1

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong
dạy học phần ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao
Practicing Mathematics for students in teaching of applying derivative,
Program of Calculus 12, Upgrade
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 115 tr. + Lê Thị Huyền Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán);
Mã số: 60 14 10
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Làm sáng tỏ khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán, sự hình thành kỹ năng, các
yêu cầu và biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là kỹ năng giải các dạng bài tập
ứng dụng đạo hàm. Đưa ra hệ thống các bài tập, đã được phân thành từng dạng bài, được
sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, có nhận xét, đánh giá sau mỗi bài giải. Bước đầu đề xuất
những định hướng và các biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp
dạy học hiện nay để hình thành và phát triển một số kỹ năng giải toán. Làm rõ tiềm năng
phát triển kỹ năng giải toán. Đưa ra kỹ năng cần thiết để giải một số loại toán về giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm cực trị hàm số, chứng minh bất đẳng
thức…, đồng thời cung cấp những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về hàm số.

Keywords: Phương pháp dạy học; Toán học; Giải tích; Lớp 12; Đạo hàm


Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Thanh Hà- Hải Dương.
Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12
5. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 12B, 12C, trường THPT Thanh Hà, Thanh Hà, Hải Dương
6. Vấn đề nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Ứng dụng đạo hàm” như thế
nào để mang lại hiệu quả cao?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, vận dụng các
phương pháp đã đề xuất trong luận văn thì học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải các bài toán “Ứng
dụng đào hàm”, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận
+ Phương pháp điều tra, quan sát
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm
+ Phương pháp thống kê toán học
3

9. Dự kiến các luận cứ
Luận cứ lý thuyết
Luận cứ thực tiễn
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ
năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra.
1.1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
- Nội dung bài toán : Nhiệm vụ đặt ra được trìu tượng hoá hay bị che phủ bởi những yếu tố
phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Việc tạo ra tâm thế thuận
lợi trong học tập sẽ giúp học sinh dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng.
- Kỹ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
1.1.2.1. Khái niệm
Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn
phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó,
biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về
kỹ năng giải toán của học sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và
kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải
toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học"
1.1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán. Rèn
luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải
toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình
- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học, đó là sự phát triển trí tuệ cho học
sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận chính
xác, các thói quen tự kiểm tra,đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp.
1.1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và
sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

1.3. Dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm chƣơng trình Giải tích lớp 12
1.3.1. Mục đích, yêu cầu của đạo hàm và ứng dụng đạo hàm
Việc dạy đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT nhằm đạt các mục đích và yêu cầu sau:
+ Về kiến thức
Giúp học sinh nắm vững
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các cách tìm các giá trị đó;
6

+ Về phương pháp
GV cần phải tổ chức cho HS được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo. Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa
chọn các ưu điểm của phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học… để giải các dạng
bài toán ứng dụng đạo hàm bằng con đường tổng hợp.
+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Việc dạy học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm nhằm đạt được mục đích, yêu cầu rèn luyện kỹ
năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ những định lý, quy tắc.
1.3.2. Những kỹ năng cơ bản thuộc nội dung
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán cực trị
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán về bất đẳng thức
1.4. Kết luận chƣơng 1
Môn Toán là môn học có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí
tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
Vấn đề khó khăn nhất học sinh khi đứng trước bài toán, đặc biệt những bài toán ứng dụng đạo
hàm là đường lối giải. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán. Trên
cơ sở tìm hiểu khái niệm kỹ năng, đặc điểm kỹ năng, các yếu tố ảnh hưởng ảnh hưởng đến sự hình
thành kỹ năng, kỹ năng giải toán cho thấy rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán là một trong những

0
0
xx
0
f(x)-f(x )
lim f (x )
x-x



2.1.2. Định lý tồn tại đạo hàm
Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x
o

TXĐ khi và chỉ khi tồn tại f
’
(x
o
+
); f
’
(x
o
-
) và f
’
(x
o
+
)=


y
o
.
2.1.4. Cực trị hàm số
*Định lý Fermat:
Nếu hàm f: (a,b)



đạt cực trị tại c

(a,b) và f khả vi tại c thì f'(c) = 0
* Hai tiêu chuẩn tìm cực trị
2.1.5. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp
D
(
D 

)
a) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)

f(xo) với mọi x
D

thì số M = f(xo) được gọi là GTLN của hàm số f trên , kí hiệu là M =
max ( )
xD

một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)

m; hoặc f(x)

m ).
Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.
* Đối với phương trình, bất phương trình ta thường tiến hành theo các bước sau:
- Tính y
’
, giải phương trình y
’
= 0, xét dấu y
’

- Lập bảng biến thiên của hàm số
- Dựa vào bảng biến thiên kết luận nghiệm phương trình.
Chú ý: Cho hàm số f(x) xác định trên D
1. f(x)

m

x

D

m


min ( )

xD
fx


4. f(x)

m có nghiệm x

D

m


min ( )
xD
fx


5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v

D mà f(u) = f(v) thì u = v
2.2.2. Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình
2.2.2.1. Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình
Bài 1: Tìm m để phương trình x
3
- x
2
+ 18mx - 2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x
1

1 -x +x
x 2m=
9 9x-1


X ét
32
-x +x
f(x)=
9x-1
D = R \
1
9




2
2
-2x(3x-1)
f'(x)=
(9x-1)

x=0
f'(x)=0
1
x=
3



)

11
f'(t)= + >0
2 t+2 2 t
Hàm số đồng biến t  (-2;+

)
f(x-1)>f(3-x) x-1>3-x x>2  

Vậy tập nghiệm: T = (2; 3]
10

2.2.2.3. Ứng dụng đạo hàm trong việc giải hệ phương trình.
Bài 1: Giải hệ:
2y
2x
x+ x +1=2010
y+ y +1=2010






Nhận xét: Đây là một bài toán không những chứa căn thức mà còn có cả hàm số mũ, nếu sử dụng
phưng pháp thông thường: phương pháp thế, cộng trừ đại số, bình phương hai vế … thì rất phức tạp.
Cũng tương tự bài 1 ở trên, đây là dạng toán đối xứng biến, HS có thể tư duy cách giải quyết đưa về
sử dụng tính đơn điệu hàm số
Lời giải: Trừ vế với vế của 2 phương trình:


2
1
g'(x)=ln2010- 0 x R
x +1
  

Hàm số đồng biến trên R.
Ta có g(0) = 0
11

Hệ phương trình có nghiệm x = y = 0.
2.3. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán cực trị
2.3.1. Cực trị của hàm số chứa tham số
2.3.1.1. K

iến thức cần nhớ
Để tìm cực trị hàm số ta thường áp dụng hai quy tắc sau:
Quy tắc 1:
+ Tính f
’
(x)
+ Tìm các điểm x
i
(i= 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc hàm số liên tục
nhưng không có đạo hàm.
+ Xét dấu f
’
(x). Nếu f
’

(x
i
)> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
i

2.3.1.2. Các dạng bài tập
Bài 1. Cho hàm số
3 2 2
y x 3mx 4m  
(m tham số) có đồ thị (C
m
)
.

Xác định m để (C
m
) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường y = x.
Nhận xét: Để giải quyết bài toán này trước hết cho HS nêu hai quy tắc tìm cực trị, sau đó từ đề bài
HS định hướng bài toán giải theo quy tắc nào cho phù hợp
Lời giải: 2
x0
y' 3x 6mx 0
x 2m


   






Vậy
2
m
2


2.3.2. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán tìm GTLN và GTNN
2.3.2.1. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán tìm GTLN và GTNN thường
* Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) ta tiến hành theo các bước sau:
1. Tính y', giải phương trình y' = 0 sau đó xét dấu y'.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b).
3. Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = f(x).
* Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f = f(x) trên [a,b] ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tìm điểm tới hạn của hàm số trên [a,b]. Giả sử các điểm tới hạn đó là x
1
, x
2
, x
n
.
2. Tính các giá trị f(x
1
), f(x
2
), ,f(x
n

(cx + d)
n

e) Dạng tìm GTLN và GTNN của biểu thức hai ẩn đối xứng
2.3.2.3. Ví dụ về trường hợp sử dụng đạo hàm không hiệu quả
2.4. Kỹ năng chứng ming bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức luôn là đề tài khó đối với HS bởi tính đa dạng và không có một
phương pháp chứng minh cụ thể. Một trong những công cụ khá tốt để chứng minh bất đẳng thức và
sáng tác ra các bài toán bất đẳng thức mới đó là sử dụng đạo hàm. Dùng đạo hàm HS có thể xét tính
đơn điệu của hàm số trên một miền nào đó, vì vậy chứng minh bất đẳng thức trở nên đơn giản hơn.
2.4.1. Một số bất đẳng thức cơ bản sử dụng đạo hàm
2.4.1.1. Bất đẳng thức luỹ thừa
Ta sẽ chứng minh những bài toán cơ bản sau để làm kết quả cho những bài tập phức tạp hơn
Bài toán 1. Với a,b là các số thực dương, chứng ming rằng
α
αα
a +b a+b
khi
22





1
0








Lời giải:
+) Với

<0 hoặc

>1, bất đẳng thức đã cho viết dưới dạng
14

α α α
a b 1
+2
a+b a+b 2
     

     
     

Đặt
a
t= 0 1
a+b
t  
, ta thu được
αα
1
f(t)=t +(1-t) 2
2

Từ xét dấu ta có:

1
f(t) f(1/2)=2
2




α
αα
a +b a+b
22




với
0
1





0 1/2 1
f'(t)

+ 0 -
f(t)1
2
2




Từ bảng xét dấu ta có:

α
1
f(t) f(1/2)=2
2



α

0,1,2, 1kn

ii.
()
( ) 0
n
fx
với
0x

Khi đó ta có
( ) 0fx
với
0x

Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc cao để chứng minh bất đẳng thức như sau:
16

Bƣớc 1: Đạo hàm liên tiếp cho đến khi nhận được
()
( ) 0
n
fx
khi
0x 

Bƣớc 2: Suy ra
( 1)
()
n

()y f x
được gọi là hàm lồi trên X nếu
()fx
xác định trên X và thoả mãn
điều kiện sau:
12
, , , 0: 1x x X
   
     
thì
1 2 1 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x
   
  

Định nghĩa 2: Hàm số
()y f x
được gọi là hàm lõm trên X nếu
()fx
xác định trên X và thoả mãn
điều kiện sau:

12
, , , , 0: 1x x X
   
     
thì
1 2 1 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x
   

17

2.4.5. Bất đẳng thức BECNOULI
2.4.5.1. Giới thiệu, chứng minh Bất đẳng thức Becnoulli
+ Dạng nguyên thuỷ của bất đẳng thức
G/s a
1
, a
2
, ,a
n
là các số thực cùng dấu và lớn hơn -1. Khi đó ta có:

1 2 n 1 2 n
(1 a )(1 a ) (1 a ) 1 a a a       
.
+ Dạng thông dụng:
1. Với mọi x > -1 và
01  
ta có:
(1 x) 1 x

   

Hệ quả 1: Với mọi t > 0 và
0
ta có:
t t (1 )

    

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của việc rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung “Ứng dụng đạo hàm” chương trình Giải
tích lớp 12
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
Biên soạn các giáo án, hệ thống các bài tập về nhà và phiếu học tập của học sinh. Chọn lớp
dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm một số lớp đã chọn theo giáo án mẫu
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2. Nội dung dạy thực nghiệm
Các tiết dạy thực nghiệm đối với lớp 12 trong phần “Ứng dụng đạo hàm”
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1. Phương pháp giảng dạy
Giáo viên dạy thực nghiệm đã sử dụng và phối hợp các phương pháp hiệu quả, linh hoạt, hợp lý,
bảo đảm được đầy đủ các vai trò của người tổ chức, điều khiển được các hoạt động nhận thức học sinh.
Việc sử dụng phối kết hợp các phương pháp dạy học có tác dụng rèn luyện thành thạo kỹ năng giải toán
và phát huy khả năng tự tìm hiểu kiến thức mới.
3.3.2. Khả năng lĩnh hội học sinh
Sau khi học xong chương đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, với khả năng tổ chức các hoạt động
của giáo viên cho học sinh trong các giờ học, sử dụng có hiệu quả các phương pháp dạy học phù hợp,
giáo viên đã tìm được sức lôi cuốn sự chú ý, tìm tòi của học sinh. Các em phấn khởi và tự tin hơn vì
tìm được bản chất ứng dụng đạo hàm trong giải toán, các em có thể làm được các bài tập đòi hỏi phải
suy luận, những bài tập tổng hợp đánh giá.
3.3.3. Kết quả kiểm tra
3.4. Kết luận chƣơng 3
Kết quả đợt thực nghiệm sư phạm cho tôi thấy như sau:
Sử dụng đạo hàm HS dễ dàng giải quyết một số bài toán trong chương trình toán phổ thông. Với

4. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về Chương trình và Quá trình dạy học. Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
5. Nguyễn Hữu Châu (chủ biên), Vũ Quốc Chung, Vũ Thị Sơn (2005), Phương pháp, phương
tiện, kĩ thuật và hình thức tổ chức dạy học trong nhà trường. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
6. Nguyễn Hữu Châu, Đinh Quang Minh (2004), Giải các bài toán phổ thông theo quan điểm
Hàm. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
7. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nhà xuất bản
Giáo dục, Hà Nội.
8. Vũ Cao Đàm (2009), Giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu khoa học. Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
9. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phƣơng Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm thị Bạch Ngọc,
Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2007), Bài tập Giải tích 12. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
20

10. Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2007), Phương pháp
giải toán Đạo hàm và ứng dụng. Nhà xuất bản Hà Nội.
11. Lê Hồng Đức( chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2010), Phương pháp giải
toán Hàm số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
12. Bùi Văn Huệ (2000), Giáo trình Tâm lý học. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
13. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo Bất đẳng thức. Nhà xuất bản Tri Thức.
14. Hội đồng Quốc gia chỉ đạo biên soạn Từ điển bách khoa Việt Nam (2002), Từ điển Bách
khoa Việt Nam 2. Nhà xuất bản Từ điển Bách khoa.
15. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán (dùng
cho các trường Đại học Sư phạm). Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
16. Phan Huy Khải (2005), Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Hàm số. Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
17. Phan Thanh Long (chủ biên), Trần Quang Cấn, Nguyễn Văn Diện (2009), Lí luận giáo dục.
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
18. Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thi Kim Thoa, Trần Văn Tính (2009), Tâm lý học giáo dục. Nhà
xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.