SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP
I/ PHẦN MỞ ĐẦU
I.1) Lý do chọn đề tài
Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một
bài toán quan trọng của môn hình học giải tích. Các bài toán này
thường có trong các đề thi về môn Toán ở các kỳ thi vào Đại học và
Cao đẳng trong tất cả các năm.
Đây là một bài toán mà đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong
việc tìm ra cách giải, học sinh nhiều khi không giải được các bài toán
này, mặc dù trình độ các em hoàn toàn có thể giải được.
Từ những nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của
bản thân, tôi hệ thống lại một số dạng toán viết phương trình đường
thẳng trong không gian thường gặp, nhằm giúp các em học sinh giải
các bài toán này một cách dễ dàng hơn.
I.2) Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Nhằm giúp các em học sinh giải được các bài toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian, góp phần nâng cao chất lượng bài làm
trong thi cử.
I.3)Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 12
I.4) Giới hạn phạm vi nghiên cứu: học sinh các trường THPT
trong thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đăk Lăk.
I.5) Phương pháp nghiên cứu: tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về
dạng bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, tổng
hợp kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, đề thi Đại học qua nhiều
năm, …
II/ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG
DỤNG

thụ động, dù đã nhận biết được sẽ giải bài toán này theo phương pháp
nào, gồm những bước gì nhưng khi trình bày lại có nhiều thiếu sót.
c) Các nguyên nhân, yếu tố tác động
Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất
ngại học toán và giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng
trong không gian. Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lười suy nghĩ.
Nếu như các em không nắm được một số dạng bài toán về viết phương
trình đường thẳng trong không gian thường gặp thì khi làm bài kiểm
tra về phần này, cũng như khi thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học, Cao
đẳng, các em sẽ dễ dàng bỏ qua bài toán này, và như thế kết quả số học
sinh đạt điểm cao môn Toán là không nhiều.
III/ NỘI DUNG
III.1) Mục tiêu
Giúp học sinh có những tư liệu có ích, cải tiến phương pháp học
toán nói chung và phương pháp giải bài toán viết phương trình đường
thẳng trong không gian nói riêng.
III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”
A . Kiến thức cơ bản
Trước khi giới thiệu các dạng toán viết phương trình đường thẳng
thường gặp, tôi xin đề cập đến phần kiến thức cơ bản của phương trình
đường thẳng trong không gian. Đây không phải là một phương pháp
đặc biệt ,mà đây là kiến thức học sinh phải biết nếu muốn viết phương
trình đường thẳng.
Đường thẳng trong không gian được cho bởi các dạng cơ bản sau
• Phương trình dạng tham số
Đường thẳng đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) với vectơ chỉ phương


c

B. Các yếu tố để một đường thẳng được xác định
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có
một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của
hai mặt phẳng đó. Đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt
phẳng.
- Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song
song với một đường thẳng nào đó của mặt phẳng.
- Qua một điểm cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng cho trước.
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
đó.
C. Một số dạng toán thường gặp
Khi nắm vững phần lý thuyết này các em sẽ xác định rõ nhiệm vụ
khi gặp bài toán viết phương trình đường thẳng, từ đó vận dụng linh
hoạt các phương pháp giải toán được đề nghị qua các bài toán sau đây.
Để tiện cho việc trình bày, tôi sử dụng một số từ viết tắt và ký hiệu
sau:
- VTPT: vectơ pháp tuyến.
- VTCP: vectơ chỉ phương.
- PTTS: phương trình tham số.
- PTCT: phương trình chính tắc.
r
- Vectơ u để chỉ vectơ chỉ phương của đường thẳng.
r

uur uu
r uur
 ∆ ⊥ a
⇒ u∆ = ua , nP 

 ∆ / / ( P )

(2) ∆ ⊥(P) ⇒u∆ = nP
(4)

r uu
r
 ∆ ⊥ a uur uu
⇒ u∆ = ua , ub 

∆ ⊥ b

uur

Viết phương trình ∆ đi qua điểm M và có VTCP u∆ dưới dạng
PTTS hoặc PTCT.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham
số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ đi qua hai
điểm A(1;2;3),B(3;5;7).
Giải
uuur

-


A ( 1; 4; 2 ) , B ( −1; 2; 4 ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương

trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G.
Giải
uuu
r uuur

4 2 2 1 1 4
;
;
÷ = ( 12; −6;6 )
 2 4 4 −1 −1 2 

-

Dễ thấy: G(0;2;2). OA, OB  = 

-

Vectơ pháp tuyến n của (OAB) được xác định như sau:

-

Đường thẳng d ⊥ ( OAB ) nên vectơ chỉ phương của d chính là

r

r uuu
r
 n ⊥ OA

Ta có:
-

G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ C ( −1;3; −4 ) .

-

uuur
uuur
AB = ( −1;1;1) , AC = ( −2; 2; −4 )

-

Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có VTCP là

-

Đường thẳng ∆ đi qua điểm C nên phương trình của đường thẳng

uuu
r uuur
uur
uur
u∆ cùng phương với  AB, AC  = ( −6; −6;0 ) . Chọn u∆ = ( 1;1;0 ) .
 x = −1 + t

∆ :y = 3+t
 z = −4




Giải
-

uu
r

Đường thẳng d có VTCP là u = ( −2;1; 2 ) .

-

uu
r
∆ / /d ⇒ ∆ nhận u làm VTCP.

-

Đường thẳng ∆ qua A(1;2;3) nên ∆ có phương trình tham số là:
 x = 1 − 2t

y = 2+t
 z = 3 + 2t


Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 5


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

-

Đường thẳng ∆ qua A(1;1;1) nên ∆ có phương trình chính tắc là:

r r
r r
u ⊥ a
 r r ⇒ VTCP của ∆ là  a, b  = ( −1; −8;5 )
u ⊥ b
x −1 y −1 z −1
=
=
−1
−8
5

Ví dụ 7: (Đề Đại học khối B năm 2013)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho các điểm A ( 1; −1;1) , B ( −1; 2;3)
và đường thẳng ∆ :

x +1 y − 2 z − 3
=
=
. Viết phương trình đường thẳng đi
−2
1
3

qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆.
Giải

4

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
a/ Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng

( P ) : x + y − z+1 = 0 , qua điểm
d:

M ( 1,1,1) và vuông góc với đường thẳng

x−3 y z −2
= =
.
−3
1
2

b/ Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
( α ) : 3x + y − 5z − 1 = 0 , qua một điểm thuộc Oy và vuông góc với đường
thẳng a :

x +1 y z + 7
=
=
.
3
−5
−3

Giải


Đường thẳng ∆ qua M ( 1,1,1) nên ∆ có phương trình chính tắc là:
x −1 y −1 z −1
=
=
3
1
4

b)

-

Gọi A là giao điểm của ( α ) và Oy. Thế x = z = 0 , ta được y = 1
⇒A(0;1;0).

-

Vì d nằm trong ( α ) và đi qua điểm thuộc trục Oy nên d qua A.

-

Lại có VTPT của ( α ) là n = ( 3;1; −5 ) và VTCP của a là a = ( 3; −5; −3)

r

r

r r


 z = 3 + 2t


b) M ( 2;0; −3) ; d :

x −1 y + 3 z
=
=
2
3
4

4. Viết phương trình đường thẳng d qua A(3;1;0) và vuông góc với
trục Ox và đường thẳng a :

x − 13 y + 2 z − 3
=
=
.
4
−1
3

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 7


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP


 z = −1 + 4t


và vuông góc với d .
Giải
-

Gọi ( P ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d .
r

uu
r

( P ) qua A(-4;-2;4) và có một VTPT là n = ud = ( 2; −1; 4 ) .
⇒ Phương trình ( P ) : 2 ( x + 4 ) − 1( y + 2 ) + 4 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 2x − y + 4z − 10 = 0
- Gọi H = d ∩ ( P ) ⇒ Tọa độ H thỏa:
-

 x = −3 + 2t
 y = 1− t

⇒ H ( −1;0;3)

z
=
−
1
+
4
t


- Ta có MH ⊥ d ⇔ MH .ud = 0 . Từ đó suy ra giá trị của tham số và phương
trình đường thẳng ∆.
Với ví dụ trên, ta có thể giải như sau

uuur

-

Gọi H = ∆ ∩ d ⇒ H ( −3 + 2t ;1 − t ; −1 + 4t ) ⇒ AH = ( 1 + 2t;3 − t; −5 + 4t )

-

Đường thẳng d có VTCP là

uu
r
ud = ( 2; −1; 4 )

uuur uu
r
AH ⊥ d ⇔ AH .ud = 0 ⇔ 2 ( 1 + 2t ) − 1( 3 − t ) + 4 ( −5 + 4t ) = 0

⇒ t =1
uuur
⇒ AH = ( 3; 2; −1)

⇒ ( ∆) :

x+4 y+2 z−4

-

Tìm giao điểm M = d ∩ ( P )

-

VTCP của ∆ là u = ud , n 
r
∆ qua M và có VTCP u . Từ đó suy ra phương trình.

-

r

uu
r r

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 9


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

Ví dụ: (Đề tuyển sinh Đại học khối D-2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
∆:

cho


r
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n = ( 1; 2; −3) ; đường thẳng ∆ có vectơ chỉ
uur
r
phương là u∆ . Gọi u là vectơ chỉ phương của d. Ta có:
uur r
 d ⊥ ∆ r
r ⇒ u = u∆ , n  = ( −1; 2;1)

 d ⊥ n

- Vậy d có phương trình là:

x + 3 y −1 z −1
=
=
−1
2
1

Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ :

x −1 y z +1
= =
−1 1
2

và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm
trong (P), vuông góc với ∆ và cắt ∆.

2
1
−2

vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Giải
-

-

Gọi

M ( m;0;0 )

là giao điểm của ∆ với trục Ox, suy ra

uuuu
r
AM = ( m − 1; −2; −3)
r
VTCP của d là a = ( 2;1; −2 ) .
uuuu
rr
∆ ⊥ d ⇔ AM ⊥ d ⇔ AM .a = 0 ⇔ 2 ( m − 1) + 1( −2 ) − 2 ( −3) = 0 ⇔ m = −1
uuuu
r
Đường thẳng ∆ đi qua M và nhận AM = ( −2; −2; −3) làm VTCP nên

có phương trình:


Cách 3
-

Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d ⇒ ( Q ) : 2x + y − 2z + 2 = 0

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 11


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

-

Gọi M là giao điểm của Ox và (Q) ⇒ M ( −1;0;0 )
uuuu
r

- VTCP của ∆ là AM .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 0;1;1) , vuông góc với đường thẳng
 x = −1
x −1 y + 2 z

d1 :
=
=
và cắt đường thẳng d 2 :  y = t
.
3

Gọi

tọa

độ

của

B

thỏa

mãn:

 x = −1
 x = −1
y = t


⇔  y = 2 hay B ( −1; 2;3) .

z
=
1
+
t

z = 3

3x + y + z − 2 = 0


đường thẳng

x − 2 y +1 z
x −1 y −1 z +1
=
=
=
=
và cắt đường thẳng d 2 :
.
1
−1 1
2
−1
1
 x = 2 + 6t

Đs: ∆ :  y = 1 − 5t
 z = 3 − 11t

d1 :

BÀI TOÁN 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai
mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 12



giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( α ') .
-

Giải
Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (1;2;-1) không tỉ lệ
với bộ ba số (1;1;2).
Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm
các điểm M ( x; y; z ) vừa thuộc ( α ) vừa thuộc ( α ') nên tọa độ của
x + 2 y − z +1 = 0
( 1)
M là nghiệm của hệ: 
 x + y + 2z + 3 = 0

-

Bây giờ ta có thể viết phương trình tham số của d bằng một
trong các cách sau đây:
• Cách 1. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc d rồi viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
-

Trong hệ (1) cho z=0, ta tìm được x=-5, y=2. Vậy điểm A ( −5; 2;0 )
thuộc d .

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 13



ur uu
r
uu
r


u
=
n
,
n
n
và 2 nên nó có VTCP
 1 2  = ( 5; −3; −1) .

-

 x = −10 − 5t

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 5 + 3t
z = 1+ t


• Cách 3. Trong hệ (1) cho z = t rồi tìm x, y theo z = t , ta được
 x = −5 − 5t

 y = 2 + 3t
z = t




x − 2 y +1 z + 3
x − 3 y − 7 z −1
=
=
, d2 :
=
=
.
3
1
2
1
−2
−1

Giải

ur

-

Đường thẳng d1 đi qua A ( 2; −1; −3) và có VTCP u1 = ( 3;1; 2 )

-

x = 3 + t

Đường thẳng d 2 có PTTS là:  y = 7 − 2t
z = 1− t

uuur

Đường thẳng d đi qua điểm M ( 3;10;1) và nhận vectơ MB = ( 1; −5; −1)
làm VTCP nên có phương trình:

x − 3 y − 10 z − 1
=
=
.
1
−5
−1

Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo các cách sau:
*Cách giải 2
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 15


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

- Chuyển phương trình đường thẳng a, b về dạng tham số t và t’.
-

Gọi A = ∆ ∩ a ⇒ A ( t ) ; B = ∆ ∩ b ⇒ B ( t ') .

-

Do M , A, B ∈ ∆ ⇒ MA = k MB ⇒ 


x = 2 − t
x −1 y + 3 z +1

d1 :
=
=
và d 2 :  y = t
2
1
−2
 z = 3t


Giải
-

 x = 1 + 2t '

Đường thẳng d1 có phương trình tham số  y = −3 + t '
 z = −1 − 2t '


-

Gọi:
B = d ∩ d1 ⇒ B ∈ d1 ⇒ B ( 1 + 2t '; −3 + t '; −1 − 2t ' ) ,

-



Với t = 1 ⇒ t ' = 0 ⇒ AB = ( 0; −2; −2 ) ⇒ ud = ( 0;1;1) ⇒ d :  y = −1 + t
z = 1+ t


-

x = 1
uuur
uu
r

Với t ' = 0 ⇒ t = 1 ⇒ AB = ( 0; 2; 2 ) ⇒ ud = ( 0;1;1) ⇒ d :  y = −1 + t .
z = 1+ t


Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường
thẳng
d1 :

d

đi

qua

điểm

M ( −4; −5;3) và



tham

Giải
số

của

các

đường

thẳng

 x = 5 − 3t1
 x = 2 + 2t2


d1 :  y = −7 + 2t1 ; d 2 :  y = −1 + 3t2
z = t
 z = 1 − 5t
1
2



-

Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d 2 ⇒ A ( 5 − 3t1; −7 + 2t1 ; t1 ) , B ( 2 + 2t2 ; −1 + 3t2 ;1 − 5t2 )



đi

qua

điểm

M ( −4; −5;3)

và

có

VTCP

 x = −4 + 3t
uuur

AB = ( 3; 2; −1) ⇒ d :  y = −5 + 2t
z = 3 − t


*Cách giải 3: ngoài hai cách giải trên, ta có thể viết phương trình
đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Lấy bất kỳ điểm A∈a; B∈b (thường chọn luôn trên đề). Tính
uuuu
r uuuu
r
AM ; BM .


z = 3 − t


d2

là

M ( 1; −1;1) và cắt cả hai đường thẳng

giao

tuyến

của

hai

mặt

phẳng

( α ) : x + y − 1 = 0; ( β ) : y + 2z − 3 = 0
Giải

ur

-

Đường thẳng d1 đi qua điểm A ( 1;0;3) có VTCP u1 = ( 2;1; −1) .


Gọi ( P ) là mặt phẳng qua M ( 1; −1;1) và chứa đường thẳng d1 , có
uur

uuur

VTPT là nP . Ta có: MA = ( 0;1; 2 )
uur ur
 nP ⊥ u1
uur ur uuur
 uur uuur ⇒ nP = u1 , MA = ( 3; −4; 2 )
 nP ⊥ MA

Do đó phương trình mp ( P ) là: 3 ( x − 1) − 4 ( y + 1) + 2 ( z − 1) = 0

hay

3x-4y+2z − 9 = 0

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 17


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

-

Gọi ( Q ) là mặt phẳng qua M ( 1; −1;1) và chứa đường thẳng d 2 , có
uur


phương với u2 .

+ Gọi u = 

+ Vì thế trong ( P ) thì d cắt d1 ; trong ( Q ) thì d cắt d 2 . Vậy d là
đường thẳng duy nhất cần tìm.
-

r

Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1; −1;1) và nhận u = ( −6; −1;7 ) làm
VTCP nên có phương trình:
 x = 1 − 6t

 y = −1 − t
 z = 1 + 7t


Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng

đi

qua

điểm

A ( −1;0;14 ) và


−9
d1 :

BÀI TOÁN 7: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng

( P ) , cắt hai đường thẳng

a, b cho trước.

Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 18


SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

*Cách giải
-

Gọi A = a ∩ ( P ) ⇒ Tọa độ A.

-

Gọi B = b ∩ ( P ) ⇒ Tọa độ B.

-

Phương trình đường thẳng AB là phương trình đường thẳng phải
tìm.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường


-

Gọi B = ∆ 2 ∩ ( P ) ⇒ Tọa độ điểm B thỏa mãn:

x = 2 − t
x = 5
 y = 4 + 2t


⇒  y = −2 ⇒ B ( 5; −2;1)

z
=
1

z = 1
 y + 2z = 0 

-

uuur

Đường thẳng cần tìm đi qua A và B nhận vectơ AB = ( 4; −2;1) làm
VTCP nên có phương trình

x −1 y z
=
= .
4

= =
=
= .
và d 2 :
−1 1
2
1
2
1
 x = 1 − 2t

Đs: ∆ :  y = −1 + t
 z = −1 + 4t

d1 :

BÀI TOÁN 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt
phẳng ( P ) , cắt hai đường thẳng a, b cho trước.

* Cách giải
uur

- Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT nP
của (P) làm VTCP.

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và ∆. Mặt
uur

uu
r uur

Giải
-

uur

Mặt phẳng ( P ) có VTPT là nP = ( 1; 2; −3) ; đường thẳng d1 có VTCP
ur

uu
r

là u1 = ( 1;1; −1) ; đường thẳng d 2 có VTCP là u2 = ( −2;1; −5 ) .
-

uur

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) nên nhận nP

làm

VTCP.
-

Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d1 có VTPT là
uur
uur ur  2 −3 −3 1 1 2 
uur
;
;
nQ . Ta có: nQ =  nP , u1  = 

=
=
.
1
2
−3

Ta cũng có thể giải bài toán dạng này bằng các cách sau:
* Cách giải 2
- Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng a và vuông
uur

uur uu
r

uur

uur uu
r

-

góc với mặt phẳng ( P ) . Mặt phẳng ( α ) có VTPT là nα =  nP , ua  .
Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa đường thẳng b và vuông

-

góc với mặt phẳng ( P ) . Mặt phẳng ( β ) có VTPT là nβ =  nP , ub  .
Tìm giao điểm M ∈ ( α ) ∩ ( β )



Mặt phẳng

( P ) có VTPT

( R ) là mặt phẳng chứa

d1 và vuông góc với (P). Suy ra

uur  2 −3 −3 1 1 2 
;
;
÷ = ( 1; −2; −1)
 1 −1 −1 1 1 1 

VTPT của ( R ) là nR = 

Mặt khác, ( R ) lại qua điểm M 1 ( 0; −4;3) ∈ d1 nên có phương trình:
x − 2 ( y + 4 ) − ( z − 3) = 0 ⇔ x − 2 y − z − 5 = 0

-

Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa

d 2 và vuông góc với (P). Suy ra

uur  2 −3 −3 1 1 2 
;
;
÷ = ( −7;11;5 )


x − 2 y − z − 5 = 0
nên M ∈ d .

 −7x + 11 y + 5z + 20 = 0
5

x = − 2 + t

Suy ra phương trình của đường thẳng cần tìm d :  y = 2t
.

15
 z = − − 3t
2


*Cách giải 3
- Giả sử PTTS của hai đường thẳng a,b lần lượt là:
 x = x1 + at
 x = x2 + a ' s


a :  y = y1 + bt , b :  y = y2 + b ' s
 z = z + ct
z = z + c ' s
1
2



SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 đồng thời cắt
 x = −1 + t
x −1 y +1 z

=
= và d 2 :  y = −1 , với t ∈ ¡ .
cả hai đường thẳng d1 :
2
−1 1
 z = −t


Giải

-

 x = 1 + 2s

PTTS của d1 :  y = −1 − s
z = s


-

Lấy

-

MN =  − ; − ; − ÷
 5 5 5
1
3
2
y+
z+
Suy ra d :
5=
5=
5
1
1
1
x−

Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:

( P ) : 2x − y + z + 1 = 0, ( Q ) : x − y + 2z + 3 = 0, ( R ) : x + 2 y − 3z + 1 = 0 và đường thẳng
x − 2 y +1 z
=
= . Gọi ∆ 2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương
−2
1
3
trình đường thẳng d vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2
∆1 :

.


• Nếu d ⊥ ( P ) (tức VTCP u của d song song với VTPT n của ( P ) ).
Khi đó hình chiếu của d lên mặt phẳng ( P ) là một điểm (cụ thể nó là
hình chiếu của một điểm bất kì của d trên ( P ) . Khi đó bài toán
quy về tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng.
r
r
• Nếu d / / ( P ) ( tức là VTCP u của d vuông góc với VTPT n của

( P ) ). Khi đó, hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là một đường
-

-

thẳng d’ song song với d.
VTCP của d’ là VTCP của d.
Tìm một điểm M’ trên d’ bằng cách:
+ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M bất kì trên d
và vuông góc với mặt phẳng (P).
+ Gọi M ' = ∆ ∩ ( P ) . Tìm tọa độ điểm M’.
uu
r

Đường thẳng d’ đi qua M’ và có VTCP là ud . Từ đó suy ra

phương trình của d’.
• Nếu d không vuông góc và không song song với ( P ) , ta có thể
thực hiện theo các cách được trình bày sau đây.
- Cách 1
+ Chọn bất kỳ hai điểm A; B∈ d ; sau đó tìm hình chiếu A’; B’ lên


 x = −1 − 4t

Phương trình đường thẳng ∆:  y = t
 z = 6 + 5t

uur
Mặt phẳng ( P ) có một VTPT là nP = ( 3; −2; −1)

-

Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa ∆ và ( Q ) ⊥ ( P ) , VTPT của ( Q ) là:
uur
r uur
nQ = u , nP  = ( 9;11;5 )

uur

Mặt phẳng ( Q ) đi qua A ( −1;0;6 ) và có một VTPT nQ = ( 9;11;5 ) nên có
phương trình 9 ( x + 1) + 11y + 5 ( z − 6 ) = 0 ⇔ 9x + 11y + 5z − 21 = 0
b) Gọi d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng
9

x = 4 + t

( P ) thì: d = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ Phương trình của d :  y = −24t

27
z =
+ 51t


Suy ra (ABC’) qua A(0;0;0) và có VTPT là A ' C = ( 0; 2; −2 ) nên có phương
trình là ( ABC ') : 0 ( x − 0 ) + 2 ( y − 0 ) − 2 ( z − 0 ) = 0 ⇔ y − z = 0 .
uuuuu
r uuur

b) Ta có B ' C ' = BC = ( −2; 2;0 )
Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa B’C’ và vuông góc với (ABC’).
r

⇒ VTPT của ( α ) là: n cùng phương với vectơ
uuuuu
r uuuur
r
 B ' C ', A ' C  = ( −4; −4; −4 ) . Chọn n = ( 1;1;1)



⇒ Phương trình ( α ) :1( x − 0 ) + 1( y − 2 ) + 1( z − 2 ) = 0 ⇔ x + y + z − 4 = 0
Hình chiếu d của B’C’ lên (ABC’) là giao tuyến của ( α ) với
(ABC’).
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột

Trang 25