Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................... 2
I. LÝ THUYẾT ......................................................................................... 3
I.1.Các khái niệm mở đầu ..................................................................... 3
I.1.1 Phép biến hình........................................................................... 3
I.1.2 Phép dời hình ............................................................................ 3
I.2. Phép quay ........................................................................................ 4
I.2.1.Định nghĩa về phép quay .......................................................... 4
I.2.2.Tính chất ................................................................................... 5
I.2.3 Biểu thức tọa độ của phép quay ................................................ 5
II.BÀI TẬP ................................................................................................ 7
II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay.......................................................... 7
II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình ................................... 9
II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học. ......... 11
II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng. 13
II.6 Bài tập về tích phép quay. ............................................................ 15
KẾT LUẬN ............................................................................................. 17
Tài liệu tham khảo ................................................................................... 18

1


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình và các phép dời hình
trong mặt phẳng thường được lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác nhau. Hiện nay, nội
dung phép biến hình trong mặt phẳng được đưa vào chương trình Hình học 11. Nhưng
đối với những bài toán có thể giải được về cơ bản chỉ cần kiến thức hình học thuộc các
lớp trung học cơ sở, chúng ta có thể giải lại bằng phương pháp biến hình. Bên cạnh đó,

- 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng
hàng.
- đường thẳng thành đường thẳng.
- tia thành tia.
- đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm)
- đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm: I → I’, R = R’).
- góc thành góc bằng nó.

3


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
I.2. Phép quay
I.2.1.Định nghĩa về phép quay
Để trình bày khái niệm về phép quay ta đưa khái niệm góc định hướng và mặt phẳng định
hướng.
Định nghĩa góc định hướng:
Góc tạo bởi 2 tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định
hướng.
Nếu tia Ox là tia đầu, Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là (Ox, Oy)
y



x

O

Mặt phẳng định hướng nếu trong 2 chiều quay của một tia xung quanh mỗi điểm của nó



Kí hiệu phép quay tâm O góc




là: QO

4


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
2k

Q : là phép đồng nhất, ∀ k ∈ Z

Lưu ý: +

I

(2 k 1)

+ QI

: là phép đối xứng tâm I, ∀ k ∈ Z

I.2.2.Tính chất.
1) Phép quay mang đầy đủ tính chất của 1 phép dời hình.
2) Các tính chất riêng của phép quay:


Q


O

và

Q


O

thì

M'



là một phép quay có tâm



M

O

O và góc quay là

   

M''

là



d1
/2
O1


+

d2
O2

O

5

/2


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
quay φ = α + β, và tâm O được
xác định như sau: .
O = d1∩ d2, trong đó:





 x '  r.cos(   )
M '
 y '  r.sin(   )
 x '  r.cos  .cos   r.sin  .sin 
⇒ 
⇒
 y '  r.sin  .cos   r.cos  .sin 

M


x


O

x'

x

 x '  x.cos   y.sin 

 y '  x.sin   y.cos 

 x '  x.cos   y.sin 
M '
 y '  x.sin   y cos 
ii)Bằng phép dịch chuyển tâm với I(a,b) bất kỳ ta có:


y'

r
y

M

r


b


I

x
O

a

x'

x

II.BÀI TẬP
Lưu ý khi làm bài tập về phép quay:
+ Chọn cách vẽ hình bài toán sao cho thực hiện từng phép quay riêng biệt là phép quay
theo chiều dương.
+ Nếu trong bài toán có sử dụng tích các phép quay thì việc tìm tâm là quan trọng nhất.
+ Nhiều bài toán mà trong giả thiết xuất hiện yếu tố đặc biệt như góc 300, 600, 900, …có

hay M ' 
 y '  2 .x  2 . y

2
2


45

QO
 A '(0; 2 2)
a) A(2; 2)  

2
2
45
 I (1; 0) Q O
;
)
 I '(

(C') : 
2
2
b) (C) : 
R  2
R  R '  2

Vậy (C') : (x 


90

A ' B '  (2; 2)  n d '  (1; 1) .Vậy (d’):

x y20

Cách 2:
90

QO
M (x; y)  (d) 
 M '(x'; y')  (d')

 x '  x.cos90  y.sin 90
x '   y
M '
 M '
 y '  x.sin 90  y.cos90
y'  x

Lúc đó:

Suy ra:

x  y '

, thay vào pt (d) ta được: y ' ( x')  2  0  x' y' 2  0
 y  x '

Hay đường thẳng (d’) có pt: x  y  2  0

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): 2x-y+1=0.
thẳng qua phép quay :
a) Tâm O(0;0), góc quay α= -600
b) Tâm I(1;1), góc quay α= 600.

Tìm ảnh của đường

Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1;5) thành điểm B(5;1)

II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình
Như ta đã biết hình H là một tập con của P – tập hợp các điểm trong mặt phẳng ⇒ H là
một tập hợp điểm. Vì vậy để dựng hình H thông thường ta dựng các điểm của H
Để dựng các điểm M đôi khi dễ dàng nếu ta dựng được ảnh M’ của M qua 1 phép dời
hình nào đó. Ta dựa vào đặc trưng của điểm cần dựng và tính chất của phép biến hình để
chọn phép biến hình thích hợp.
Các bước: - bước 1: phân tích.
- bước 2: dựng hình.
- bước 3: chứng minh.
- bước 4: biện luận.
Bài toán: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh AB. Dựng trên BC, AC các điểm N,P tương
ứng sao cho thỏa mãn 2 điều kiện:
- MP = MN
- đường tròn qua A, M, P tiếp xúc với NM.
Phân tích:
Giả sử dựng được 2 điểm M, P thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nghĩa là: MP = MN và MN là tiếp tuyến của đường tròn qua 3 diểm A, M, P tại M. Khi
đó:
+Ta có: NMP  MAP ( cùng chắn cung MP)
Mà: MP = MN nên xác định được phép quay


Q : A’ ⟶ A

60 0

M

C’ ⟶ C
Mà N ∈ BC nên suy ra N là giao của BC và A’C’.

1500
B

A

Cách dựng:
- Dựng A’, C’ là ảnh của A, C qua phép Q  , nghĩa là: MA’ = MA, MC’ = MC,
M
(MA’,MA) = (MC’, MC) = α
- Xác định giao điểm của BC với A’C’ là N
- P = Q  (N)

A



M

Chứng minh:

P

Xét đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMP có MAP là góc nội tiếp chắn cung MP
N ∉ (O), NMP  MAP = α ⇒ MN là tiếp tuyến của (O)
Biện luận:
Vì ∆ABC cho trước, M cho trước ⟹ A   cố định ⟹ Q  là xác định
M

A’, C’ xác định duy nhất ⟹ N xác định duy nhất ⟹ P xác định duy nhất.
Vậy bài toán có 1 nghiệm hình.
Bài tập tự giải
Bài 1: Dựng tam giác đều ABC biết rằng các đỉnh của nó nằm trên 3 đường thẳng song
song d1, d2, d3 cho trước.

10


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Bài 2: Cho 4 điểm trên một đường thẳng. Hãy dựng hình vuông mà phần kéo dài các
cạnh của nó cắt đường đó tại các điểm đã cho.

II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học.
Sử dụng phép quay hay phép dời hình làm bài toán chứng minh, ta có thể chứng minh
được rất nhiều bài toán như: chứng minh góc, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng
minh các đoạn thẳng vuông góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, …
- Trong trường hợp chứng minh hình H=H’, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại một phép dời hình
biến H → H’. Các yếu tố góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau là những yếu tố hướng ta
nghĩ tới phép quay.
Cách giải: - Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp
- Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình để giải quyết yêu cầu bài
tập.
Bài toán: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng. Vẽ cùng phía dựng 2 tam giác đều

B
0

Do M là trung điểm của AF, N là trung điểm
của EC, nên: Q 60 (M)  N  BM  BN và

N

0

B

F

MBN  600 ⟹ ∆BMN đều.
Bài tập tự giải:

M
A

B

Bài 1: Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương ứng sao
cho BAM  MAK .Chứng minh rằng: BM + KD = AK
Bài 2: Trên các cạnh của tam giác ABC bất kỳ, về phía ngoài, dựng các tam giác đều
ABC1, AB1C, A1BC. Chứng minh rằng:
a) AA1 = BB1 = CC1
b) Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy.

II.4 Sử dụng phép quay để làm bài toán tìm quỹ tích.

⟹ Ta nghĩ tới việc tìm ảnh của các điểm cố định trong biểu thức rồi thay vào biểu thức
và tìm ra quỹ tích.
Lời giải:
Giữ nguyên vế phải của biểu thức, ta biểu diễn vế phải của phép quay sao cho vế trái co
liên quan tới vế phải.
Ta thấy Q 60 (B)  C, Q 60 (A)  C
0

A

0

B

Ta sẽ chọn phép quay sao cho có thể biểu diễn MA2, MB2 qua C, M’ – là ảnh của M.
0

Chọn Q 60
A

: B  C, M  M '

⇒ MB  M ' C, MA  M ' A (AM, AM')  600
⇒ ∆AMM’ đều
⇒ MM’ = MA

12


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng

⟹ tổng qua phép quay sẽ biểu diễn được qua M và ảnh M’ của nó.
Lời giải:

13


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Giả sử M là điểm nằm trong ∆ABC.
Xét Q 60 :

C'

0

A

Giả sử: BM  MM ' M ' C '
⟹ MB  M ' B ', MC  M ' C ', MA  M ' A

M'
B'

Có (AM, AM')  600 ⟹ ∆MAM’ đều ⟹ MA = MM’
⟹ MA  MB  MC  BM  MM ' M ' C '
⟹MA + MB + MC nhỏ nhất
⟺ BM  MM ' M ' C ' nhỏ nhất
⟺ đường gấp khúc BMM’C’ là 1 đoạn thẳng

C



14


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
E và CAE  60

0

Thực hiện phép quay Q A,60 : C


0

0
Tia AE nằm trong góc BAC . Tam giác ACE là tam giác đều , do đó ACE  60 .

Vì ACB  500
Suy ra BCE  100 . Ta thấy rằng 3 điểm B, E, C cùng nằm trên đường trong tâm A
nên EBC  300 . BMC  BEC (c.g.c) nên CE = CM = CA. Các điểm E, M, A
0
cùng nằm trên đường tròn tâm C nên 2MAE  MCE  200 . Vậy MAE  10
suy ra MAC  700

Bài tập tự giải:
Khoảng cách từ điểm P cố định tới 2 điểm A, B của một tam giác đều là 2 và 3. Xác định
khoảng cách lớn nhất từ P tới C.

II.6 Bài tập về tích phép quay.


C0

: C0 B0  C0 x

Q

600
B0

: B0 C0  B0 y

M  B0 y  C0 x . Vậy phép quay
Q

1200
M

:B C

B1

.

A

Mặt khác: Q 120
A

0


A1


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Tam giác A0B0C0 có các góc tại đỉnh B0, C0 bằng 600 nên tam giác này đều.

Bài tập tự giải:
Bài 1: Trên các cạnh của một hình bình hành, về phía ngoài dựng các hình vuông. Chứng
minh rằng các tâm của các hình vuông vừa dựng tạo thành một hình vuông.
Bài 2: Trên các cạnh của ∆ABC dựng các tam giác đều A’BC, B’AC về phía ngoài và
C’AB về phía trong. Gọi M là tâm của ∆C’AB. Chứng minh rằng A’B’M là một tam giac
cân với góc AMB’ =1200.

16


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
KẾT LUẬN
Đề tài đã được tiến hành nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Nam Dũng và
đã trình bày được cơ sở lý thuyết của phép quay trong mặt phẳng. Phương pháp giải toán,
và các ứng dụng được thể hiện qua các ví dụ, bài tập minh họa và các bài tập đề nghị.
Việc ứng dụng phép biến hình vào việc giải toán ở trường phổ thông cơ sở có một ý
nghĩa quan trọng: Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy
luận và khả năng sáng tạo, từ đó liên hệ các phép biến hình trong giải toán hình học với
các phương pháp sử dụng ở cấp trung học cơ sở; việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho
mỗi loại bài toán là một việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và công sức để giải
toán một cách tối ưu nhất. Đồng thời, nó cũng giúp cho các giáo viên tự nâng cao trình độ
chuyên môn của mình.

17