ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT
LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
\

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT
LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2016


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

TH

Trường hợp

ĐS

Đáp số

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm


Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 7
1.1 .Kĩ năng ....................................................................................................... 7
1.1.1 Khái niệm về kĩ năng ............................................................................... 7
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn toán ........................................................... 8
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng.................................................................................... 9
1.2. Một số bước thực hiện việc rèn luyện kĩ năng giải toán ...................... .111
1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học chương “Tổ hợp – Xác suất” lớp 11
THPT. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp - Xác suất” ........................................................................... 12
1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng
bài toán cho học sinh ....................................................................................... 14
1.5. Tiếp cận quan điểm dạy học hiện đại, nâng cao rèn luyện kỹ năng giải
toán phần Tổ hợp - Xác suất cho học sinh ...................................................... 20
1.5.1. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt
động trí tuệ khác .............................................................................................. 20
1.5.2. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc
rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới ............................ 20
1.5.3. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có
tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .................................... 21
1.5.4. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc
xây dựng và dạy học hệ thống bài tập ............................................................. 21
1.5.5. Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy
học bài tập Tổ hợp - Xác suất lớp 11 .............................................................. 22
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 25

iii


Chƣơng 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP



DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống24
Bảng 1.2. Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán ........ 24
Bảng 3.1. Tại trường THPT Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội ....................... 110
Bảng 3.2. Tại trường THPT Tân Lập Đan Phượng Hà Nội .......................... 111
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ năng giải
toán .................................................................................................................. 24
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 1 ................................ 111
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 2 ................................ 112

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ nhanh chóng, lượng thông tin
bùng nổ. Cùng với đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả
năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật,
đời sống… Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã
chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo
dục. Như vậy rèn luyện kĩ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.
Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các
môn học khác. Nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, giải quyết
các tình huống trong công việc và trong cuộc sống. Toán học có vai trò to lớn
trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và

rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ
giữa học và hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài
tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện
mục đích khác” [14, tr.46]. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh các kĩ năng trong dạy học Toán.
Các kiến thức về Tổ hợp - Xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng đối
với mỗi con người trong xã hội hiện đại. Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp Xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức độ
rất khác nhau. Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có Tổ hợp mà
không có Xác suất. Trong thực tế, Xác suất mới chỉ được đưa vào chương
trình phổ thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban
năm 1995).
Trong chương trình Toán phổ thông, Tổ hợp - Xác suất là một trong những
nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông cũng
như đề thi đại học. Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó. Các bài

2


toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa
các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách
đầy đủ. Nội dung Xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó. Nếu học sinh
không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các công thức tính
Xác suất. Các bài toán về Xác suất rời rạc có liên quan chặt chẽ đến vấn đề Tổ
hợp. Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán Tổ hợp tốt thì có nhiều
thuận lợi khi giải các bài toán Xác suất rời rạc. Mục đích của chương “Tổ hợp
- Xác suất” là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung
Tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là:
“Rèn luyện kỹ năng giải toán trong qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11

đưa ra các phương án giải quyết cụ thể. Tiến hành điều tra quan sát mức độ
quan tâm của học sinh đến những ứng dụng thực tế của toán học và khai thác
những tình huống thực tế vào dạy học môn toán của giáo viên bậc Trung học
phổ thông.
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kĩ năng
giải toán cho học sinh qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 Trung học phổ
thông.

4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong thời gian từ tháng 3/2015 đến nay.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn luyện
cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 trung họcphổ
thông.

5. Nơi khảo sát
Học sinh các lớp 11D, 11A trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan
Phượng, Hà Nội.

6. Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
– Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

4


– Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?
– Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất ”.
– Trong dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” cần rèn luyện những kỹ năng
giải toán nào?

9. Kết quả nghiên cứu
– Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
– Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản).
– Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương
“Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản).
– Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinhviên
ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.

10. Cấ u trúc luâ ̣n văn
Ngoài phần mở đầu , phần kế t luâ ̣n và khuyế n nghi ̣, danh mu ̣c tài liê ̣u tham
khảo, luâ ̣n văn đươ ̣c trin
̀ h bày trong ba chương.
Chương 1. Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy
chương Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT.
Chương 3. Thực nghiê ̣m sư pha ̣m.

6

học


Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm về kĩ năng
Kĩ năng là sự thực hiện có hiệu quả một hành động bằng cách vận dụng
những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động để tiến hành phù hợp với những
điều kiện cho phép. Vì vậy, kĩ năng không chỉ là mặt kĩ thuật của hành động
mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể. Chính vì thế, để một người có được kĩ

những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [13, tr. 149].
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kĩ năng, chẳng hạn: “Kĩ năng
là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào
đó vào thực tế” [22, tr. 462] hoặc “Kĩ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ
thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích” .
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu chung
lại thì đều nói rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách
thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kĩ năng.
Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ
thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tư cách là công cụ của hành động (kĩ năng).
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn Toán
Có nhiều cách phân loại kĩ năng.Theo tâm lý giáo dục, người ta thường
chia kĩ năng học tập cơ bản thành ba nhóm:
1.1.2.1. Kĩ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ năng
nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó
có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

8


1.1.2.2. Kĩ năng thực hành
Trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài
toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong
đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
1.1.2.3. Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá

Rèn luyện kĩ năng phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để
phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần
khác nhau. Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt,
các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng tổng
hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn toán
phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan
trọng nhất để giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kĩ năng so sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác
định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự
bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên
quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có
thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố
bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu
hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai hệ là
tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng
giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29] .
Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Rèn luyện kĩ năng khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư
duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo

10


những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định. Các thuộc tính
chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những

nắm vững, người học cần ghi nhớ kĩ mục đích, điều kiện, quy trình của việc
thực hiện hành động.
Bước 2. Làm mẫu. Người dạy thao tác mẫu, người học quan sát nhiều lần,
giải thích các thao tác và ý nghĩa của thao tác, những quy định, điều kiện của
hành động, những điều nên tránh.
Bước 3. Người học xây dựng kế hoạch thực hiện. Căn cứ vào những tri thức
về cách tiến hành hoạt độngvà biểu tượng về những thao tác, người học vạch
cho mình kế hoạch, cách thức, thứ tự các thao tác thực hiện.
Bước 4. Thực hành và luyện tập. Người học lặp lại các thao tác như thao
tác mẫu của giáo viên và luyện tập các thao tác đó trong những tình huống
khác nhau.
Bước 5. Tự kiểm tra. Người học tiến hành so sánh, đối chiếu với các thao
tác mẫu, phát hiện ra các thiếu sót, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm
trong hành động và sửa chữa. Trong các bước này sự đánh giá kịp thời, chính
xác chất lượng thao tác có tác dụng lớn đối với việc củng cố hành động, nếu
thao tác đúng chúng ta sẽ được củng cố, những thao tác không đúng, sai lầm
sẽ được khắc phục kịp thời.
Bước 6. Thao tác sáng tạo. Việc hình thành kĩ năng sư phạm là phải tiến
hành hoạt động sư phạm (các thao tác) trong các tình huống sư phạm khác
nhau, tức là biết vận dụng một cách linh hoạt mềm dẻo vào các hoàn cảnh,
tình huống mới. Vì vậy người thầy phải xây dựng các tình huống khác nhau
để người học giải quyết.

1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học chƣơng “Tổ hợp – Xác suất” lớp
11 THPT
1.3.1. Đối với giáo viên
a. Khi dạy lý thuyết
– Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi, hào

12

13


– Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về Tổ hợp nên khi học
sang nội dung Xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức.
b. Khi học bài tập
– Học sinh ở mức trung bình chưa biết phân biệt được bài toán khi nào
dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp.
– Học sinh có học lực khá giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các
công đoạn chọn lựa hoặc tìm mối quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa
về bài toán Tổ hợp.
– Khi mới học, thậm chí đã học qua nhưng học sinh vẫn thường không biết
diễn đạt ý hiểu của mình nên trình bày còn dài dòng, phức tạp, khó hiểu.
– Hầu như học sinh đều thấy khó rút kinh nghiệm, phương pháp làm bài và
rất dễ quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới.
– Các bài tập phải vận dụng cả công thức riêng của Tổ hợp lẫn công thức
chung của các phần học khác như: phương trình, đẳng thức… Các bài toán
gắn với thực tiễn thường gây hiểu nhầm trong việc sử dụng các công thức.
Việc kết hợp kiến thức phần Tổ hợp và các kiến thức toán khác khiến cho
việc giải toán Tổ hợp thêm phần khó khăn.
c. Về kỹ năng giải toán
Trong phần bài tập về Tổ hợp, học sinh đã gặp khó khăn khi thiếu các kỹ
năng sau: Toán hóa thực tế, phân biệt các khái niệm, thiếu đánh giá điều kiện.
Như vậy dạng này cần áp dụng nhiều các kỹ năng khác hơn với các dạng toán
thông thường khác. Học sinh dễ nhầm lẫn dẫn đến giải thiếu, giải sai trong
quá trình làm bài.

1.4. Vận dụng tƣ duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích,
nhận dạng bài toán cho học sinh
Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết

Thúc Trình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận,…
Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện cho học
sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong rèn luyện kĩ năng toán học, cụ
thể là phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự. Trong tài liệu
này, tác giả đã phân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc
đề xuất một số lượng bài tập thực hành hết sức phong phú. Đặc biệt là, để

17


giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ
qui trình suy nghĩ để tìm lời giải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng như
việc phân tích về những khó khăn thường gặp khi giải toán và phương hướng
khắc phục những khó khăn đó. Đó là việc mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra
các phương pháp giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.
Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học
tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía
cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng dưới đây:
– Khả năng phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía
cạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều
khía cạnh khác nhau.
– Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời
giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các bài
toán mới.
Trong [19], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn
sách là rèn luyện tư duy sáng tạo nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào
việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông
qua lao động tìm tòi cái mới. Tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo, muốn tìm
ra cái mới thì trước hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể
do người khác đề xuất cho mình giải quyết. Nhưng muốn trẻ thành một người