GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
1

Chương 4

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

4.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT.
4.1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTƯS)TẠI MỘT ĐIỂM.
Xét một điểm K trong một vật thể cân
bằng và các mặt cắt qua K, trên các mặt
cắt ấy có các ứng suất pháp σ và ứng suất
tiếp
τ.
Các ứng suất này thay đổi tùy vò trí
mặt cắt (H.4.1).
Đònh nghóa TTỨS: TTƯS tại một điểm
là tập hợp tất cảû những ứng suất trên các
mặt đi qua điểm ấý.
TTƯS tại một điểm đặc trưng cho mức độ chòu lực của vật thể tại điểm
đó. Nghiên cứu TTƯS là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất σ , τ,
xác đònh ứng suất lớn nhất, nhỏ nhất để tính toán độ bền hay giải thích,
đoán biết dạng phá hỏng của vật thể chòu lực.
4.1.2 Biểu diễn TTƯS tại một điểm
Tưởng tượng tách một phân tố hình
hộp vô cùng bé bao quanh điểm K. Các
mặt phân tố song song với các trục toạ

K
P
4
P
3
P
2
P
1
y

x

H.4.1.

Ứng suất tại một điểm
z
z
x
yτyzτ



Các thành phần ứng suất


GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
2

4.1.3 Đònh luật đối ứng của ứng suất tiếp
Trên hai mặt vuông góc, nếu mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào
cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ) thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp hướng vào
cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ), trò số hai ứng suất bằng nhau ( H.4.3)
⎮τ
xy
⎮ = ⎮τ
yx
⎮; ⎮τ
xz
⎮=⎮τ
zx
⎮

; ⎮τ
yz
⎮

=⎮τ
zy

3
.
Thí dụ :
σ
1
= 200 N/cm
2
;
σ
2
= −400 N/cm
2
;
σ
3
= −500 N/cm
2

Phân loại TTƯS :
- TTƯS khối : Ba ứng
suất chính khác
không (H.4.4a).
- TTƯS phẳng: Hai ứng suất chính khác không (H.4.4b).
- TTƯS đơn: Một ứng suất chính khác không (H.4.4c).

H. 4.4

Các loại trạng thái ứng suất
b)


Quy ước dấu: + σ > 0 khi gây kéo ( hướng ra ngoài mặt cắt)
+ τ > 0 khi làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ
Hình 4.5b biểu diển các ứng suất > 0
(qui ước nầy phù hợp với bài toán thanh)
4.2.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ
Vấn đề: Xác đònh ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và có
pháp tuyến u tạo với trục x một góc
α
(
α
> 0 khi quay ngược chiều kim
đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a). Giả thiết đã biết ứng suất
σ
x
,
σ
y
và
τ
xy
.

♦ Tính σ
u
và τ
uv
: Tưởng tượng cắt phân tố bằng mặt cắt nghiêng đã
nêu, mặt cắt chia phân tố ra làm hai phần, xét cân bằng của một phần
phân tố (H.4.6b)


τ

y

x

b)

σ
u

u
v
τ
uv
α
σ
x
σ
x

σ
y
σ
y
τ
xy
τ
yx
τ

Trên mặt nghiêng có ứng suất
σ
u
và
τ
uv
, chúng được xác đònh từ
phương trình cân bằng tónh học.
* ∑U=0 ⇒
0cossinsincos =+−+−
ατασατασσ
dzdxdzdxdzdydzdydsdz
xyyxyxu

* ∑V=0 ⇒
0sincoscossin =++−−
ατασαταστ
dzdxdzdxdzdydzdydsdz
xyyxyxuv

Kể đến: ⎮τ
xy
⎮ = ⎮τ
yx
⎮; dx = ds sin
α
; dy = ds cos

u
−
−
+
+
=
(4.2a)

ατα
σσ
τ
2cos2sin
2
xy
yx
uv
+
−
+=
(4.2b)
♦ Tính σ
v
: Xét mặt nghiêng có pháp
tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u
(H.4.7). Thay thế α bằng (α + 90°) vào (4.2a)
,
⇒ ứng suất pháp tác dụng trên mặt có pháp
tuyến v:
ατα
σσσσ


uv

x

y

α

σ

x

σ

u

H.4.6

Ứng suất trên mặt nghiêng

τ
uv

τ
v

u
α

a)

α

σx
H. 4.7Ứng suất trên

2 mặt vuông góc nhau

τuvτ

____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
5yxvu
σσσσ
+=+
(4.4)
Biểu thức trên cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng trên hai mặt
vuông góc của phân tố ứng suất phẳng tại một điểm là hằng số và không
phụ thuộc vào góc
α
.
Đó là Bất Biến Thứ Nhất của ứng suất pháp
Thí dụ 4.1 Thanh có diện tích 5 cm
2
, chòu kéo với lực P = 40 kN. Xác đònh
ứng suất trên mặt cắt nghiêng một góc 30
o
với mặt cắt ngang (H.4.8).
Giải
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (Chương 3)

2
kN/cm 8
5
40
===

2
kN/cm 630.2cos1
2
8
2cos
22
+=+=+=
=+=+=
o
x
uv
o
xx
n
α
σ
τ
α
σσ
σ

4.2.3 Ứng suất chính - Phương chính - Ứng suất pháp cực trò
1- Ứng suất chính - phương chính
Ngoài mặt chính là mặt đã biết vuông góc
với trục z, hai mặt chính còn lại là những mặt
song song với trục z (vì phải vuông góc với
mặt chính đã có).
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp = 0 ⇒ Tìm
hai mặt chính còn lại bằng cách cho
uv


o

α

o

o

o
90

)

1

(
)2

(



σ
u
P
P

= 40 kN

K

30

o

u

v
τ
uv

GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
6

Nếu gọi
o
α
là góc của trục x hợp với phương chính thì điều kiện để tìm

(4.5)

22
πβ
α
k
o
±=

⇒

2
01
β
α
=
và
22
02
πβ
α
±=

(4.5) cho thấy có hai giá trò α
0
sai biệt nhau 90°. Vì vậy, có hai mặt chính
vuông góc với nhau và song song với trục z. Trên mỗi mặt chính có một
ứng suất chính tác dụng.
Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trò (ký hiệu là
σ

α
α
2tan1
1
;
2tan1
2tan
2sin
22
+
±=
+
±=
o
cos2

⇒
2
2
3,1
min
max
22
xy
yxyx
τ
σσσσ
σσ
+
⎟

.
Giải
Theo quy ước dấu, ta có:
2
y
2
kN/cm 2 ;kN/cm 4 ==
σσ
x
2
kN/cm 1 +=
xy
τ

Phương chính xác đònh từ (4.5):

1
24
2
2
2tan −=
−
−
=
−
−=
yx
xy
o
σσ


σ
1
σ
2
67
o
30’

22
o
30’


GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
7

Có 2 phương chính ( 2 mặt chính) vuông góc nhau
Các ứng suất chính được xác đònh từ (4.6):

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=±=+
⎟

−=
α
, ta có:

( ) ( )
2
kN/cm 41,4'30222sin1'30222cos
2
24
2
24
=−−−
−
+
+
=
oo
u
σ

Vậy :
σ
1
= 4,41 kN/cm
2
ứng với góc nghiêng
'3022
)1(
o
o

α
τ
xyyx
uv
d
d
(4.7)
⇔
=
−
=
xy
yx
τ
σσ
α
2
2tan
(4.7)
So sánh (4.7) với (4.5) ⇒
o
α
α
2tan
1
2tan −=

(4.8)
⇒
o

⎛
−
±=
(4.9)
4.2.4 Các trường hợp đặc biệt
1- TTƯS phẳng đặc biệt
Phân tố trên H.4.12 có:
0;
xy
ττσσσ
===
yx
;

Từ (4.6)
⇒σ
τ
TTUSphẳng đặc biệtτ
TTUS
Trượt thuần tuý



+=αα

τ

max
σ

H.4.12

GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
8

22
,1
min
max
4

∞=
o
α
2tan
⇔
24
ππ
α
k
o
+=
(4.12)
Những phương chính xiên góc 45
o
với trục x và y.
3- Trường hợp phân tố chính (H.4.14)
Phân tố chính chỉ có σ
1
, σ
3
,τ = 0;
Thay vào (4.9), ta được:
2
31
minmax,
σσ
τ
−
±=
(4.13)

−
=
(4.14)’
Bình phương cả hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng lại, ta được:

2
2
2
2
22
xy
yx
uv
yx
u
τ
σσ
τ
σσ
σ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

⎝
⎛
−
=
+
=
2
R
(4.16)
(4.15) thành:
()
22
2
Rc
uvu
=+−
τσ
(4.17)
Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành
σ
và
trục tung
τ
, (4.17) là phương trình của một
đường tròn có tâm nằm trên trục hoành với
hoành độ là c và có bán kính R . Như vậy, các
giá trò ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên tất cả các mặt song song với
σ
1
σ

Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16) - Đònh hệ trục tọa độ
τσ
O
: trục hoành
σ
// trục x, trục tung
τ
// trục y của
phân tố và hướng lên
trên.
-Trên trục
σ
đònh điểm
E(
σ
x
, 0) và điểm F(
σ
y
, 0)
Tâm C là trung điểm
của EF
- Đònh điểm cực P (
σ
y
,
τ

FC
2

Do đó ⇒
22
2
22
2
FPFCCP R
xy
yx
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=+=
τ
σσ

2- Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

σ
x