BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======

ĐẶNG THỊ HUỆ

SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

ĐỂ TÌM NĂNG LƢỢNG VÀ HÀM SÓNG
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN
CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm năng lƣợng và hàm
sóng trong một số bài toán cơ học lƣợng tử” là kết quả của quá trình cố
gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của
các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và người thân. Vì vậy qua trang viết này em
xin gửi gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập
- nghiên cứu khoa học vừa qua.
Em xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với T.S Trần Thái Hoa
đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học
cần thiết cho luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian em
học tập ở trường. Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 2
6. Cấu trúc của luận văn ..................................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG ..................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
........................................................................................................................... 4
1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt .................... 4
1.1.1. Mở đầu ............................................................................................. 4
1.1.2. Các tính chất của biến phân ............................................................. 5
1.1.3. Phương trình Euler........................................................................... 6
x1

1.1.4. Những phiếm hàm dạng

 F ( x, y , y ,..., y , y ' , y ' ,..., y ' )dx ...... 11
1

2

n

1

2

n

x0



PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý đã, đang và ngày càng phát triển để trở thành môn khoa học
quan trọng trong thế giới hiện đại. Để nghiên cứu, khảo sát các quá trình vật
lý, xử lý các bài toán vật lý đòi hỏi phải tính toán các phép toán rất phức tạp,
tốn nhiều thời gian và công sức.
Trong cơ học lượng tử việc giải phương trình Schodinger để tìm năng
lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên, trong
thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất nhiều khó
khăn và giải nó rất phức tạp.
Ta đã biết trạng thái của hệ lượng tử có thể được mô tả bởi nghiệm của
phương trình

H  E .

(1.1)

Ở đây, H là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng
lượng của hệ. Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong
một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường Coulomb, trường
đàn hồi, trường điện từ đều… ) tương ứng với các hệ lí tưởng hóa phương
trình (1.1) có thể cho. Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc
vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải.
Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình
rất phức tạp về dạng toán học và không thể giải được nghiệm chính xác. Do
đó, khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho
nghiệm chính xác.
Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán.
Do đó, người ta đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger bằng các

Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Các ứng dụng toán để giải các bài toán cơ học lượng tử.


3

6. Cấu trúc của luận văn
Đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm
sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” có kết cấu gồm 3 phần: phần
thứ nhất là phần mở đầu, phần thứ hai là phần nội dung và phần thứ ba là
phần kết luận.
Trong đó thì phần nội dung được chia làm 3 chương, nội dung của từng
chương như sau:
Chương 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân.
Chương 2. Giới thiệu về các phương pháp gần đúng
Chương 3. Sử dụng các phương pháp gần đúng để giải một số bài toán lượng
tử
PHẦN II. NỘI DUNG
Chƣơng 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân
1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt
1.2. Các bài toán biến phân với biên động và một vài bài toán khác
1.3. Các điều kiện đủ của cực trị
1.4. Các bài toán biến phân về cực trị vướng
Chƣơng 2. Giới thiệu về các phƣơng pháp gần đúng
2.1. Lý thuyết nhiễu loạn
2.2. Phương pháp các phép biến đổi chính tắc
2.3. Phương pháp Ritz
Chƣơng 3. Sử dụng các phƣơng pháp gần đúng để giải một số bài toán
lƣợng tử




5

Ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của phép tính biến phân là các bài
toán sau đây: Bài toán về đường đoản thời, bài toán về đường trắc địa, bài
toán cùng chu vi.
1.1.2. Các tính chất của biến phân
a, Ta có định nghĩa về phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm số và
phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập.
Ta gọi số gia hay biến phân  y của đối thức y(x) của phiếm hàm

v[ y ( x)] là hiệu giữa hai hàm:  y = y (x) – y1 (x). Trong đó giả thiết rằng hàm
y(x) thay đổi tùy ý trong một lớp hàm nào đó.
b, Phiếm hàm v[ y ( x)] liên tục tại y = y0 (x) theo nghĩa lân cận cấp k
nếu với mọi số dương  bất kì luôn tìm được số   0 sao cho:
v[ y( x)]  v[ y0 ( x)   .

Khi:
y ( x)  y0 ( x)   ,
y , ( x)  y0, ( x)   ,
y ( k ) ( x)  y0( k ) ( x)   .

Ở đây ta hiểu ngầm rằng hàm y(x) lấy trong lớp hàm mà phiếm hàm

v[ y ( x)] xác định.
c, Phiếm hàm L [y(x)] được gọi là phiếm hàm tuyến tính nếu nó thỏa
mãn điều kiện: L c. y  x   c. L  y  x  (c là hằng số tùy ý) và điều kiện:

L  y1  x   y2  x   L  y1  x   L  y2  x  .


v  0 chỉ khi y  x   y0  x  thì ta nói rằng

phiếm hàm đạt cực đại chặt trên đường cong y  y0  x  .
Tương tự có định nghĩa về sự đạt cực tiểu của phiếm hàm trên đường
cong y  y0  x  . Trong trường hợp này

v  0 trên mọi đường cong lân cận

của đường cong y  y0  x  .
f, Định lý: Nếu phiếm hàm v[y( x)] có biến phân đạt cực đại hay cực
tiểu khi y  y0  x  , ở đây y0 (x) là điểm trong của miền xác định của phiếm
hàm, thì tại y  y0  x  có:  v  0 . [12]
1.1.3. Phƣơng trình Euler
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:
x1

v[ y ( x)]   F ( x, y( x), y , ( x))dx,
x0


7

trong đó, các điểm biên của các đường cong có thể nhận bị gắn chặt:





y  x0   y0 và y  x1   y1 . Hàm số F x, y, y’ giả thiết ba lần khả vi.



8
chỉ trên các đường cong của họ y = y (x,  ) thì phiếm hàm sẽ trở thành hàm
của 

v [y (x,  )] =  (  ).
Vì giá trị của tham số  xác định đường cong của họ y = y (x,  ) và do
đó xác định giá trị của phiếm hàm v [y (x,  )]. Hàm số  (  ) này đạt cực đại
khi  = 0, vì khi  = 0 ta nhận được y = y (x) và phiêm hàm theo giả thiết đạt
cực trị so với các đường cong lân cận có thể nhận bất kì và nói riêng, so với
các đường cong lân cận thuộc họ y = y (x,  ). Như đã biết, điều kiện cần của
cực trị của hàm  (  ) khi  = 0 là đạo hàm của nó bằng 0 khi  = 0:

 ' (0) = 0.
Vì
x1

 (  ) =  F (x, y (x,  ), y x' (x,  )) dx,
x0

nên
x1


x0 

 '( )    Fy



y '( x, ) 
[y '( x)   y ']   y ',




9

Ta nhận được:
x1

 '( )    Fy ( x, y( x, ), y '( x, )) y  F ' y ( x, y( x, ), y '( x, )) y 'dx ,
x0
x1

 '(0)    Fy ( x, y( x), y '( x)) y  Fy ' ( x, y ( x), y '( x)) y 'dx .
x0

Như chúng ta đã biết,  '(0) gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu
là  v . Điều kiện cần của cực trị của phiếm hàm v chính là biến phân của nó
bằng 0,  v = 0. Đối với phiếm hàm
x1

v[ y ( x)]   F ( x, y( x), y , ( x))dx,
x0

điều kiện này có dạng
x1

  F  y  F  y 'dx  0 .


 v   ( Fy 
x0

d
Fy ' ) ydx .
dx

Như vậy, điều kiện cần của cực trị dẫn tới dạng:
x1

 (F

y

x0



d
Fy ' ) ydx  0.
dx


10

Đồng thời, nhân tử thứ nhất: Fy 

d
Fy ' là hàm liên tục cho trước trên

Fy '    ydx  0 .
dx 

Tất cả các điều kiện của bổ đề được thỏa mãn: trên đường cong phiếm
d


hàm đạt cực trị, nhân tử  Fy  Fy '  là hàm liên tục, còn biến phân  y là
dx 


hàm bất kì có đặt những điều kiện giới hạn đã xét trong bổ đề cơ bản. Vì vậy:
d


F

Fy '  = 0 trên đường cong y = y(x), nơi phiếm hàm khảo sát đạt cực
 y
dx 


trị, tức là y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai:

Fy 

d
Fy ' = 0,
dx


Khi đó nếu cố định z(x) và chỉ đổi dạng hàm y(x) chúng ta sẽ biến đổi
đường cong của chúng ta sao cho hình chiếu của nó trên mặt xOz không thay
đổi, tức là, đường cong luôn giữ nguyên trên mặt trụ chiếu z  z  x  .
Tương tự cố định y(x) và biến đổi z(x) chúng ta sẽ đổi dạng đường cong
sao cho nó luôn nằm trên mặt trụ chiếu y  y  x  . Khi đó ta nhận được hệ
hai phương trình Euler:

Fy 

d
d
Fy ' = 0 và Fz  Fz ' = 0. [12]
dx
dx


13

1.1.5. Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm
x1

v[y( x)]   F ( x, y( x), y '( x),..., y n ( x))dx .
x0

Ở đây F là hàm khả vi n+2 lần theo tất cả các biến và giả thiết rằng các
điều kiện có dạng:
y(x0) = y0, y’(x0) = y’0,…, y(n-1)(x0) = y0(n-1) ,
y(x1) = y1, y’(x1) = y’1,…, y(n-1)(x1) = y1(n-1),
tức là ở các điểm biên không những chỉ cho các giá trị của hàm số mà cả giá


),
y
'(
x
,

),...,
y
(
x
,

)
dx


 d x0
 0
x1

  Fy y  Fy ' y ' Fy '' y '' ...  Fy( n )  y ( n ) )dx .
x0

Ta tích phân từng phần số hạng thứ hai ở vế phải một lần:


14

x1

d



F

y
''
dx

F

y
'

F

y

Fy '' ydx,
2
x y ''

 y ''  x0  dx y '' 
dx

 x0 x0
0

x1

d2
n d
 v    Fy  Fy '  2 Fy ''  ...  (1) n Fy( n )   ydx .
dx
dx
dx

x0 
x1

Vì trên đường cong phiếm hàm đạt cực trị, ta có:
x1



 x    Fy 
x0




d
d2
dn
Fy '  2 Fy ''  ...  (1)n n Fy( n )   ydx  0.
dx
dx
dx




15

Phương trình vi phân cấp 2n này mang tên là phương trình Euler –
Poisson, còn các đường cong tích phân của nó gọi là các đường cong cực trị
của bài toán biến phân đang xét. Nghiệm tổng quát của phương trình này chứa
2n hằng số tùy ý, mà nói chung có thể xác định từ 2n điều kiện biên:
y  x0   y0 , y’ x0   y’0 ,, y ( n1)  x0   y0( n1) ;
y  x1   y1 , y’ x1   y’1,, y ( n1)  x1   y1( n1) .

[12]

1.1.6. Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập
Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:

z z 
v[ z ( x, y )]   F  x, y, z, , dxdy .
x y 

D

Đồng thời, các giá trị của hàm z  x, y  được cho trước trên biên C của
miền D, tức là, cho trước chu tuyến C trong không gian mà các mặt có thể
nhận luôn đi qua nó.
Để đơn giản ta kí hiệu:

z
z
 p,  q và coi như hàm F ba lần khả vi.
x

(
x
,
y
,

),
q
(
x
,
y
,

)

dxdy


  D
 0

v  


16

  [Fz z  Fp p  Fq q]dxdy.
D


nên

 ( F

p

D




  p  Fq q)dxdy    Fp z  Fq z dxdy 
x
y

D 



D  x Fp  x Fq  zdxdy.

 

Ở đây

 


Fp  là đạo hàm riêng toàn phần theo x. Khi tính nó ta xem y
x


 N M 
D  x  y dxdy  C ( Ndy  Mdx) ,

ta nhận được:






  x F  z  y F  zdxdy   ( F dy  F dx) z  0.
p

q

p

D

q

C

Tích phân này bằng 0 bởi vì trên chu tuyến C biến phân  z  0 do tất
cả các mặt có thể nhận đều chỉ đi qua một chu tuyến không gian C . Vì vậy:






z

D






Fp   Fq    zdxdz  0.

x
y


Vì biến phân  z là tùy ý, còn nhân tử thứ nhất là hàm liên tục, nên theo
bổ đề cơ bản, trên mặt z  z  x, y  mà phiếm hàm đạt cực trị, ta có:

Fz 



Fp   Fq  = 0.

x
y

Vì vậy, z  x, y  là nghiệm của phương trình:


đường cong có các điểm biên chung với đường cong y  y  x  và vì vậy, nó
cần phải thực hiện điều kiện cơ bản, cần thiết để đạt cực trị là: hàm y(x) phải
là nghiệm của phương trình Euler:

Fy 

d
Fy '  0.
dx

Như vậy, các đường cong y  y  x  , trên đó phiếm hàm đạt cực trị
trong bài toán với biên động, phải là các đường cong cực trị.
Nghiệm tổng quát của phương trình Euler chứa hai hằng số tùy ý. Để
xác định hai hằng số tùy ý đó cần có hai điều kiện. Trong bài toán với biên
gắn chặt, các điều kiện đó là:
y  x0   y0 và y  x1   y1 .

Trong bài toán với biên động, một hay cả hai điều kiện này không có
nên để nhận được các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát của phương trình
Euler ta xuất phát từ điều kiện cần cơ bản của cực trị là  v = 0.


19

Vì trong bài toán với biên động, cực trị chỉ đạt trên các nghiệm y = y(x,
C1, C2) của phương trình Euler, nên sau này, có thể chỉ xét giá trị của phiếm
hàm trên các hàm của họ này. Khi đó phiếm hàm v  y  x, C1, C2  trở thành
hàm của các tham số C1 và C2, của các cận tích phân x0, x1 và biến phân của
phiếm hàm trùng với vi phân của hàm này. Để đơn giản ta sẽ coi rằng một
trong những điểm biên, ví dụ (x0, y0) được gắn chặt, còn điểm biên (x1, y1) có

x0


20

x1  x1

=



x1

F ( x, y   y, y '  y ')dx   [(F(x,y + y, y '  y ')  F ( x, y, y ')]dx. (1.2.1)

x0

x0

Ta biến đổi số hạng đầu tiên của vế phải nhờ định lý giá trị trung bình:
x1  x1



F ( x, y   y, y '  y ')dx  F

x  x1  x1

  x1 ,


x0

 F ( x, y   y, y '  y ')dx   F ( x, y, y ')dx
x1

  [Fy ( x, y, y ') y  Fy ' ( x, y, y ') y ']dx  R1 .
x0

Ở đây R1 là vô cùng bé bậc cao hơn so với  y hay  y ' . Khi đó phần
tuyến tính:
x1

 ( F  y  F  y ')dx ,
y

y'

x0

có thể biến đổi bằng cách tích phân từng phần số hạng thứ hai của hàm dưới
dấu tích phân, đưa tới dạng: