ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU


Mục lục
Danh mục hình - bảng
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG
BÁN DẪN KHỐI ..................................................................................................................... 4
1.1. Hố lƣợng tử .......................................................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm về hố lượng tử: ............................................................................4
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử ......5
1.2. Hiệu ứng Ettingshausen trong bán dẫn khối ........................................................ 5
1.2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối
khi có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser) ........................5
1.2.2. Mật độ dòng toàn phần trong bán dẫn khối....................................................11
1.2.3. Mật độ thông lượng nhiệt trong bán dẫn khối ............................................19
1.2.4. Hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối ....................................................20
CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ .................. 22
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử ............................... 22
2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần trong hố lƣợng tử ..................................... 25
2.3. Biểu thức giải tích mật độ thông lƣợng nhiệt trong hố lƣợng tử: .................. 35
2.4. Hệ số Ettingshausen trong hố lƣợng tử .............................................................. 40
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT HỆ SỐ
ETTINGSHAUSEN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ GaAs/GaAsAl .............................. 40
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Ettingshausen vào tần số sóng điện từ mạnh (bức xạ
laser): ........................................................................................................................ 40
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Ettingshausen vào nhiệt độ: ......................................... 41
KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 43
PHỤ LỤC


DANH MỤC BẢNG, HÌNH

nghiên cứu trƣớc đây.
Hiệu ứng Ettingshausen đã đƣợc nghiên cứu trong bán dẫn khối [15] là
một trong những hiệu ứng quan trọng. Nó là một hiệu ứng nhiệt điện từ gây ra
dòng điện trong vật dẫn khi từ trƣờng xuất hiện. Tuy nhiên, hiệu ứng này vẫn
chƣa đƣợc nghiên cứu trong các hệ bán dẫn thấp chiều nói chung và trong hố

1


lƣợng tử thế parabol nói riêng.
Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu hoàn toàn mới:
“Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong hố
lượng tử”
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Trong luận văn của chúng tôi đã sử dụng:
- Phƣơng pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích
hệ số Ettinghaussen (EC) trong hố lƣợng tử thế parabol (cơ chế tán xạ điện tử phonon quang). Biểu thức này chỉ ra rằng EC phụ thuộc phức tạp và không tuyến
tính vào cƣờng độ E0 và tần số  của laser, nhiệt độ T của hệ và các tham số của
dây lƣợng tử. Đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng nhiều và có những ƣu việt khi
nghiên cứu bán dẫn thấp chiều [2] .
- Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng chƣơng trình Matlab để tính toán số và đồ
thị sự phụ thuộc của EC vào tần số laser, nhiệt độ T của hố lƣợng tử GaAs/GaAsAl
nhằm minh họa về sự phụ thuộc phi tuyến của EC vào các đại lƣợng này từ tính
toán lý thuyết ở chƣơng 2.
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chƣơng, cụ thể:
Chƣơng 1: Hố lƣợng tử và hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Chƣơng 2: Hệ số Ettingshausen trong hố lƣợng tử
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết hệ số Ettingshausen

1.1.1. Khái niệm về hố lượng tử:
Hố lƣợng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các vật liệu khác nhau dẫn tới xuất
hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn giữa các vật liệu này. Sự khác biệt giữa cực
tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế
năng đối với các điện tử. Vì vậy trong cấu trúc hố lƣợng tử, các hạt tải điện bị định
xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lƣợng tử hai chiều đƣợc tạo bởi
mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Chuyển động
của điện tử theo một hƣớng nào đó bị giới hạn, phổ năng lƣợng của điện tử theo
phƣơng mà điện tử bị giới hạn chuyển động bị lƣợng tử hoá, chỉ còn thành phần
xung lƣợng của điện tử theo phƣơng điện tử đƣợc tự do là biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lƣợng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu nhƣ trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật  1/2 (với  là năng lƣợng của
điện tử), thì trong hố lƣợng tử cũng nhƣ các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lƣợng thấp nhất và quy
luật khác  1/2 .
Các hố thế có thể đƣợc tạo nên bằng nhiều phƣơng pháp nhƣ epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lƣợng tử phải phù hợp để có chất lƣợng cấu trúc hố lƣợng tử tốt.
4


1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với
thế parabol
Xét một cấu trúc hố lƣợng tử với thế giam giữ có dạng parabol (sau đây gọi
tắt là hố lƣợng tử parabol) lí tƣởng, giả thiết theo phƣơng z, đƣợc cho bởi
V ( z )  mez2 z 2 / 2 ,với  z là tần số giam giữ đặc trƣng của hố lƣợng tử. Ta thấy rằng





1

n   n  
2


1
n
2 n! 

p

,

z

 z2
exp   2
 2 z

  z 
H n  
  z

(2)

n  0,1, 2,....

p
k

 

 Ck a p  k a p  bk  bk    k a p k a p
p ,k

(5)

k

a p , a p ;  bk , bk  lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon).

Trong đó :

p2
  p   p 
là phổ năng lƣợng của điện tử.
2m
Ck là hằng số tƣơng tác điện tử - phonon.
A  t  là thế véc-tơ. 

1 A  t 
 E0 cos t .
c t



 

l


k l

 al ak   k ,l ;

ak , al   ak , al   0

bk , bl   bk bl  blbk   k ,l ; bk , bl   bk , bl   0



e
e




*  a p a p ,    p ' A  t  a p 'a p '      p ' A  t   a p a p a p 'a p '  a p 'a p 'a p a p 
c
c



p'

 p' 



c
c




p'
p'

6




*  a p a p ,  k bkbk   0
k



(7)



*  a p a p ,  Ck a p ' k a p '  bk  bk    Ck a p a p a p ' k a p '  a p ' k a p 'a p a p  bk  bk  
p ', k

 p ',k





1

2





*

 a p2 a p1 bk

  




3
*  a p a p ,  k a p 'k a p '     2 i  eE  H k, h 
 k a p a p a p 'k a p '  a p 'k a p 'a p a p 
k
k

 k

3
   2 i  eE  H  k, h 
 k a p a p ' p , p ' k  a p ' k a p p , p '
k




 eE  H  p, h 



n p  t 
p



 i  Ck Fp  k , p ,k  t   Fp*, p  k , k  t   Fp , p k ,k  t   Fp*k , p , k  t 



k

Để tìm Fp , p
1

Fp , p ,k  t 
1

2

t

2




    p ' A  t   a p1 a p2 bk a p 'a p '  a p 'a p 'a p1 a p2 bk 
c


p'





7


e


    p ' A  t   a p1 a p 'bk  p2 p '  a p 'a p2 bk  p1 p ' 
c


p'





 
e



 1 
 
 
  p2  A  t      p1  A  t   
  p2  A  t     p1  A  t    
c
c
c
c



 2m 
 
 





1  2
e
e

2
 p2  p1  A t 
 p2  p1  2  p2  p1  A  t     p2   p1 
2m 


*  a p1 a p2 bk ,  Ck 'a p ' k 'a p '  bk '  bk '   
p ', k '



  Ck 'a p1 a p2 a p ' k 'a p 'bk  bk '  bk '    Ck 'a p 'k 'a p 'a p1 a p2  bk '  bk '  bk 
p ',k '

p ',k '





  Ck 'a p1  p , p ' k '  a p ' k 'a p2 a p 'bk  bk '  bk '  
p ', k '

2





  Ck 'a p ' k '  p ', p1  a p1 a p ' a p2  bk '  bk '  bk 
p ', k '

  Ck 'a p1 a p 'bk  bk '  bk '   p , p 'k '   Ck ' a p 'k 'a p2  bk '  bk '  bk  p ', p1 
p ',k '


t

p2  p1  k , thu đƣợc:
 Ck a p1 a p1 bk bk  Ck a p2 a p2 bkbk  C k a p1 a p2 a p2 a p1 

 Ck a p1 a p1 bk bk  Ck a p2 a p2 bkbk  Ck a p1 a p2 a p2 a p1 bk bk  bkbk  









 Ck a p1 a p1 1  a p2 a p2 bk bk  Ck a p2 a p2 1  a p1 a p1 bkbk

(13)

Bỏ qua số hạng thứ tƣ trong phép tính gần đúng.
Thay (9), (11), (12), (13) vào (8) thu đƣợc:

Fp , p ,k  t 
1

2

t

iCk

k k t

 a p1 a p1

t

1  a


p2

a p2

t

 bb 

k k t

(14)

Phƣơng trình (14) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần

Ft
 M t Ft  Nt
t

nhất, có dạng :

Ft 0



Ta thu đƣợc nghiệm

9


t
 t'

t
 t
t

Ft  Dt F0t   dt 'Nt ' exp   M t1 dt1 .exp   M t1 dt1    dt 'N t ' exp   M t1 dt1 

 


 
t '


Nhƣ vậy, nghiệm của (14) là:
t

Fp , p ,k  t   i  dt 'Ck
1

2

1  a


p2

a p2

t'

 b b 

k k t'

 t

e
 exp i   p1   p2 
 p1  p2  A  t1   k  dt1 
mc
 
 t' 

Ta có 

(15)

cE
1 A  t 
 E0 sin t . Suy ra A  t   0 cos t . Do đó:



Áp dụng công thức exp i sin     J    exp  i  và đặt a 


eE0
,
m2

thu đƣợc:



 exp i  p1   p2  k

 t  t '  J  a  p  p J  a  p  p  expist  ilt ' 
s

1

s ,l

2

l



1

2



p1

a p1

t'

bb


k k t'





 a p1 a p1

t'

1  a

 J s ak J l ak exp i  p1   p2  k  l  t  t ' exp i  l  s  t
s ,l

Tƣơng tự:

10



p2

a p2

t'

 bb


k k t'

    

 a p2 a p2

t'

1  a


p1

a p1

t'

 b b 

k k t'


2

   

t

 J s ak J l ak expi l  s  t  dt ' 


s ,l

k



  n p  t ' 1  n p  k  t ' N k  t '  n p  k  t ' 1  n p  t '   N k  t '  1 







 exp i  p k   p  k  l  i  t  t '  










  n p k  t ' 1  n p  t '   N k  t '  1  n p  t ' 1  n p k  t ' N k t ' 





 exp i  p   p k  k  l  i


 t  t '

(16)

Phƣơngtrình (16) là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt trƣờng điện từ không đổi và trƣờng bức xạ cao tần (laser).
1.2.2. Mật độ dòng toàn phần trong bán dẫn khối
Sử dụng phƣơng pháp gần đúng lặp, ta thay n p  t '  n p ; Nk  t '  N k và thực
hiện phép tính tích phân:
t

 dt 'exp i 



p1


k









n p k 1  n p  N k  n p 1  n p k

2

 J  ak  
2
l

l

  N  1  n 1  n   N  1  n 1  n  N
p k

k

 p   p k  k  l  i

p

p k

k







2

 J  ak  
2
l

l







n 1 n
N k  n p  k 1  n p   N k  1 n p k 1  n p   N k  1  n p 1  n p k N k
 p
pk










n p k 1  n p  N k  n p 1  n p k

  N  1 

 p   p k  k  l  i

k




hay
n p

n p
 eE  H  p, h 
 i  Ck
t
p
k







i

 p k   p  k  l  i
p

pk
k

12






n p 1  n p k

  N  1  n 1  n  N
p k

k

p

k

 p k   p  k  l  i




1
1

 2 i  X 
X  i X  i

Do vậy phƣơng trình trên trở thành:
n p

n p
 eE  H  p, h 
 2  Ck
t
p
k









2

 J  ak  
2
l

không ảnh hƣởng lên phổ năng lƣợng điện tử, lên hệ số tƣơng tác điện tử-phonon).
Xét trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm k  ;k  kT ;k   . Khi
đó, ta thực hiện việc đổi chỉ số k  k ở số hạng thứ hai, và phƣơng trình (17) trở
thành:
n p  t 
t



 eE  H  p, h 



 



n p  t 
p

  2 Ck

 

2

 2N

 2N


p  k

  J  ak   n
2
l

l

pk

 

 n p   p  k   p  l



(20)

Với H 

H
eH
là tần số Cyclotron, h  là véc-tơ đơn vị dọc theo chiều từ trƣờng.
H
m

13


Trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cƣờng độ của trƣờng ngoài, ta chỉ

p  F , p      p 

m p 
p 

S    

e
W k
4m k



  ak   n 2 

   pk   p  

* Tính:

(23)

2

p

pk

 




 

thu đƣợc

n  e

e
p    p   H  p, h  , p    p    p  H  p, h  ,  p n p 

m p
p  m p




 



 

 





e
 p    p   p npH  p, h   np p H  p, h 


e
    p  0  n pH  p, h  .1  H h ,  pn p      p  

m p
 m p






 H  h , R  

(25)

*) Giải phƣơng trình (22):
Nhân trái, có hƣớng hai vế của (14) với H   h ta có:

H h , R    H2    h , h , R     H    h , Q    S  




(26)

Biến đổi:










H h , R    H2    h h , Q    S    R    H   h , Q    S   (29)
Trừ vế với vế của (23) cho (29) ta đƣợc:

R  

  







 H2    h h , Q    S    R    Q    S    H   h , Q    S   

Suy ra:
Q     S     H    h , Q    S     
  

 

R   
 2 2



e
 pnp    p  d 
m p

 

j  L0 Q  L0 S



 R  d

(31)

0

(32)

15


   1       A       h , A     
d  . 



với L0 A 

2



  

* Tính Q   
Từ (15) ta tính Q    trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cƣờng độ trƣờng ngoài


 n p 
e
e 4
Q      p  F ,
Fpf 0'  p  p     p  p 2 dp
     p   
3 
m p 
p 
m  2  
p



 F  2m 

e 1

m 2 2

3/2


ak

ak



p

pk



2

 

 

  p   p  k     pk

p

  

e
W k
4m k

2



2 2 
mk


1



    p  k   p  k   p   p 2 dp

  

e

W k ak
4m k



2

 

1
2 2



  2m 




  ak     

em3/2
W k
2 2 2 k

SB     

2

  

  

e
W k ak
4m k

e  2m 

2 2

3/2





j

n, p

'
0

n, p




1

2



  p   p    p 

p

1

2

pk

2



 k
 
 
m 2m      k 

  2m

ki k j

2

3/2

 k2

 j   f    ij 
 
 2m

'
0

Ta viết lại:

e  2m 
Si     
2 2

3/2



  

1
ij  W k
4 k

2


ki k j


 k



 
 ij
 
m 2m      k 


  2m


2

(36)



 j           F  ij   3/2  j      F ij (39)

Thay (38), (39) vào (25) và lấy tích phân ta thu đƣợc: (ở đây ta kí
hiệu     F  )

17




  

L0 Q 

0

e  2m 
2 2 m

e  2m F 
L0  Qi  
2 2 m

3/2

d  .  
F  H    h , F   H2  2   h h , F     F 
2 2

L0  Qi  
2 2 m
L0  Si  




0

3/2


   H jkp hp  H2  2 h j hk  Ek
2 2 ij  jk
1   H

(40)

e  2m   F3/2 d  .  
 il  H    ilm hm  H2  2   hi hl  

2
2 2
2
1   H   
3/2

lj      lj    F   j

Từ (20):  j   j  F  

 1  H
 
       F   F 


1/2

với:

Thay (32), (33) vào (34) và biểu diễn ji   ik Ek  ik Tk ta tìm đƣợc biểu
thức của ten-xơ độ dẫn:

e2  2m F 
 ik 
2 2 m

3/2

 

  
 il  H     ilm hm  H2  2    hi hl  lj  

 ij 
2 2
1   H   

 
2





H2  2    hi hl lj  jk  H jkp hp  H2  2 h j hk 

18

(42)


e  2m F 
ik  
2 2 mT

3/2

 (   F )


 ()
 il  H () ilm hm  H2  2 ()hi hl  lj ]

[ ij 
2 2
1  H ()



  H jkp hp  H2  2 h j hk   
2 2  jk

 
  H ikp hp  H2  2 hi hk  

2 2  ik
1  H

  

  H     ilm hm  H2  2    hi hl  lj 
2 2
2 2  il
1  H    1  H
2




  jk  H jkp hp    h j hk   
  H     ilm hm 
2 2   il
 1   H 
2
H

2



H2  2    hi hl lj  jk  H jkp hp  H2  2 h j hk 


nhânvới (   F ) vào các biểu thức (22), (23) ta thu đƣợc
qe 


 (r )
 ik   H  (r) ik h  H2  2 (r )hi hk  k 

2 2
e 1   H ( r )

19


en

 F
e

.


   H  (r) ik h  H2  2 (r )hi h 
2 2  ik
1   H





ik Fj   H  (r)  h, F ( )   H2  2 h  h, F ( )  

2 2

 1  H    


  H     jkp hp  H2  2    h j hk 
2 2  jk
1   H

(46)

1.2.4. Hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Biểu thức hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối có dạng:

P

 xx xy   xy xx
1
H  xx   xx xx   xx  xx  K L  

(47)

Từ biểu thức (43), đặt :

e2 n
0 
;   H ;   H () ;  ik  ik () ;  ik   ik
m

(48)

1
{[ xj 
( xl   ilm hm   2 hi hl ) lj ]( jx   ixp hp   2 h j hx ) 
2
2
1 
1 

1
1
{[ il 
( xl   xlm hm   2 hx hl ) lj ]( jx   ixp hp   2 h j hx )
2
2
1 
1 

Chọn: hx  hz  0 ; hy  h  1

20