Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
Bài tập áp dụng:
1.Cho a, b, c 1. Chứng minh
2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh
3.Cho Chứng minh
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh:
1. (a
m
+ b
m
)(a
n
+ b
n
) 2(a
m+n
+ b
m+n
)
2. a
m
b
n
+ a
n
b

4) với abc =1
Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)
2
+(b - c)
2
+ (c - a)
2
0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a
4
+ b
4
+ c
4
abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c)
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
1
ab
ba

1
1
333
abcde
edcba
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55555
5

+
+
+
22
nn
n
baba +









+
abc
abcacabccbabcba
1111
333

++
+
++
+
++
1
555555


== x
n
.
Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh:
2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh:
Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
2
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++


11
2121
+++
cbacbacbacba 4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
++
++
+
++
+
++
cbacpbpap
222111
++

+

+

2

3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3







+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba

Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể
sử dụng kết quả của BĐT 1).
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh
Ví dụ 3:
1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh
2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh
Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
3
.
4
2
a
cb
cb
a

+
+

+
+
+
2
3
33
3
33
3
33
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
)())(( xyabybxa +++
3
3
3
)())()(( xyzabczcybxa ++++
VPxyabxyaybxabxybxayabVT =+=+++++=
2











+












+=
2
sin
1
1
2
sin

Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5.
Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh vậy.
Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 2. Vậy minA = 6.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
4
)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1
1
zy
yz
z
z
y
y
zyx

1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
+
+
tzyx
81
1

xyzt
4
5
=+ yx
yx
S
4
14
+=
( ) ( )
525
4





=
=
4
1
1
y
x
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
zyx
P
( ) ( ) ( )
[ ]
4
9
3

4
9
min =P
111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
yx
z
xz
y
zy
x
A
+
+
+
+
+
=
3

Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
5
yx
z
xz
y
zy
x
B
+
+
+
+
+
=
4
4
4
yx
z
xz
y
zy
x
C
+


+
+
+
+
++
))(())(())((
333
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
P
++
+
++
+
++
=
4
2
2
2
zyx
xyz
z
zxy
y

4
43
y
y
x
x
M
+
+
+
=
2
9
2
4
4
.
4
.
2
.3
1
.
4
2
244
21
4
3
22

2
9
min =A
18
106
32 +++
yx
yx
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Cách 1 :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Cách 2:

Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?!
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất
Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24
Bài tập áp dụng
1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh:
Giải:
Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tơng tự nh
vậy. Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh

++








++








+= zyx
z
z
y
y
x
xP
2
1
z y x ===
2
15

sin
1
sinsinsin +++++=
333
zyxA ++=
24
72)(12.83.83.83)88()88()88(48
3
32
3
32
3
32333

=++=++++++++++=+
B
zyxzyxzyxB
666
zyxB ++=
2
sin
2
sin
2
sin
666
CBA
M ++=
33335
2

a
b
a
++++
44447
3
7
3
7
3
7
3
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++