TO TOAN TRệễỉNG THCS&THPT NGUYEN TRI PHệễNG
I S V GII TCH 10
T TON TRNG THCS&THPT NGUYN TRI PHNG
LU HNH NI B
1
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
I/ Lý thuyết cần nhớ
Cho bất phương trình
( ) ( )f x g x
<
(hoặc
( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x g x f x g x f x g x≤ > ≥
)
- Điều kiện của bpt : Tìm đk của x sao cho f(x), g(x) có nghóa. (Chú ý : Căn bậc hai, mẫu, căn bậc hai dưới mẫu)
- Bpt tương đương : Hai bpt là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Để giải bpt ta dùng các phép biến đổi tương đương để đưa chúng về bpt đơn giản hơn.
* Chú ý : Khi biến đổi các biểu thức ở 2 vế của bpt thì điều kiện của bpt thường thay đổi vì vậy để tìm tập nghiệm
của bpt ta phải tìm các giá trò của x đồng thời thỏa mãn bpt mới và đk của bpt đã cho )
II/ Bài tập
Bài 1 : Tìm điều kiện của các bpt sau :
a/
5
0
1
+
<
−
x
x

x x
x x
f/
1 1
3 2
7 7
+ − < −
+ +
x
x x
g/
0 5
0 10
1
3 5
1
2 2
≤ ≤


≤ ≤



+ ≥


−
+ ≥


x x
c/
3
3 3
<
− −
x
x x
d/
1 1
3 2
2 2
+ ≥ +
− −
x
x x
Bài 3 : Không giải bpt, giải thích tại sao bpt sau vô nghiệm:
a/
2 1 0
− + <
x
b/
( )
2
2
1 3
− + ≤ −
x x
c/
( ) ( )

2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 3 1
− > − ⇔ − > − ⇔ − > − ⇔ <
x x x x x x x
Tập nghiệm của bpt là
( )
;1
∈ −∞
x
Cách giải trên đúng hay sai?
BÀI 2 : DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
-Nhò thức bậc nhất có dạng :
( ) ( 0)f x ax b a= + ≠
-Cách xét dấu: +Giải phương trình:
0
+ = ⇔ = −
b
ax b x
a
+Bảng xét dấu
* Chú ý: Chúng ta có thể xét dấu tích, thương các nhò thức bậc nhất.
Bài 1 : Xét dấu các biểu thức sau :
a/
( ) ( )
3 1 2
− +
x x
c/
( ) ( ) ( )
1 2 3 1

1 1
3 3
−
− +
x x
h/
2
9 1
−
x
i/
3
7 6
− + −
x x
k/
2
2
− −
x x
j/
3 2
5 3
+ − +
x x x
*DỰA VÀO BẢNG XÉT DẤU ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
2
x
−∞
−

− +
x x
c/
3 1
2
2 1
− +
≤ −
+
x
x
d/
2 2
3 1 2 1
+ −
≤
+ −
x x
x x
e/
1 1 1
1 2 2
+ >
− + −x x x
f/
( )
( ) ( )
2 2 1 2 3 0− + + − >x x x
g/
4 1

≥
+
x
x
g/
1 2
+ ≤ − +
x x x
h/
2 1 2 1
+ + − ≤ +
x x x
BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Bpt bậc nhất 2 ẩn có dạng :
( ) ax by c ax by c+ < + ≤
hoặc
( )ax by c ax by c+ > + ≥
- Cách giải : Biểu diễn hình học tập nghiệm của bpt bậc nhất hai ẩn
( ) + < + ≤ax by c ax by c
+ Vẽ đường thẳng
:
∆

+ =
ax by c
(Bằng cách cho tọa độ hai điểm A, B)
+ Lấy một điểm
( )
0 0
;

x y
f/
2 3 5 0
− + ≥
x y
g/
( )
2 1 2
+ + > +
x y x
h/
( ) ( )
2 3 1 1
+ ≤ + +
y x x
* HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Hệ bpt bậc nhất hai ẩn gồm nhiều bpt bậc nhất hai ẩn
- Cách giải : + Giải từng bpt (Vẽ và xác đònh miền nghiệm của từng bpt trên cùng một hệ trục)
+ Phần mặt phẳng còn trống là miền nghiệm của hệ bpt
Bài 2 : Giải hệ bpt sau :
a/
2 1 0
3 6 0
+ ≤


− + <

x
x

e/
3 0
2 3
2
− <


+ > −


+ <

x y
x y
y x
f/
0
1
1
2 3 2
1
3 2


≥


− + + <



3


− + >

>


−

− + >

x y
y
x
y
Bài 3 : Cho hệ pbt sau :
0 5
0 10
1
3 5
1
2 2
≤ ≤


≤ ≤




f x
Trái dấu với hệ số a 0 cùng dấu với hệ số a
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
2 2 3
= − +
T x y
trên miền nghiệm của hệ bpt, biết rằng miền nghiệm là đa giác và T
đạt giá trò nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
Bài 4 : Một người nông dân trồng táo và trồng nho trên một thửa đất có diện tích là 8a. Nếu trồng táo thì cần 20 công và thu 3
triệu trên mỗi a. Nếu trồng nho thì cần 30 công và thu 4 triệu trên mỗi a. Hỏi phải trồng cây trên diện tích là bao nhiêu để thu
được tiền nhiều nhất khi tổng số công không quá 180.
BÀI 4: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
- Tam thức bậc hai có dạng :
2
( ) ( 0)f x ax bx c a
= + + ≠
-Cách xét dấu: +Giải phương trình:
2
0
+ + =
ax bx c
* Nếu vô nghiệm
( )
0
∆ <
: Kết luận f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi
x
∈
¡


+ f(x) trái dấu với a khi
1 2
x x x< <
Bài 1 : Xét dấu các tam thức sau:
a/
2
2 2 5+ +x x
b/
2
5 6− + −x x
c/
2
2 2 2 1+ +x x
d/
2
4 4 1
− − +
x x
e/
2
0,3 1,5− + −x x
f/
2
2 3 5
− + +
x x
Bài 2 : Xét dấu các biểu thức sau:
a/
( )

2
3 2
1
− −
− + −
x x
x x
f/
3
4 3
5 4
4 8 5
− +
− + −
x x
x x x
g/
2
2
4 12
6 3 2
+ −
+ +
x x
x x
h/
2
1 9
7 5
−

− +
>
− +
x x
x x
f/
2
2
2 7 7
1
3 10
− + +
≤ −
− −
x x
x x
g/
( )
( )
2
2 1 30 0
+ + − ≥
x x x
h/
4 2
3 0
− ≤
x x
i/
1 1

b/
( )
2
( 1) 2 1 2 3 0
+ + − + − =
m x m x m
Bài 6: Tìm m để pt sau có hai nghiệm dương phân biệt
a/
( )
( )
2 2
1 2 3 5 0
+ + + − + − =
m m x m x m
b/
2 2
6 2 2 9 0
− + − + =
x mx m m
BÀI 5 : ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1 : Giải bpt sau :
a/
1 2
2 1
− +
≥
+ −
x x
x x
b/

F x y
có giá trò nhỏ nhất
Bài 3 : Tìm m để bpt sau vô ngiệm
( ) ( )
2
1 2 3 0
+ − + − >
m x mx m
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
4
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
Câu 1 : Bất phương trình
2
5 1 3
5
− > +
x
x
có nghiệm là :
A.
∀x
B.
2<x
C.
5
2
> −x
D.
20
23

A.
nghiệmVô
B.
x đều là nghiệm
∀
C.
4,11
≥
x
D.
5≤ −x
Câu 3 : Giải bất phương trình
3 5 2
1
2 3
+ +
− ≤ +
x x
x
có nghiệm là :
A.
nghiệmVô
B.
x đều là nghiệm
∀
C.
4,11
≥
x
D.

∀
C.
2,5
> −
x
D.
2,6
> −
x
Câu 6 : Nghiệm của bất phương trình
1 2
1
− +
<
x x
là :
A.
1
2,
2
< − > −
x x
B.
1
2
2
− < < −x
C.
1
, 2



+ ≤

y x
y x
x y
A.
min F=1 khi x=2,y=3
B.
min F=2 khi x=0,y=2
C.
min F=3 khi x=1,y=4
D.
Kết quả khác
Câu 9 : Giải bất phương trình
2
4 0
− <
x x
có tập nghiệm là :
A.
∅
B.
{ }
∅
C.
( )
0;4
D.

i
n
: Là số lần xuất hiện của các giá trò
i
x
trong mẫu số liệu .
-Tần suất
( )
i
f
là tỉ số giữa tần số
( )
i
n
và kích thước mẫu N:
i
i
n
f
N
=
* Để trình bày 1 mẫu số liệu được gọn gàng và súc tích , ta thực hiện ghép các số liệu thành một lớp.
II/Bài tập
Bài 1 : Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vò:phút)
5
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54

170 152 144 165
170 152 143 159
170 160 143 165
170 160 140 159
175 160 145 168
176 161 146 159
176 162 147 168
175 164 148 159
176 165 149 168
a/Với các lớp :
) ) ) ) )
135 145 145 155 155 165 165 175 175 185; ; ; ; ; ;
    
    
Hãy lập:
Bảng phân bố tần số ghép lớp (Đồng thời theo chiều cao của nam và nữ )
Bảng phân bố tần suất ghép lớp (Đồng thời theo chiều cao của nam và nữ )
b/Trong số học sinh có chiều cao chưa đến 155cm (của 120 học sinh được khảo sát ),học sinh nam đông hơn hay học sinh
nữ đông hơn.
Bài 3: Trong một giải bóng đá học sinh, người ta tổ chức một cuộc thi dự đoán kết quả của 25 trận đáng chú ý nhất.Sau đấy là
số phiếu dự đoán đúng của 25 trận mà ban tổ chức nhận được:
54 75 121 142 154 159 171 189 203 211 225 247 251
259 264 278 290 305 315 322 355 367 388 450 490
Hãy lập bảng tần số –tần suất ghép lớn gồm sáu lớp:Lớp đầu tiên là đoạn
50 124;
 
 
,lớp thứ 2 là đoạn
125 199;
 

(Độ dài mỗi đoạn là 9).
b/Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
Bài 6: Với mỗi tỉnh ,người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500 g .Sau đây là kết quả khảo
sát ở 43 tỉnh (Đơn vò :%)
5.1 5.2 5.2 5.8 6.4 7.3 6.5 6.9 6.6 7.6
8.6 6.5 6.8 5.2 5.1 6.0 4.6 6.9 7.4 7.7
7.0 6.7 6.4 7.4 6.9 5.4 7.0 7.9 8.6 8.1
7.6 7.1 7.9 8.0 8.7 5.9 5.2 6.8 7.7 7.1
6.2 5.4 7.4
6
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
a/ Hãy lập bảng phân bố tần số –tần suất ghép lớp gồm 5 lớp.Lớp thứ nhất là nửa khoảng
4 5 5 5. ; .
 
 
,lớp thứ hai là
5 5 6 5. ; .
 
 
,….. (Độ dài mỗi nửa khoảng là 1).
b/ Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
c/ Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
BÀI 2: BIỂU ĐỒ .
I/Kiến thức cần nhớ:
-Biểu đồ dùng để miêu tả trực quan các bảng phân bố tần số –tần suất.
-Biểu đồ tần số –tần suất hình cột .
Tần số : +Trục Ox : Các giá trò của lớp .
+Trục Oy : Giá trò của tần số .
Tần suất:+Trục Ox : Các giá trò của lớp .
+Trục Oy : Giá trò của tần suất.

29
21
16
7
2
6 25.
...
...
...
...
...
N = 80
a/Điền các số vào chỗ trống (…)ở cột tần suất.
b/Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
c/Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
d/Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 2: Doanh thu của 50 cửa hàng của một công ti trong một tháng như sau(Đơn vò:triệu đồng)
120 121 129 114 95 88 409 147 118 148 128 71 93 67 62
57 103 135 97 166 83 114 66 156 88 64 49 101 79 120
75 113 155 48 104 112 79 87 88 141 55 123 152 60 83
144 84 95 95 90 27
a/Dấu hiệu ,đơn vò điều tra ở đây là gì?
b/Lập bảng tần số –tần suất ghép lớp gồm 7 lớp:Lớp đầu tiên là nửa khoảng
)
26 5 48 5. ; .


,lớp tiếp theo là nửa khoảng
)
48 5 70 5. ; .

  
b/Vẽ biểu đồ tần số hình cột
c/ Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
8
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
BÀI 3 : SỐ TRUNG BÌNH, SỐ TRUNG VỊ, MỐT
I/ Kiến thức cần nhớ
- Số trung bình
( )
x
:
1
1
N
i
i
x x
N
=
=
∑
+ Đối với bảng phân bố tần số – tần suất :
1 1
1
k k
i i i i
i i
x n x f x
N
= =

2
e
N N
M số ở vò trí
 
+
+
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
- Mốt
( )
o
M
: là giá trò có tần số lớn nhất
* Chú ý : Nếu trong bảng phân bố tần số có 2 giá trò tần số bằng nhau và lớn hơn các giá trò tần số khác thì ta có 2 giá
trò đó là 2 Mốt.
II/ Bài tập
Bài 1: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:
Chiều cao của 120 học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông M
Nam
175 163 146 150
176 162 147 151
176 161 149 152
177 165 148 153
176 169 152 155
170 144 168 160

Mức thu nhập (Triệu đồng) Tần số
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7,5
13
1
1
3
4
8
5
7
2
N 31
a/ Tính số trung bình, số trung vò, mốt của bảng trên
b/ Chọn giá trò đại diện cho bảng trên
9