Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội
2 Khoa Toán
----------------------------

Dƣơng Văn Cƣờng

Khai thác bài tập toán
phần công thức biến đổi lƣợng giác
tang và cotang
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên Ngành: Phương pháp dạy học toán

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Văn Hà

hà nội - 2010

GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà

SV: Dương Văn Cường
1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà

SV: Dương Văn Cường
2


Dƣơng Văn Cƣờng


MỤC LỤC

trang

MỞ
ĐẦU
1.
2.
3.
4.

Lý do chọn đề tài………………………………………………..…….4
Mục đích nghiên cứu……………………………….…………...…….4
Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………..…………..….……...5
Phƣơng pháp nghiên cứu……………………………………..…….…5

5. Cấu trúc khoá luận………………………………………..……...…. 5
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
A. Bài toán và lời giải của bài toán
1. Khái niệm……………………………………...…….……….....6
2. Vại trò, ý nghĩa của bài tập toán học……………....................…6
3. Phân loại bài toán…………………………………….................8
4. Phƣơng pháp giải một bài toán……………………………...….9
B. Nội dung chƣơng trình lƣợng giác ở trung học phổ thông………....…
12 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC
A. Các kiến thức cơ bản…………………………………………...…. 13

Với một bài toán nói chung và bài toán lƣợng giác nói riêng thì có
nhiều cách giải khác nhau, có thể là phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp
vectơ... Trong đó có một phần lớn các bài toán trong đại số và giải tích có thể
giải bằng cách lƣợng giác hoá, ta đƣợc cách giải ngắn gọn, dễ hiểu cho bài
toán.
Vì vậy, trong mọi kì thi luôn ra những bài toán liên quan tới lƣợng giác,
các công thức biến đổi lƣợng giác.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi,
nghiên cứu sâu hơn về lƣợng giác, với mong muốn có đƣợc kiến thức vững
hơn về lƣợng giác để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trƣờng, cùng với
sự động viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài :
“Khai thác bài tập toán phần công thức lƣợng giác tang và cotang”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:
- Giúp cho học sinh hệ thống tốt hơn các dạng bài tập về lƣợng giác,
đặc biệt là các dạng bài tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác
tang và cotang.
- Nghiên cứu sâu hơn về lƣợng giác để có đƣợc kiến thức tốt hơn
về lƣợng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:
- Nghiên cứu lý luận chung.
+ Bài toán và lời giải của bài toán.
+ Nội dung chƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng phổ thông.
- Hệ thống hóa phƣơng pháp giải các dạng bài tập liên quan tới hai
công thức biến đổi lƣợng giác tang và cotang, dƣới dạng cơ bản và nâng cao
nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “Lƣợng giác cho học sinh phổ thông”.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu

nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó.
2. Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học
a. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới nữa… Cuối cùng, chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán.
Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
đƣợc củng cố qua lại nhiều hơn.
b. Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, đƣợc
xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề.
Do đó lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ
tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt.
Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta
năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: suy luận có căn cứ đúng, suy
luận tuân theo quy tắc suy diễn…
Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải
đƣợc mọi bài toán.


Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải
của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả,
kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống nhau,
biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá…
Nhƣ vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy sáng tạo đƣợc rèn
luyện và phát triển.
c. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”.
Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của
quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con ngƣời.
3. Phân loại bài toán
Ngƣời ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc
mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
a. Phân loại theo hình thức bài toán:
Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chƣa để phân chia bài toán thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa ra
một cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa sẵn sàng
trong đề bài toán.
b. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán:
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại:
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của
nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó.
c. Phân loại theo nội dung bài toán:
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau nhƣ sau:
+ Bài toán số học
+ Bài toán đại số
+ Bài toán hình học
d. Phân loại theo ý nghĩa giải toán:
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó,

gần gũi hơn với kết luận... Cứ tiếp tục quá trình ấy, chúng ta tìm ra đƣợc hệ
quả logic trùng với kết luận của bài toán . Khi ấy ta tìm đƣợc lời giải của bài
toán .
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
A B
(trong đó A,C là giả thiết, còn X là kết luận ).
C
 
D

X
- Phƣơng pháp đi ngƣợc :


Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán . Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này .


Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của
bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra tiền đề logic mới của các kết luận
mới này…Quá trình ấy lại đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các tiền đề logic trùng
với giả thiết của bài toán, ta đƣợc lời giải của bài toán.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
C A
X

D B

(trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)



Sau đó sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác, ta có đẳng thức sau:


sinA.sinC

cos
2
2

B

C
2 A
sinA.sinC sin
2
2sinA.sinB 1 cos(A C)

 sinA.sinC 1
cosA.cosC
cos(A C) 1
A C
Vậy ABC là tam giác cân tại B.
Ví dụ 2. Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :
Tính tổng S 1 2a 3a 2 4a3 ... (n 1)an .
HD:
Ta liên hệ với bài toán tính tổng tƣơng tự đơn giản hơn:
Tính tổng P 1a a 2 a3 ... a n .
2
3

1 an+1
n+1
S aS
 (n 1)a S 
2
1 a
(1 a)
2

n

n+1

Nhận xét cách giải: Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số
hạng, ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS. Từ đây ta tính
đƣợc S.


Bằng phƣơng pháp tƣơng tự ta có thể tính đƣợc tổng sau :
2
3
n
A a 2a 3a na


B. NỘI DUNG CHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Ở TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
Chƣơng 6 (ĐS10NC): Góc lƣợng giác và công thức lƣợng
giác Bài 1: Góc và cung lƣợng giác.
Bài 2: Giá trị lƣợng giác của góc (cung) lƣợng giác.



cosα

+





+

tanα

+



+



cotα

+



+


3
1

2

π
2

1
2
2
2

2
1
2

0


tanα

cotα

0



1
3


cotα cosα ,
sinα
tanα.cotα  1,

sin2α cos2α 1
1 tan2α 

1 , α π kπ, k 
cos2α
2

2. Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a, Cung đối nhau: α và α
sin( α) sinα

cos( α) cosα

tan( α) tanα
cotα

cot( α) 

b, Cung bù nhau: α và π α
sin(π α) sinα
cos(π α)
 cosα
tan(π α) tanα cot(π α) 
c, Cung hơn kém π : α và α π




tan π α cotα
2



cot π α tanα
2



3. Công thức lƣợng
giác a, Công thức cộng
tanα  tanβ
tan(α β) 
1  tanα.tanβ tanα  tanβ
1  tanα.tanβ

sin(α β) sinα.cosβ  cosα.sinβ
sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ

tan(α β) 

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ

cot(α β) cotα.cotβ 1
cotα  cotβ

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ


sinα sinβ 2sin αβ cos α β
2

2

sin(α  β)
tanα tanβ 
cosα.cosβ


sinα sinβ 2cos αβ sin α β
2
2
cosα cosβ 2cos αβ cos α β
2
2
cosα cosβ 2sin αβ sin α β
2

2

d, Công thức biến đổi tích thành tổng
sinα.cosβ 1 sin(α β) sin(α β) 
2
sinα.sinβ 1 cos(α β) cos(α β) 
2
cosα.cosβ 1 cos(α β) cos(α β) 
2
4. Công thức hạ bậc

tanα 

6. Các công thức khác

1  t2
cosα  1  t 2
1  t2
cotα  2t

α

2

. Nếu

t tan thì ta có:
α
2


sinα cosα 2.sin α  π 2.cosα π 
4 
4 




sinα cosα 2.sin α π  2.cos α  π 
4 
4 