1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo như phương án tổ chức kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017 mà Bộ Giáo
Dục đã công bố thì ngoài môn Ngữ Văn, tất cả các môn còn lại đều thi theo
hình thức trắc nghiệm. Như vậy, môn Toán, môn Ngoại ngữ và bài thi KHXH,
KHTN sẽ thi bài thi trắc nghiệm. Điều này được xem là thay đổi lớn nhất và
cũng gây lo lắng nhiều nhất cho học sinh, đặc biệt đối với môn Toán khi mà
trước nay vẫn quen với hình thức thi tự luận.
Hơn thế nữa, một chủ đề mới chính thức xuất hiện trong đề thi minh họa lần
1 và lần 2 năm học 2016- 2017 của Bộ Giáo Dục đó là bài toán thực tế. Một
trong số các bài toán thực tế đó phải kể đến bài toán về lãi suất ngân hàng, một
vấn đề mà chúng ta thường hay gặp trong cuộc sống và nhất định phải biết để
còn vận dụng trong cuộc sống hiện tại cũng như sau này.
Trước những sự thay đổi đó thì điều cần tất yếu là các em phải tập làm quen
với nó. Không một ai tài giỏi để có thể thích ứng ngay với cái mới. Vì vậy, điều
cần làm bây giờ là các em phải được luyện giải thật nhiều đề trắc nghiệm.
Để giúp các em học sinh làm quen với tính mới mẻ và sự cần thiết của bài
toán về lãi suất ngân hàng trong kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như trong cuộc
sống, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải trắc nghiệm môn Toán cho
học sinh lớp 12B2 trường THPT Triệu Sơn 3 thông qua một số bài toán về lãi
suất ngân hàng ” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2016-2017. Cho đến nay chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể về vấn đề trên,
nên đề tài tôi nghiên cứu thiết nghĩ là thực sự cần để các em vững tin vượt vũ
môn một cách tốt nhất.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn
phục vụ cho công tác dạy học.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải trắc nghiệm môn Toán thông qua một
số bài toán về lãi suất ngân hàng.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản, cần thiết để giải quyết
những vấn đề trong thực tế cuộc sống sau này.

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để giải quyết vấn đề tôi dựa vào cơ sở lý luận sau :
2.1.1.Lãi hay lãi vay hay tiền lãi là phí trả cho một khoản vay tài sản cho
chủ sở hữu như một hình thức bồi thường cho việc sử dụng của tài sản. Phổ biến
nhất là giá phải trả cho việc sử dụng tiền vay, hoặc tiền thu được của khoản tiền
gửi. Khi tiền được vay, lãi vay thường được trả cho người cho vay như một phần
của số tiền gốc còn nợ người cho vay. Tỷ lệ phần trăm của vốn gốc được trả phí
trong một thời gian nhất định (thường là một tháng hoặc quý hoặc năm) được
gọi là lãi suất.
2.1.2. Lãi đơn
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi
do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn
để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp, cho dù đến kỳ hạn người gửi không đến rút tiền
ra.
2.1.3. Lãi kép
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số
tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Nó chính là lãi tính trên lãi hay còn gọi là
ghép lãi. Khái niệm lãi kép rất quan trọng vì nó được ứng dụng để giải quyết
nhiều bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình thực tiễn dạy học tôi nhận thấy rằng khi dạy học “Bài toán về
lãi suất ngân hàng” gặp một số khó khăn và hạn chế như sau:
+ Do đa phần số học sinh hiện nay chủ yếu chỉ tiếp thu các tri thức từ thầy
cô, sách vở, chưa được tiếp xúc nhiều với các vấn đề trong cuộc sống dẫn đến
tâm lý “ e ngại” thậm chí “sợ” khi gặp bài toán thực tế. Nhiều học sinh cứ gặp
dạng toán này là bỏ qua, khoanh tù mù hoặc không chịu tư duy để giải toán cho
dù chưa biết bài tập đó dễ hay khó.
+ Phần bài toán về lãi suất ngân hàng này được dạy lồng ghép trong tiết lý
thuyết về hàm số mũ, phương trình mũ nên thời lượng dành cho bài toán rất ít,

Trong đó: T là số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn; a là tiền gốc ban đầu; r
là lãi suất định kỳ (%); n là số kỳ hạn tính lãi (tháng hay quý hay năm).
Bài tập áp dụng 1: Bác Ân gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi suất
5%/năm theo hình thức lãi đơn. Hỏi sau 5 năm bác Ân nhận được cả vốn lẫn lãi
là bao nhiêu?
A.1,24 triệu đồng
B. 1,23 triệu đồng
C. 1,25 triệu đồng
D. 1,26 triệu đồng
Giải:
Áp dụng công thức (1), ta có sau 5 năm bác Ân nhận được số tiền cả vốn lẫn
lãi là: T5 = 1( 1 + 5.5% ) = 1,25 triệu đồng.
Chọn C.
Bài tập áp dụng 2: Thầy Cường gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất
7%/năm theo hình thức lãi đơn. Hỏi sau 2 năm thầy Cường nhận được cả vốn
lẫn lãi là bao nhiêu?
A.11,40 triệu đồng
B. 11,30 triệu đồng
C. 11,41 triệu đồng
D. 11,35 triệu đồng
Giải:
Áp dụng công thức (1), ta có sau 2 năm thầy Cường nhận được số tiền cả
vốn lẫn lãi là: T2 = 10 ( 1 + 2.7% ) = 11,40 triệu đồng.
Chọn A.
Bài toán tổng quát 1b: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất
hàng tháng là r% trong n tháng. Biết lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn.
Tính cả vốn và lãi T sau n tháng.
Giải:
Gọi T là số tiền vốn lẫn lãi sau n tháng, ta có:
• Tháng 1(n=1): T1 = a + ar = a ( 1 + r )  

(4)
a
n

Tiền gốc ban đầu: a =

Tn
n
( 1+ r )

(5)

Bài tập áp dụng 1: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường
THPT Nguyễn Tất Thành- Hà Nội)
Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm
với lãi suất 7,65%. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm, ông A thu
được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu triệu đồng?
5
5
A. 15.( 0,0765 ) triệu đồng
B. 15. 1 + 2 ( 0,0765 )  triệu đồng

C.15.( 1 + 0,765 ) triệu đồng
D. 15.( 1 + 0,0765) triệu đồng
Giải:
5
5
Áp dụng công thức (2), ta có: T5 = 15.( 1 + 7,65% ) = 15.( 1 + 0,0765) .
Chọn D
Bài tập áp dụng 2: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường


5


Chọn D
Bài tập áp dụng 4: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của Sở
GD&ĐT Hà Nội)
Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%/năm, lãi
hàng năm được nhập vào vốn. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x ∈ Ν ) ông
Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy
30 triệu.
A. 150.
B. 154.
C. 145.
D. 140
Giải:
Áp dụng công thức (2), ta có số tiền cả gốc và lãi ông Việt có được sau 3
3
năm là: T3 = x ( 1 + 0,065 )
3
Theo bài ra: x ( 1 + 0,065) - x = 30 ⇒ x ≈ 144, 3
Do x nguyên dương nên chọn x = 145.
Chọn C
2.3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi tiền theo kỳ hạn.
Bài toán tổng quát 2: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng theo kỳ hạn n
tháng, với lãi suất r% một tháng. Tính cả vốn và lãi T sau m năm.
Giải:
12m
• m năm tương ứng với q =


Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ hạn), áp dụng công
thức (6) ta có số tiền cả vốn lẫn lãi bác nông dân nhận được là:
11
T1 = 20000000. ( 1 + 4, 25% ) (đồng) .
Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền
T1 được tính lãi suất không kỳ hạn trong 60 ngày là: T2=T1.0,01%.60 (đồng).
Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận được là:
T= T2+T1=31803311 (đồng).
Chọn A
Bài tập áp dụng 2: Cô Mai gửi 350 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo
phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,3% một
quý trong thời gian 24 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất
0,69% một tháng trong thời gian 14 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân
hàng là 47,1841059 triệu đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền cô Mai lần lượt gửi ở
ngân hàng X và ngân hàng Y là bao nhiêu?
A.120 triệu và 230 triệu.
B. 230 triệu và 120 triệu.
C.100 triệu và 250 triệu.
D. 250 triệu và 100 triệu.
Giải:
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) cô Mai nhận được từ cả hai
ngân hàng là: 350+ 47,1841059 = 397,1841059 triệu đồng.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền cô Mai gửi ở ngân hàng X, khi đó (350-x) (triệu
đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.
Áp dụng công thức (6), ta có:

x ( 1 + 2,3% ) + ( 350 - x ) ( 1 + 0,69% ) = 397,1841059
8


đó nhận được sau 10 năm là:
T=100000000(1+0,0189)40=211476682,9 đồng.
Nhận xét:
1. Ngân hàng bao giờ cũng ưu tiên lãi suất cho kỳ hạn dài ngày hơn. Cùng
một số tiền gửi ngân hàng trong cùng một thời gian nhưng kỳ hạn dài ngày sẽ
nhận được nhiều tiền hơn.
2. Hai bài toán tổng quát trên là hai bài toán cơ bản nhất. Nó là cơ sở giúp
chúng ta hình thành các bài toán tổng quát phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về
gửi tiền định kỳ, vay trả góp .
2.3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi tiền hàng tháng(hoặc quý hoặc năm).
Bài toán tổng quát 3: Một người gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi
suất hàng tháng là r% .Hỏi sau n tháng người đó có bao nhiêu tiền?
Giải:
Trường hợp1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
• Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc bắt đầu gửi tiền : T1 = a
• Cuối tháng thứ hai, có số tiền :
T2 = a ( 1 + r ) + a = a ( 1 + r ) + 1 = a ( 1 + r ) 2 -1
r

2
3
a
a
a
• Cuối tháng thứ ba: T3 = ( 1 + r ) -1 ( 1 + r ) + r = ( 1 + r ) -1
r
r
r
………………

⇒a =
n
(8)
( 1 + r ) ( 1 + r ) -1





Tn .r
+1 + r ÷
a
 -1
(9)
⇒n = 
ln ( 1 + r )
Bài tập áp dụng 3.1: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 của trường
THPT Yên Hòa - Hà Nội)
ln 

8


Bác Bình cần sửa lại căn nhà với chi phí 1 tỷ đồng. Đặt kế hoạch sau 5 năm
phải có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản
tiền gần như nhau gần nhất bằng giá trị nào sau đây, biết lãi suất của ngân hàng
là 7%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 162 triệu đồng.
B. 162,5 triệu đồng.
C. 162,2 triệu đồng.

B. 635000
C. 613000
D. 643000
Giải:
Giả sử người đó gửi tiền vào đầu mỗi tháng.
Áp dụng công thức (7), ta có :
15
T 
10000000 =
( 1 + 0,6% ) -1 ( 1 + 0,6% )
0,6%
Giải phương trình tìm được T = 635000.
Chọn B.
Bài tập áp dụng 3.3: Đầu mỗi tháng cô Lệ gửi ngân hàng 3 triệu đồng, lãi
suất 0,6%/tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi
ngân hàng đã tính lãi) thì cô Lệ có được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu đồng
trở lên.
A. 30 tháng
B. 31 tháng
C. 40 tháng
D. 35 tháng
Giải:
3.0,6%
ln 
+ 1 + 0,6% ÷
 -1 ≈ 30,3 .
Áp dụng công thức (9), ta có: n =  100
ln ( 1 + 0,6% )
Vậy cô Lệ phải gửi ít nhất 31 tháng.
Chọn B

T9 .r
5000000.0,5%
a =
=
≈ 542000
9
5
( 1 + r ) ( 1 + r ) -1 ( 1 + 0,5% ) ( 1 + 0,5% ) -1








Chọn A
2.3.4.Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán trả góp.
Bài toán tổng quát 4: Vay ngân hàng a đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng
một tháng trả x đồng. Định x để sau n tháng là hết nợ.
Giải:
• Sau tháng thứ 1, còn nợ: a ( 1 +r ) - x
• Sau tháng thứ 2, còn nợ:  a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) + 1 x
• Sau tháng thứ 3, còn nợ:
2
3
2
  a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) +1 x ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - ( 1 + r ) + ( 1 + r ) +1 x


nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn
nợ.

100.( 1,01)
A. m =
triệu đồng
3
3

( 1,01)
B. m =
triệu đồng
3
( 1,01) -1
3

10


120.( 1,12 )
D. m =
triệu đồng
1,123 -1

100.( 1,03)
C. m =
triệu đồng
3

3





đồng
Lúc này, coi như Minh nợ ngân hàng số tiền: 12927407,43 đồng, số tiền này
được tính lãi và trả góp trong 5 năm.
Áp dụng công thức (10), ta có:

ar (1 + r )n 12927407,4.( 1 + 0,25% ) .0,25%
=
≈ 232289
T=
60
(1 + r )n -1
( 1 + 0,25% ) -1
60

Chọn B
Bài tập áp dụng 3: (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 trường
THPT chuyên Hạ Long)
Ông A vay một ngân hàng 300 triệu đồng mua nhà theo phương thức trả
góp, lãi suất 0,5% /tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông
hoàn nợ cho ngân hàng 5,6 triệu và chịu lãi số tiền chưa trả thì sau bao nhiêu
tháng ông trả hết số tiền vay cho ngân hàng?
A. 62
B. 63
C. 64
D. 65
Giải:

Giải phương trình tìm được: n ≈ 21,6 . Do đó số tháng để trả hết nợ là 22
tháng.
Chọn B.
Nhận xét:
1. Bài toán trả góp là bài toán khá hay và khó trong các bài toán về lãi suất
ngân hàng.
2. Bài toán trả góp có ứng dụng rộng rãi trong thực tế cuộc sống.
2.3.5.Giải pháp 5: Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lãi kép để giải
bài toán gửi và rút tiền tiết kiệm theo định kỳ.
Bài toán tổng quát 5: Gửi ngân hàng số tiền a đồng, lãi suất r%/tháng. Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền x đồng. Tính số tiền còn lại sau
n tháng.
Giải:
• Cuối tháng thứ 1, khi ngân hàng tính lãi thì số tiền có được là:
T1 = a ( 1 + r ) và sau khi rút lãi số tiền còn lại:  S2 = a ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - x  
• Cuối tháng thứ 2, khi ngân hàng tính lãi thì số tiền có được là :
T2 =  a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) và sau khi rút lãi số tiền còn lại:
 S2 = a ( 1 + r ) - x  ( 1 + r ) - x = a ( 1 + r ) - x  
2

...

(1 + r ) n -1
• Số tiền còn lại sau n tháng: Sn = a ( 1 + r ) - x
r
n
r
Suy ra : x = [a ( 1 + r ) - Sn ] (1 + r )n -1
(11)
Nhận xét :

Chọn B
Bài tập áp dụng 2: (Trích đề thi học sinh giỏi Quốc Gia năm 2013)
Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm số tiền là 8 triệu đồng,
lãi suất 0,9%/tháng. Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau
vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn
đến 1000đồng) để sau đúng 4 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi?
A. 206013 đồng
B. 205877 đồng
C. 205988 đồng
D. 206111 đồng
Giải:
n
r
Áp dụng công thức (10): x = [a ( 1 + r ) - Sn ] (1 + r )n - 1 , với Sn=0,n=48
48
0,9%
Ta có: x = [8 ( 1 + 0,9% ) - 0] (1 + 0,9%)48 - 1 ≈ 205988
Chọn C.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Kết quả thực nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài nhằm rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm môn Toán
trong chủ đề bài toán về lãi suất ngân hàng cho học sinh lớp 12B2 trường THPT
Triệu Sơn 3, kết quả thu được như sau:
2.4.1.1. Kết quả từ các phiếu thăm dò:
Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2).
Kết quả khảo sát thăm dò ý kiến học sinh về việc rèn luyện kỹ năng giải trắc
nghiệm Toán cho học sinh 12B2 thông qua một số bài toán về lãi suất ngân
hàng. Qua kết quả thăm dò cho thấy:
+ Đa số học sinh hiểu bài, phát hiện và vận dụng nhanh công thức để giải và

như sau:
Bảng 1: Lớp thực nghiệm
Điểm
Số bài
0-2
3- 4
5-6
7-8
9-10
sl
0
9
29
11
0
Trước tác động 49
%
0,0
18,4
59,2
22,4
0,0
sl
0
1
25
16
7
Sau tác động
49


sl

%
Bảng 3: Trước tác động

0

7

28

0,0

15,6

62,2

Lớp đối chứng
Điểm trung bình
Chênh lệch điểm trung bình

10
22,2

0
0,0

Lớp thực nghiệm


thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Bài toán về lãi
suất ngân hàng” hiện nay.
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức lãi đơn và lãi kép để giải các bài toán lãi suất ngân hàng cho
học sinh.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở bài tập tổng quát và hệ
thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi thử THPT Quốc Gia của các
trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước (phụ lục 1)
để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán.
3.2. Kiến nghị
- Đối với giáo viên:
Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng dạy học Toán gắn
liền thực tiễn nhằm giúp các em hứng thú học tập, tự giác học tập môn Toán
hơn. Trang bị cho học sinh thật vững vàng về những kiến thức cơ bản, hệ thống
các bài tập luyện tập theo từng chủ đề, luyện cho các em giải thật nhiều đề trắc
nghiệm của nhiều trường để rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán cho các
em.
- Đối với nhà trường:
Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp
dạy học theo hướng dạy học Toán gắn liền với thực tiễn, viết và áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng song thiếu xót, hạn chế của đề tài là không thể
tránh khỏi tôi rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô giáo, các bạn

15


đồng nghiệp. Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu


SGK Giải tích 12 CB, SGK Giải tích 12 NC NXB GD, 2008.
Đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT.
Đề thi thử THPT Quốc Gia của Sở GD&ĐT một số tỉnh, thành phố.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Lan Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn 3

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Rèn luyện kỹ năng giải toán Sở GD&ĐT
cho học sinh lớp 10 thông qua Thanh Hóa
một số bài toán khoảng cách
và góc.

Kết
quả