http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
1Chương 7
UỐN PHẲNG THANH THẲNG

7.1 KHÁI NIỆM CHUNG
♦ Thanh chòu uốn là thanh có
trục bò uốn cong dưói tác dụng
của ngoại lực. Thanh có trục nằm ngang
chòu uốn được gọi là dầm.
(Thanh có trục thẳng đứng gọi là cột)
♦ Ngoại lực: Lực tập trung P,
lực phân bố q tác dụng vuông góc
với trục dầm hay momen (ngẫu lực)
M nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1).
♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực và trục dầm.
Đường tải trọng: Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang.

♦Giới hạn bài toán:
+ Chỉ khảo sát các thanh mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng.
Trục đối xứng nầy và trục thanh hợp thành mặt phẳng đối xứng.
Tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng,
Đường tải trọng cũng là trục đối xứng của mặt cắt ngang


_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
2

♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà trên mặt cắt ngang dầm có các
nội lực là lực cắt Q
y
và mômen uốn M


P
+
_
P
a)
b)
c)
a)
b)
H.7.4. Dầm với vùng ở giữa chòu
uốn thuần túy

H.7.5. Dầm chòu uốn thuần túy

P
M
P
P
L-2a
a
a
Q
M
Pa
Pa
A
B
A
B

vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang; các đường
này tạo thành các lưới ô vuông (H.7.6a).
Sau khi biến dạng (H.7.6b), trục thanh bò cong, các đường thẳng song
song với trục thanh thành các đường cong song song với trục thanh; những
đường vuông góc với trục thanh vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghóa là
các góc vuông được bảo toàn trong quá trình biến dạng.
Ngoài ra, nếu quan sát thanh thì thấy các thớ bên dưới dãn ra(bò kéo
)
và các thớ bên trên co lại (bò nén).
Như thế, từ thớ bò dãn sang thớ bò co sẽ
tồn tại các thớ mà chiều dài không thay đổi trong quá trình biến dạng, gọi là
thớù trung hòa. Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến của
lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa. Vì mặt cắt
ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem như thẳng (H.7.6.c)
H.7.6. a) Thanh trước khi biến dạng
b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng

http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
4

=
−+
=
−
=
21
21
00
00
(a)
trong đó:
κ
- là độ cong của dầm.
Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến
thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa
H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz M
1
1
a
O
1
O
2
b

Mặt phẳng tải trọng
Đường tải trọng
Đường trung hoà
http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
5

2. Thiết lập công thức tính ứng suất:
Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chòu kéo hoặc
nén (các điểm bất kỳ trên mặt
cắt ngang ở trạng thái ứng suất đơn).
Đònh luật Hooke ứng với trạng thái
ứng suất đơn cho ta:
yEE
zz
κ=ε=σ
(b)
Ứùng suất pháp tác dụng trên
mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất
với khoảng cách y từ thớ trung hòa.
Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang.
+ Liên hệ giữa σ
z
và N
z


FF
zx
dFyEydFM
2
κσ
=
κ
EJ
x
(e)
trong đó:
∫
=
F
x
dFyJ
2
(g)
là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x.
Biểu thức (e) được viết lại như sau:

x
x
EJ
M
==
ρ
κ
1
(7.1)

M
x
y
0
http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
6 Công thức kỹ thuật:
Nếu mômen uốn dương, dầm bò căng ( bò kéo ) thớ dưới, các thớ trên
bò nén . Kết quả ngược lại nếu mômen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta
có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất,

|| y
J
M
x
x
z
±=
σ
(7.3)
ta sẽ lấy: dấu (+) nếu M
x
gây kéo tại điểm cần tính ứng suất.

_
http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
7

H. 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng

H. 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có một trục đối xứng

♦ Ứng suất pháp cực trò:
Tính ng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm
ở những điểm xa đường trung hòa nhất.
Gọi
nk
yy
maxmax
,
lần lượt là khoảng cách thớ chòu kéo và thớ chòu nén ở
xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chòu kéo lớn nhất
σ

M
y
J
M
==
maxmin
σ
(7.4b)
với:
n
x
n
x
k
x
k
x
y
J
W
y
J
W
maxmax
;
'
==
(7.5)
Các đại lượng
k

===
(7.6)
và ứng suất nén và kéo cực đại có trò số bằng nhau:

x
x
W
M
=σ=σ
minmax
(7.7)
∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h :
+
_
http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
86
;
12
23
bh
W
bh

3
4
4
η
π
η
π
−=−=
D
W
D
J
xx
với η = d/ D
∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép đònh hình.
Ý nghóa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn
dầm chòu được mômen uốn càng lớn.
7.2.4 Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản
Điều kiện bền:
+ Dầm bằng vật liệu dòn: [σ]
k
≠ [σ]
n
⏐σ
min
⏐≤ [σ]
n

σ
max

; [
σ
]
n
= 30 MN/m
2
`
` Kiểm tra bền biết rằng: J
x
= 5312,5 cm
4

Giải.
Ta có: y
k
max
= 75 mm= 7,5.10
–2
m
y
n
max
= 125 mm = 12,5.10
–2
m
H. 7.11

z

125

−
−
−
×=
×
×
==
k
x
k
x
y
J
W36
2
8
max
m10425
105,12
105,5312
−
−
−
×=
×
×
==

n
x
x
W
M
σ<=×=
×
==σ
−
226
6
min
MN/m 17N/m1017
10425
7200

vậy dầm đủ bền.
Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều
kiện bền.
Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn và kích thước
của mặt cắt ngang sẽ được xác đònh.
Thí dụ 7.2 Cho dầm chòu lực như H.7.12.
Dầm làm bằng hai thép chữ , Chọn số
hiệu của thép chữ  để dầm thỏa điều kiện
bền. Biết [
σ
] = 16 kN/cm
2
.
Giải.

368
100.60
===σ
x
W
M

sai số tương đối:
%9,1%100
16
163,16
=×
−
; vậy dầm đủ bền. Chọn 2  20
Bài toán cơ bản 3: Đònh tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện
bền.
Thí dụ 7.3 Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như H.7.13. Xác đònh trò
số mômen uốn cho phép(mômen có chiều như hình vẽ). Biết:
[
σ
]
κ
= 1,5 kN/cm
2
.
Hỏi với trò số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong
dầm là bao nhiêu?
Cho biết J
x
= 25470 cm

x
k
x
x
W
M
y
J
M
==
maxmax
σ
≤ [σ]
k

⇒
[][]
Ncm5,3537
8,10
25470
5,1
max
k
y
J
M
k
x
kx
=×==

J
M
σσ
==
max
max
,
n
n
x
x
y
J
M
σσ
==
maxmin

Lập tỉ số các ứng suất :
[]
α
σ
σ
==
n
k
n
k
y
y
H.7.13
z
192mm
108mm
M
y
x
http://www.ebook.edu.vn

GV: Lê đức Thanh

_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng
11

7.3 UỐN NGANG PHẲNG
7.3.1 Đònh nghóa- Dầm gọi là chòu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt
ngang có 2 nội lực là: mômen uốn M
x
và lực cắt Q
y
( H 7.14).

do lực cắt Q
y
gây ra. Trạng thái ứng suất
của một phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diển như hình
7.15 và 7.16c

a)
1 2
dz
P
P b)
τ
yz
c)
τ
zy
H. 7.16. a) Thanh trước biến dạng
b) Thanh sau biến dạng
c) Trạng thái ứng suất phẳng
σ
z
σ
z
P
L
1
1
P
PL
+

J
M
x
x
z
=
σ
(7.2 )
4. Công thức tính ứng suất tiếp:
Giả thiết:
- Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao.
- Ứùng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt và cùng chiều
với lực căõùt (nghóa là mọi điểm nằm cách đều đường trung hòa thì có cùng trò
số ứng suất tiếp). Ta xác đònh quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo chiều cao của mặt cắt
ngang.

Q
1y
M
x
dz
0
1
Y
X
y
G
F
E
D
C
B
A
zy
τ
yz
τ

1z
σ

0
1
0
2
http://www.ebook.edu.vn

z
ydF
J
M
dFN
11
σ
(b)
N
2
- là hợp của các lực tác dụng trên mặt 2-2 được tính bởi:

∫∫
+
==
Fc
x
xx
Fc
z
ydF
J
dMM
dFN
22
σ
(c)
T - là hợp của các lực tác dụng trên mặt trên ABEF của phần tử:

dzbT

⇒
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
c
F
c
x
x
yzzy
ydF
bJdz
dM 1
ττ
(f)
thay Q
y
= dM
x
/dz ta được:

∫
==

Công thức (7.11) gọi là công thức D.I. Zhuravski
S
c
x
:momen tỉnh của phần diện tích bò cắt (F
c
)đối với trục trung hòa.
b
c
: bề rộng tiết diện cắt.
J
x
:Momen quán tính của tiết diện.
Q
y
: Lực cắt tại tiết diện đang tính.