m để
hàm số đồng biến trên (2; + ∞ ).

01

Lớp

Toán 12B4

Sĩ
số

T.Bình
trở lên
SL
%

43

15

34,89

Giỏi

Khá

SL % SL
0

0

5

13

30,22

Nhận xét:
Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm.
Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra
trước thực nghiệm.
Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm
tra trước thực nghiệm và nhiều hơn.
Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với
kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng.
Tóm lại, qua thực nghiệm lần 1 cho thấy: biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém ở lớp 12 đã cho kết quả đáng khích lệ, đó là đã làm giảm đáng kể số học
sinh yếu, kém. Tuy nhiên, để khẳng định thêm, tôi thực nghiệm lần 2 ở lớp thực
nghiệm lần 1 bằng bài kiểm tra.
Kết quả thực nghiệm lần 2: Để khẳng định lại kết quả thực nghiệm lần 1,
tôi tiến hành thực nghiệm lần 2. Kết quả như sau:
STT
01

Môn
Toán

Lớp
12B4

Sĩ
số
43

16,29

Nhận xét: Qua số liệu của bảng, chứng tỏ biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém khi giải toán về một phần kiến thức ở lớp 12 đã cho kết quả đáng tin cậy.
Tuy chưa làm tăng tỉ lệ học sinh giỏi, chỉ làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh khá và
trung bình nhưng đã làm giảm tỉ lệ học sinh yếu kém. Vì thế, để nâng cao chất
lượng dạy học Toán ở lớp 12, giáo viên cần tìm hiểu và đề xuất những biện pháp mới.
2.4.2. Với bản thân
Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm trên tôi đã tìm
được phương án tối ưu nhất trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được hệ

19


thống chương trình, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán, gây
hứng thú học tập cho học sinh.
2.4.3. Với đồng nghiệp
Tôi đã trao đổi sáng kiến kinh nghiệm của mình với đồng nghiệp và đã được
đồng nghiệp đóng góp ý kiến. Những ý kiến đó là vô cùng quý giá không chỉ với
riêng tôi mà đó còn là những kinh nghiệm đối với từng đồng nghiệp trong tổ.
2.4.4. Với nhà trường
Tôi nhận thấy chất lượng giáo dục và dạy học nhà trường ngày càng đi lên.

20


3. Kết luận
3.1. Kết luận
Việc áp dụng SKKN này trong giảng dạy môn toán cho đối tượng học
sinh yếu, kém đã cho những kết quả khả quan trong việc tạo cho học sinh hứng


Trịnh Thị Hiền
TÀI LIỆU THAM KHẢO

21


[1] SGK, sách giáo viên và sách bài tập giải tích 12, NXB GD.
[2] Các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán của bộ GD.
[3] Đề thi minh họa của Bộ GD & ĐT.
[4] Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 môn toán NXB GD.
[5] Nguồn tài liệu từ internet.

22