Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
MỤC LỤC:

1


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên. Trong các
môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ
năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và
trong các môn học khác.
Chuyên đề về dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là một bộ phận của chương
trình môn Toán cấp THCS. Thông qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội
phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp
tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở
THCS.
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay
gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của
một biểu thức trong đó việc vận dụng các hằng đẳng thức các em làm sai rất
nhiều mà chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là cơ sở để các em
học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức dãy …. Xuất phát từ những lí
do trên để giúp học sinh học tốt môn toán tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số
kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy
phân số viết theo quy luật ”. Qua đó để có thể học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với
đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân

2


dng hc sinh gii.
Tng s hc sinh: 80 hc sinh
Kt qu t c:
im gii: 20 hc sinh chim 25%
im khỏ: 30 em chim 37,5%
3


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Điểm trung bình: 20 em chiếm 25%
Điểm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5%
Kết quả trên trung bình là: 87,5 %
Căn cứ vào kết quả bài khảo sát của học sinh và tình hình thực tế tôi nhận thấy
có những thuận lợi và khó khăn sau.
•Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học của nhà trường khá đầy đủ.
Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa và đồ dùng học tập.
Nhà trường luôn tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng.
Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn nhau.
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh luôn quan tâm ủng hộ việc học tập của con em mình.
•
Khó khăn
Do ảnh hưởng của môi trường xã hội nên một số học sinh còn mải chơi chưa
chịu khó học tập, gặp một dạng khó là các em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy
nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng.


4


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.
A C A.C
. =
(B, D ≠ 0)
B D B.D
A C A.D
d. Chia 2 phân số: : =
(B, C, D ≠ 0)
B D B.C

c. Nhân các phân số:

3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a c c a
+ = +
(b, d ≠ 0)
b d d b
a c c a
- Phép nhân: . = .
(b, d ≠ 0)
b d d b

4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
5. Một số tính chất của bất đẳng thức:
1

1

1

a. n( n + 1) 〈 n 2 〈 n( n + 1)
1

1

1

1

b. k 2 < k ( k − 1) = k − 1 − k
c.

n +1
n


Sai lầm thường gặp: S100 =
Lời giải đúng:
Ta thấy tổng trên có

100(100 + 2)
= 5100
2

(100 − 2) + 1 = 50
2

số hạng

Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102...
Mà từ 2 đến 100 có 50 số vậy có 25 cặp có tổng 102
S100 = 102.25 = 2550

Ví dụ 3: Tính tổng S 99 = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 99
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
S 99 = 100.25 = 2500

Dạng 2: Dạng bài toán tính tổng của các tích, tổng của các lũy thừa
Ví dụ 1: Tính tổng:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ....... + 98.99
B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50
C = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
D = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 98 2
E = 1.99 + 2.98 + ...... + 98.2 + 99.1


Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:
Bài 2: Tính tổng
A = 13 + 2 3 + 33 + ..... + 100 3

Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)= n 3 − n
⇒ n 3 = n + (n-1)n(n+1)
⇒ A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + ..... + 99.100.101
= (1 + 2 + 3 + ..... + 100 ) + (1.2.3 + 2.3.4 + ..... + 99.100.101)
= 5050 + 101989800 = 101994850
C = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
= 1.( 2 + 1) + 2( 3 + 1) + ..... + 98( 99 + 1)
= 1.2 + 2.3 + ... + 98.99 + 1 + 2 + .. + 98
= 33.98.100 + 46.99
C = 3402799

Ví dụ 2: Tính tổng:
7


Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy
s, dóy phõn s vit theo quy lut
A=1.3+.3.5+5.7+.....+97.99
Hng dn gii:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6++97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+.....+97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+.....+97.99.101
=3+97.99.101
A=161651

aG = a2 + a3 + a4 +a5+...+an
8


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
2
(a-1)G = aG – G = (a + a3 + a4 +a5+...+an+1) –( a + a2 + a3 + a4+....+an)
= an+1 – a
⇒ G=

a n +1 − a
a −1

Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh
sau:
Bài 1 : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+…..+22
Suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3

9


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Dạng 3: Dạng bài toán khử liên tiếp
Ví dụ 1:

1
99
 −1 1   −1 1 
 −1 1  1
+ + 
+  + .... + 
+ −
=1 −
=
100 100
 2 2   3 3
 99 99  100

VËy A = 1+ 

Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 1:ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh
sau:
Tính tổng
F=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39


1
1
2F =
−
+
−
+ ..... +
−
1.2 2.3 2.3 3.4
37.38 38.39
1
1
2F = −
2 38.39
F=

Bài toán tương tự
Tính tổng:
G=

1
1
1
+
+ ..... +
1.2.3.4 2.3.4.5
27.28.29.30

Tõ kÕt qu¶ cña các ví dụ trên ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:

= 1 − 2 + 2 − 2 + .... 2 − 2 = 1 − 2 < 1
2 2
2 2
2
2
1 .2
2 .3
9 .10
2
2
3
9
10
10

10


Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy
s, dóy phõn s vit theo quy lut
Bi 2: cho biu thc
1
1
1
+
+ ... +
1 .2 3 .4
99.100
7
5

100 6
1 1 1 1
1
1
1
7
1
1
7
1 1 1 1
+ + .... +

= 1 + +
+ .... +
=
+
+ ... +
>
1 2 3 4
99 100 2 3 4 5.6
99.100 12 5.6
99.100 12

Vớ d 2:Tính tổng
H=

1
1
1
1

1
4H=5H H = ( 1 + + 2 + 3 + .......... + 2007 ) ( + 2 + 3 + .......... + 2008 )
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5 2008 1
= 1- 2008 = 2008
5
5

5.H = 1 +

H=

5 2008 1
4.5 2008

Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H=

1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + .......... + a −1 ) – (
+ 2 + 3 + .......... + a )
a
a
a
a
a
a
a
a

1
an −1
=1- n = n
a
a
an −1
⇒ H=
(a − 1)a n

Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:

1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + ... + 2006
1
2

1
3

1
4

B = 1+ (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... +

1
(1 + 2 + 3 + ... + 20)
20

Hướng dẫn giải


 


÷
÷ 
÷
1
1
1
A = 1 − (1 + 2).2 ÷. 1 − (1 + 3).3 ÷... 1 − (1 + 2006)2006 ÷

.
.
....
=
=
=
A=
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009
b) A = 1+

1  2.3  1  3.4  1  4.5 
1  20.21 

+ 
+ 
 + .... + 
=
2 2  3 2  4 2 
20  2 

12


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
= 1+

3 4
21 1
+ + ... +

1 1 1
1
1
+ + +L + +
b) B = 299 3 984 97 99 100
1 .
+ + +L +
1
2
3
99

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +

1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95

1 1
= 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 1 + 100  + + L + +
÷
99 
99 100 
2 3
2 3

b) Biến đổi số chia:

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =

1
.
100

Dạng 5: Chứng minh tổng của các dãy viết theo quy luật chia hết cho 1 số
Ví dụ 1: Tổng:
a.

1
1
1
+ + ..... +
bằng phân số a/b cmr a chia hết cho 149
50 51
99


b. cho A =  + + + .... +

a.
13


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
1
1
1  1
1 
1 
 1
+ + ..... +
=  +  + ...... +  + 
50 51
99  50 99 
 74 75 
149
149
=
+ ..... +
50.99
74.75
K = 50.51.......99
B=

K là mẫu chung thì thừa số phụ các mẫu là

k1 , k 2 .....k 25


Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
14


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
- Các sai lầm thường gặp
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật dễ
dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những vấn đề
được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏi.

15


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa toán 6, 7, 8, 9 - Nhà Xuất bản Giáo
- Nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8, 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Trần Thị Vân Anh

16