VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HẢI DƯƠNG

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 05/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 - m2 (1), (m là tham số).
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2)
2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu II (3,0 điểm)
 x 2 y  2 y  x  4 xy

1) Giải hệ phương trình  1
1 x
 x 2  xy  y  3


2) Giải phương trình ( x  3  x  1)( x 2  x 2  4 x  3)  2 x

thuộc đường thẳng BC . Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết điểm B có tung

độ là số nguyên.
Câu IV (1,0 điểm)
Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm
bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần
dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha
cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi
loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số
phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

ab
bc
ca


a 2  ab  bc b 2  bc  ca c 2  ca  ab


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

HẢI DƯƠNG


Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x1 , x2 .
Tọa độ các giao điểm A, B là A( x1;0), B ( x2 ;0) ;


KA  ( x1  2; 2), KB  ( x2  2; 2) .
 
KA  KB  KA . KB  0  ( x1  2)( x2  2)  4  0  x1x2  2( x1  x2 )  8  0
m  1
 m 2  1  2.2(m  1)  8  0  m 2  4m  3  0  
.
m  3

Kết hợp điều kiện m  1 , ta được m  1, m  3 .
Câu

0,25

0,25

Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

I.2
y  x2  2(m  1) x  1  m2  y  x2  2(m  1) x  (m  1)2  (m  1)2  1  m2
 y   ( x  m  1) 2  2m  2 .

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí



2 1
  4.
x y

1
1 x
1 1 1  x
1 1 1 
   3      3    
2
x
xy y
x x y  y
x x y 

1 1 
x    4
y x

1  1 1 

  x      4
x  y x 


0,25


2 1

 x2  2x  1  0
 x  x  2
x  1


 1 1

.
y 1
1  1  2
x  y 2

 x y

0,25

Câu

Giải phương trình

II.2







x  3  x  1 x 2  x 2  4x  3  2x






x  3  x 1


0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 x 2  x x  3  ( x  3)( x  1)  x x  1  0
x  x  3  0
 x  x  3 x  x 1  0  
 x  x  1  0



Câu
II.3





0,25

x  0
x  0

  x  1 x  2  x  4  x  8   4 x 2  x  2 x  4 x  1 x  8  4 x 2
  x 2  6 x  8  x 2  9 x  8   4 x 2

(2)

0,25

Xét x  0 , thay vào bất phương trình (2) không thỏa mãn.

0,25

Xét x  0 , chia hai vế của (2) cho x 2 ta được bất phương trình

x

2

 6x  8  x2  9x  8 
8
8



.
 4   x  6  x  9   4
x
x
x
x


 x  8  10  x  10 x  8  0  5  17  x  5  17



x
x
 5  17  x  5  17

Câu
III.1

Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh CD ; N là
điểm thuộc cạnh AD sao cho AN 

1
AD . Gọi G là trọng tâm tam
3

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

giác BMN , đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ số

BK
.
BC

   


Đặt BK  xBC  AK  AB  BK  AB  xBC  AB  x AD









0,25
0,25

Ba điểm A, G , K thẳng hàng nên

  
 1  4     m  4m 
AK  mAG  AB  xAD  m AB  AD   AB  xAD  AB  AD
9
2
9
2

 m
m  2
1  2


 8

2
cos A b  c  a
R b2  c2  a 2 
2bc
abc
abc
tan B 
, tan C 
2
2
2
2
R c  a  b 
R a  b 2  c 2 
 tan A  tan C  2.tan B 

abc
abc
abc


2.
R b2  c2  a2  R  a2  b2  c2 
R  a2  c2  b2 

0,25

0,25








0,25

 a 2  a 2  b 2  2c 2   c 2  b 2 c 2  2b 2   0 .

0,25

Kết hợp với a 2  b 2  2c 2  a  b  c . Vậy tam giác ABC đều.
Câu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại C và có diện tích

III.3

bằng 10. Đường thẳng AB có phương trình x  2 y  0 . Điểm



9

là trung điểm cạnh AB , điểm M  4; 
2


I  4; 2 



b  1  2

Từ 1 ,  3   

b  1  2

Từ

( không thỏa mãn).

b  3
 A 2;1 , B 6;3 ; C 2;6  .
c  2

 2  , 3  

3

0,25

0,25
0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu
IV


Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng

d1 : x  y  5; d 2 : 3x  5 y  18
Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm C (5;0) , cắt trục tung tại điểm

E (0;5) .
Đường thẳng d 2 cắt trục hoành tại điểm D (6;0) , cắt trục tung tại điểm

 18 
A  0;  .
 5

0,25

7 3
2 2

Đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau tại điểm B  ;  .


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác

OABC .

x  0
x  0
x  5



Vậy để thu được tổng số tiền lãi cao nhất thì nông trại trồng 3,5 ha cà
rốt và 1,5 ha khoai tây.
Câu

Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

V

P
P

1

a
c
1
b
a



ab
bc
ca
 2
 2
a  ab  bc b  bc  ca c  ca  ab
2


3

c
a

1
1
1
 3
 3
Ta có P  3 3
với x, y , z dương và
3
x  z  1 y  x  1 z  y3  1

0,25

xyz  1 .
x 3  y 3  ( x  y )  ( x  y )2  xy   ( x  y ) xy  x 3  y 3  1  1  ( x  y ) xy
 x 3  y 3  1  ( x  y ) xy  xyz  xy ( x  y  z )
1
1
 3

3
x  y  1 xy ( x  y  z )

0,25




0,25

0,25